9.2.3 总体集中趋势的估计 9.2.4 总体离散程度的估计（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦“用样本估计总体”，系统讲解众数、中位数、平均数等集中趋势估计，以及方差、标准差等离散程度估计，通过概念定义、频率分布直方图应用及实际案例，构建从基础概念到实际应用的学习支架。 其亮点在于结合知识辨析与典例分析，如通过公司员工收入案例对比平均数与中位数的实际意义，培养学生用数学眼光观察数据、用数学思维分析波动的能力，帮助学生理解统计量的现实价值，教师可借助案例提升教学直观性与学生应用意识。

众数、中位数、平均数 知识点 1 9.2　用样本估计总体 9.2.3　总体集中趋势的估计　　9.2.4　总体离散程度的估计 必备知识 清单破 1.众数:一组数据中出现次数最多的数. 2.中位数:把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列,处在最中间位置的数(或最中间两 个数的平均数)叫做这组数据的中位数. 3.平均数:如果有n个数x1,x2,…,xn,那么 = (x1+x2+…+xn)叫做这n个数的平均数. 第九章　统计 高中同步 　方差和标准差 知识点 2 1.一组数据x1,x2,…,xn的方差和标准差 　　假设一组数据为x1,x2,…,xn,这组数据的平均数为 ,则称  (xi- )2为这组数据的方差,也 可以写成   - 的形式.对方差开平方,取它的算术平方根,即 ,称之为这组数据 的标准差. 第九章　统计 高中同步 2.总体方差和总体标准差 　　如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为 ,则称S2=  (Yi- )2为 总体方差,S= 为总体标准差. 　　如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频 数为fi(i=1,2,…,k),则总体方差为S2=  fi(Yi- )2. 3.样本方差和样本标准差 如果一个样本中个体的变量值分别为y1,y2,…,yn,样本平均数为 ,则称s2= 为样本方 差,s= 为样本标准差. 第九章　统计 高中同步 4.标准差的意义 　　标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越 小,数据的离散程度越小. 第九章　统计 高中同步 知识辨析 1.中位数一定是样本数据中的某个数吗? 2.一个样本的众数、平均数和中位数都是唯一的,对吗? 3.标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;标准差越小,表明各个样本数据 在样本平均数周围越分散.对吗? 4.某场比赛的计分规则如下:当评委亮分后,会先去掉一个最高分,去掉一个最低分,再计算剩 下分数的平均值,这是为什么? 第九章　统计 高中同步 一语破的 1.不一定.将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列后,如果有奇数个数据,那么处于最 中间位置的数是中位数;如果有偶数个数据,那么最中间两个数据的平均数是中位数. 2.不对.一组数据的众数可能有一个,可能有多个,也可能没有;中位数与平均数都是唯一的. 3.不对.标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越分散;标准差越小,表明各个样本 数据在样本平均数周围越集中. 4.这样做的目的是剔除异常值,避免异常值对平均值的影响. 第九章　统计 高中同步 　用众数、中位数、平均数估计数据的集中趋势  关键能力 定点破 定点 1 1.众数、中位数和平均数的比较 (1)平均数与每一个数据都有关,可以反映更多的总体信息,但受极端值的影响大;中位数是样 本数据所占频率的等分线,不受极端值的影响;众数只能体现数据的最大集中点,无法客观反 映总体特征. (2)一般地,对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述,可以用平均 数、中位数;而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述,可以用 众数. 第九章　统计 高中同步 2.用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数 众数 最高小矩形所在的区间中点对应的数据为众数的估计值 中位数 在频率分布直方图中,中位数左边和右边的小矩形的面积和应相等,即样本数据所占的频率等分 平均数 用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替样本平均数 第九章　统计 高中同步 典例　某公司员工年收入的频率分布直方图如图所示. (1)估计该公司员工年收入的众数、中位数、平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值 为代表); (2)假设你到人才市场找工作,该公司招聘人员告诉你: “我们公司员工的年平均收入超过13万元.”招聘人员 对该公司员工年收入的描述是否能客观反映该公司员 工年收入的实际情况?请根据(1)中的计算结果进行说明. 第九章　统计 高中同步 解析    (1)由题中频率分布直方图可估计该公司员工年收入的众数为10万元. 由于0.04×5=0.2<0.5,(0.04+0.1)×5=0.7>0.5,所以该公司员工年收入的中位数在[7.5,12.5)内,设 中位数为a万元,则0.2+0.1×(a-7.5)=0.5,解得a=10.5, 所以估计该公司员工年收入的中位数为10.5万元. 估计该公司员工年收入的平均数为(0.04×5+0.1×10+0.02×15+0.01×20+0.01×25+0.008×30+ 0.008×35+0.004×40)×5 =13.15(万元). (2)招聘人员的描述不能客观反映该公司员工年收入的实际情况.(平均数容易受数据中极端 值的影响) 由(1)知,有一半员工年收入不超过10.5万元,多数员工年收入是10万元,少数员工年收入很高, 在这种情况下,年收入的平均数就比其中位数大得多,所以用中位数或众数更能客观反映该公司员工年收入的实际情况. 第九章　统计 高中同步 　用方差和标准差估计数据的离散程度  定点 2 1.研究两个样本的波动情况或比较它们的稳定性、可靠性等,可先求平均数,比较一下哪一个 更接近标准,若平均数相等,则再比较两个样本方差的大小,从而作出判断. 2.分层随机抽样的方差 　　设某样本可分为两层,样本量为n,其中两层的个体数分别为n1,n2,两层的平均数分别为 ,  ,方差分别为 , ,则这个样本的平均数 =  +  ,方差s2= [ +( - )2]+ [ +( - )2]. 第九章　统计 高中同步 3.方差计算公式的变形 　　方差s2=  (xi- )2= [ + +…+ -(2x1· +2x2· +…+2xn· )+n ]= ( + +…+ -n ) =  即一组数据的方差等于该组各数据平方的平均数减去该组数据的平均数的平 方. 4.数据线性运算的平均数、方差公式 若数据x1,x2,…,xn的平均数为 ,方差为 ,数据y1,y2,…,yn满足:yi=mxi+a(i=1,2,…,n),则: (1)数据y1,y2,…,yn的平均数是 =m +a; (2)数据y1,y2,…,yn的方差是 =m2 . 第九章　统计 高中同步 典例1　某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训,他们在培训期间参加的8次测试成绩(单 位:分)记录如下: 甲 95 82 88 81 93 79 84 78 乙 83 92 80 95 90 80 85 75 (1)从平均数和方差的角度分析两名工人的成绩; (2)甲、乙的成绩(单位:分)位于[ -s, +s]内的各有多少?(其中 ,s分别为8次成绩的平均数和 标准差) 第九章　统计 高中同步 解析    (1)依题意得 = ×(95+82+88+81+93+79+84+78)=85,  = ×(83+92+80+95+90+80+85+75)=85.  = ×[(95-85)2+(82-85)2+(88-85)2+(81-85)2+(93-85)2+(79-85)2+(84-85)2+(78-85)2]=35.5,  = ×[(83-85)2+(92-85)2+(80-85)2+(95-85)2+(90-85)2+(80-85)2+(85-85)2+(75-85)2]=41. ∵ = , < , ∴甲、乙两名工人的成绩相当,甲的成绩较稳定. (2)∵s甲= = ≈5.96, =85, ∴ -s甲=79.04, +s甲=90.96, ∴甲的成绩(单位:分)位于[ -s, +s]内的有4个. ∵s乙= = ≈6.40, =85, ∴ -s乙=78.60, +s乙=91.40, ∴乙的成绩(单位:分)位于[ -s, +s]内的有5个. 第九章　统计 高中同步 典例2　某中学为了贯彻教育部对学生的五项管理中的体质管理,对高一年级学生身高进行 调查,在调查中,采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本,已知抽取了男生34人,其样本 数据的平均数和方差分别为170.5和15,抽取了女生16人,其样本数据的平均数和方差分别为 160.5和35. (1)计算总样本数据的平均数; (2)计算总样本数据的方差,并对高一年级全体学生身高数据的方差作出估计. 参考数据:(15+3.22)×34=858.16,(35+6.82)×16=1 299.84. 第九章　统计 高中同步 解析    (1)设男生样本数据的平均数为 ,方差为 ,女生样本数据的平均数为 ,方差为 ,总 样本数据的平均数为 , 则 =170.5, =15, =160.5, =35, 因此 = =167.3. (2)设总样本数据的方差为s2,则由分层随机抽样的方差公式可得s2= ×[15+(170.5-167.3)2]+  ×[35+(160.5-167.3)2]=43.16. 据此估计高一年级全体学生身高数据的方差为43.16. 第九章　统计 高中同步 $