10.3.1 频率的稳定性 10.3.2 随机模拟（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

10.3　频率与概率 10.3.1　频率的稳定性　10.3.2　随机模拟 基础过关练 题组一　概率与频率的意义 1.(2025广东佛山一中质检)下列说法正确的是(　　) A.随机事件A的概率是频率的稳定值,频率是概率的估计值 B.某人打靶,射击10次,击中7次,那么此人中靶的概率为0.7 C.一位同学做掷硬币试验,掷6次,一定有3次正面朝上 D.某地发行福利彩票,回报率为47%,有人花了100元买彩票,一定会有47元的回报 2.(2024浙江温州期末)气象台预报“本市明天中心城区的降水概率为30%,郊区的降水概率为70%”.则关于该市明天降水情况的描述最为准确的是(　　) A.整个城市明天的平均降水概率为50% B.如果住在郊区,明天不带伞出门很可能淋雨 C.只有郊区可能出现降水,而中心城区不会有降水 D.如果明天降水,郊区的降水量一定比中心城区多 3.(多选题)(2025陕西汉中期末)下面说法错误的有　(　　) A.若一批产品的次品率为,则从中任取10件,必有1件是次品 B.天气预报“明天降水概率为90%”,则明天可能不下雨 C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D.做8次抛硬币的试验,结果5次出现正面,则抛一枚硬币出现正面的概率是 题组二　用频率估计概率 4.(2024陕西西北工业大学附属中学月考)两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率,绘制出统计图如图1所示,则符合这一结果的试验是(　　) 　 A.抛一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率 B.掷一枚质地均匀的正六面体骰子,出现1点的概率 C.转动如图2所示的转盘每个扇形的圆心角均为,转到数字为奇数的概率 D.从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率 5.(2025湖北孝感高中协作体期中)一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个红球,4个白球,若干个绿球,每次摇匀后随机摸出一个球,记下颜色后再放回袋中,经过大量重复试验后,发现摸到绿球的频率稳定在0.4,则袋中约有绿球　　　　个.  6.(2024河南焦作期中)某沙漠地区每年有2个月属于雨季,10个月属于旱季.经过初步治理,某年旱季的月降水量(单位:mm)依次达到12.1,12.0,10.4,10.5,12.5,14.1,14.3,14.3,16.7,18.1,记这组数据的第40百分位数与平均数分别为m,. (1)求m,; (2)已知雨季的月降水量均大于旱季的月降水量,该沙漠地区人工种植了甲、乙两种植物,当月降水量低于12.0 mm时甲种植物需要浇水,当月降水量低于15.0 mm时乙种植物需要浇水,求这一年的某月甲、乙两种植物都需要浇水的概率及二者中有植物需要浇水的概率. 题组三　用随机模拟的方法估计概率 7.(2025江西南昌二中月考)为了推动国家乡村振兴战略,某地积极响应,不断自主创新,培育了某种树苗,已知每棵树苗成活的概率都为0.8,现采用随机模拟的方法估计该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率.先由计算机产生1到5之间的整数随机数,指定1,2,3,4代表成活,5代表不成活,再以每3个随机数为一组代表3次种植的结果.经计算机随机模拟产生如下20组随机数:321,453,142,234,511,454,352,115,243,535,422,134,315,521,451,144,332,254,212,523,据此估计,该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率为(　　) A.0.4　　B.0.45　　C.0.5　　D.0.55 8.(2025湖北部分市州期末)某学校乒乓球比赛,学生甲和学生乙比赛3局(采取3局2胜制),假设每局比赛甲获胜的概率是0.7,乙获胜的概率是0.3,利用计算机模拟试验,计算机产生0到9之间的整数随机数,当出现随机数0~6时,表示一局比赛甲获胜,其概率是0.7.由于要比赛3局,所以每3个随机数为一组,产生20组随机数如下:603,099,316,696,851,916,062,107,493,977,329,906,355,860,375,107,347,467,822,166,据此估计甲获胜的概率为(　　) A.0.9　　B.0.95　　C.0.8　　D.0.85 9.(2024河北邯郸大名第一中学月考)袋子中有四个大小相同的小球,分别写有“中”“华”“民”“族”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“中”“华”两个字都取到时停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次就停止的概率,利用计算机随机产生0到3之间的整数随机数,分别用0,1,2,3代表“中”“华”“民”“族”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:232,321,230,023,123,021,132,220,001,231,130,133,231,031,320,122,103,233,由此估计恰好抽取三次就停止的概率为　　　　.  10.某篮球爱好者做投篮练习,假设其每次投中的概率是0.6,若该篮球爱好者连续投篮4次,求至少投中3次的概率(用随机模拟的方法写出估计过程). 能力提升练 题组　用频率估计概率 1.(2025广东佛山高级中学月考)众所周知,长时间玩手机可能影响视力.据调查,某校学生大约有40%的人近视,而该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h,这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生,则该名学生近视的概率约为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.(2024广东揭阳期中)为了解某校中学生遵守《中华人民共和国道路交通安全法》的情况,调查部门在该校进行了如下的随机调查,向被调查者提出两个问题:(1)你的学号是奇数吗?(2)在过路口时你是否闯过红灯?要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题,只需回答“是”或“不是”,因为只有被调查者本人知道回答了哪一个问题,所以都如实地进行了回答.结果显示被调查的1 200人(学号从1至1 200)中有366人回答了“是”,由此可以估计这1 200人中闯过红灯的人数是　　　　.  3.(2024福建泉州质检)在统计调查中,对一些敏感性问题,要精心设计问卷,设法消除被调查者的顾虑,使他们能够如实回答问题,否则,被调查者往往会拒绝回答或不提供真实情况.某中学为了调查本校学生某不良习惯A的发生情况,对随机抽出的200名学生进行了调查.调查中设置了两个问题: 问题1:你的阳历生日日期是不是偶数? 问题2:你是否有A习惯? 调查者准备了一个不透明袋子,里面装有大小、形状和质量完全一样的5个白球和5个红球.每个被调查者随机从袋中摸出1个球(摸出的球再放回袋中并搅拌均匀),摸到白球的学生如实回答第一个问题,摸到红球的学生如实回答第二个问题,回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子,回答“否”的人什么都不做.已知调查结束后,盒子里共有55个小石子,据此估计此中学学生中有A习惯的人数的百分比为　　　　.(一年按365天计算)  4.(2025广东茂名校际联盟质检)已知A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查,调查结果如下: 所用时间/ 分钟 [10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] 选择L1 的人数 6 12 18 12 12 选择L2 的人数 0 4 16 16 4 (1)试用频率估计概率,计算40分钟不能赶到火车站的概率; (2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟的时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试用频率估计概率通过计算说明,他们应如何选择各自的路径. 答案与分层梯度式解析 10.3　频率与概率 10.3.1　频率的稳定性 10.3.2　随机模拟 基础过关练 1.A 2.B 3.ACD 4.D 7.B 8.A 1.A　由概率与频率的关系知A正确;对于B,此人中靶的频率为0.7,但概率不一定为0.7,因此B错误;对于C,“正面朝上”是一个随机事件,所以掷6次,不一定有3次正面朝上,因此C错误;对于D,买这种彩票,中奖或者不中奖都有可能,且事先无法预料,因此D错误. 2.B　对于A,中心城区和郊区面积不一定相同,故整个城市明天的平均降水概率不一定为50%,故A错误; 对于B,明天郊区的降水概率较大,所以不带伞出门很可能淋雨,故B正确; 对于C,不管郊区还是中心城区都可能会出现降水,故C错误; 对于D,降水量并不取决于降水概率,故D错误. 3.ACD　对于A,次品率指的是出现次品的可能性,因此A错误;对于B,90%为降水的可能性,所以明天可能不下雨,因此B正确;对于C,D,概率应该是多次重复试验中事件发生的频率的稳定值,做8次抛硬币的试验,结果5次出现正面,则抛一枚硬币出现正面的频率是,因此C,D错误. 4.D　根据题图1可知,试验结果的频率在0.33附近波动,则其概率近似为. 对于A,抛一枚质地均匀的硬币,出现正面朝上的概率为,不符合题意; 对于B,掷一枚质地均匀的正六面体骰子,出现1点的概率为,不符合题意; 对于C,转动转盘,转到数字为奇数的概率为,不符合题意; 对于D,任取一个球恰好是蓝球的概率为,符合题意. 5.答案　8 解析　因为通过大量重复的摸球试验后,发现摸到绿球的频率稳定在0.4,所以估计摸到绿球的概率为0.4, 设不透明的袋中有x个绿球,因为袋中有8个红球,4个白球,所以≈0.4,解得x=8. 6.解析　(1)将数据从小到大排列为10.4,10.5,12.0,12.1,12.5,14.1,14.3,14.3,16.7,18.1, 又10×40%=4,所以第40百分位数m==12.3(mm), 平均数=×(10.4+10.5+12.0+12.1+12.5+14.1+14.3+14.3+16.7+18.1)=13.5(mm). (2)由题知12个月中降水量低于12.0 mm的有2个月,低于15.0 mm的有8个月, 所以甲、乙两种植物都需要浇水的概率为=,二者中有植物需要浇水的概率为=. 7.B　由题意可知,20组随机数中代表该树苗种植3棵恰好3棵都成活的数组为321,142,234,243,422,134,144,332,212,共9组, 据此估计该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率为=0.45. 8.A　设事件A为“甲获胜”,20组随机数中,事件A发生对应的数组为603,316,696,851,916,062,107,493,329,906,355,860,375,107,347,467,822,166,共18组, 据此估计P(A)==0.9. 9.答案　 解析　由随机模拟产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有021,001,130,031,共4组,所以恰好抽取三次就停止的概率约为=. 10.解析　利用计算机或计算器产生0到9之间的整数随机数,用1,2,3,4,5,6表示投中,7,8,9,0表示未投中,这样可以体现投中的概率是60%,因为投篮4次,所以每4个随机数为一组,例如5727,7895,0123,…,4560,4581,4698,共100组这样的随机数,若所有数组中没有7,8,9,0或只有7,8,9,0中的一个数的数组的个数为n,则至少投中3次的概率的近似值为. 能力提升练 1.B　设该校有a名学生,由题意可得,约有0.4a名学生近视,约有0.3a名学生每天玩手机超过2 h,约有0.7a名学生每天玩手机不超过2 h. 因为该校大约有30%的学生每天玩手机超过2 h,这些人的近视率约为50%, 所以每天玩手机超过2 h的学生中近视的学生人数为0.3a×0.5=0.15a, 则每天玩手机不超过2 h的学生中近视的学生人数为0.4a-0.15a=0.25a, 所以从每天玩手机不超过2 h的学生中任意调查一名学生,该名学生近视的概率约为=. 2.答案　132 解析　调查的学生有1 200名,在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同,∴第一个问题被询问了600次, ∵在被询问的600人中有300人的学号是奇数,而有366人回答了“是”, ∴估计有366-300=66名学生闯过红灯,即600名学生中有66名学生闯过红灯, ∴估计这1 200人中闯过红灯的人数是1 200×=132. 3.答案　6% 解析　被调查者回答两个问题的概率均为=,所以随机抽出的200名学生中,回答两个问题的人数均为200×=100, 一年365天中,阳历日期是偶数的有179天, 所以第一个问题回答为“是”的概率为≈0.49, 故200人中摸到白球并回答第一个问题为“是”的学生有100×0.49=49(人), 所以摸到红球并回答第二个问题为“是”的学生有55-49=6(人), 由此估计此中学学生中有A习惯的人数的百分比为×100%=6%. 4.解析　(1)调查的100人中,40分钟不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人), 因此40分钟不能赶到火车站的频率为0.44, 用频率估计概率,可知40分钟不能赶到火车站的概率为0.44. (2)设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站,B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站, 依题意,P(A1)==0.6,P(A2)==0.5, 由P(A1)>P(A2),得甲应选择路径L1. P(B1)==0.8,P(B2)==0.9, 由P(B1)<P(B2),得乙应选择路径L2, 所以甲应选择路径L1,乙应选择路径L2. 7 学科网（北京）股份有限公司 $