第8章 专题强化练6 空间几何体的外接球和内切球（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

专题强化练6　空间几何体的外接球和内切球 1.(2025上海同济大学第一附属中学月考)已知一个棱长为1的正方体,与该正方体每个面都相切的球的半径为R1,与该正方体每条棱都相切的球的半径为R2,过该正方体所有顶点的球的半径为R3,则下列关系正确的是(　　) A.R1∶R2∶R3=∶∶2 B.R1+R2=R3 C.+= D.+= 2.(2024安徽六安期中)在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,沿对角线AC将△ACD折起,使点D到达点P(P不在平面ABC内)的位置,连接BP,形成四面体P-ABC,则四面体P-ABC的外接球的体积为(　　) A.π　　B.π　　C.π　　D.π 3.(2025山东枣庄期中)已知棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在一半球的底面上,且A,B,C,D四个顶点都在此半球面上,则此半球的体积为(　　) A.32π　　B.4π　　C.16π　　D.8π 4.(2025辽宁沈阳第二十中学月考)已知圆台O1O2的上、下底面面积分别为4π,36π,其外接球球心O满足=3,则圆台O1O2的外接球体积与圆台O1O2的体积的比值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 5.(多选题)(2025山东名校联盟期中)在四面体A-BCD中,AB=CD=BC=AD=5,AC=BD=2,则下列结论正确的有(　　) A.四面体A-BCD的表面积为40 B.四面体A-BCD的体积为10 C.四面体A-BCD外接球的表面积为35π D.记四面体A-BCD内切球的球心为O,则OA= 6.(多选题)(2025安徽皖中名校联盟期中)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=CC1=2,AC⊥BC,Q是线段AB的中点,P是线段BC1上的动点(含端点),则下列命题正确的是(　　) A.三棱锥C1-A1QC的体积为 B.直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球半径为2 C.PA1+PQ的值可以为 D.在直三棱柱ABC-A1B1C1内部能够放入一个表面积为π的球 7.(2025福建三明第二中学月考)一个轴截面是边长为2的正三角形的圆锥形封闭容器,放入一个半径为1的小球O1后,再放入一个小球O2,则小球O2的体积与容器体积之比的最大值为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 8.(2025山东省实验中学段考)已知半径为的球O的球心到正四面体A-BCD的四个面的距离都相等,若正四面体A-BCD的棱与球O的球面有公共点,则正四面体A-BCD的棱长的取值范围为(　　) A.[4,4]　　B.[4,12]　　 C.[2,12]　　D.[2,4] 9.(2025重庆第十八中学月考)已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2,8,侧棱长为3,则该正四棱台内半径最大的球的表面积为(　　) A.12π　　B.27π　　C.　　D. 10.(2025湖南名校期中联考)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=6,若存在一个可以在正三棱柱ABC-A1B1C1内任意转动的正方体,则该正方体棱长a的最大值为　　　　.  11.(2025湖南常德第一中学期中)如图,圆柱内接于球O,已知球O的半径为2,设圆柱的底面半径为r. (1)以r为变量,表示圆柱的表面积和体积; (2)当r为何值时,圆柱的侧面积最大?最大值是多少? 12.(2025河北NT20名校联合体期中)如图,△BCD是圆锥底面圆的内接三角形,BD=4,cos∠BCD=,PA为圆锥的母线,且圆锥的侧面展开图是一个半圆. (1)求圆锥的外接球的表面积; (2)求三棱锥P-BCD体积的最大值; (3)用平行于底面的平面截去圆锥的一部分,若剩下的圆台有内切球,求圆台的体积. 答案与分层梯度式解析 专题强化练6　空间几何体的外接球和内切球 1.C 2.C 3.A 4.B 5.ACD 6.AD 7.A 8.A 9.D 1.C　与该正方体每个面都相切的球的直径为正方体的棱长,故R1=, 与该正方体每条棱都相切的球的直径为正方体的面对角线长,故R2==, 过该正方体所有顶点的球的直径为正方体的体对角线长,故R3==, 则R1∶R2∶R3=1∶∶,A错误;+=,故C正确;易知B,D错误. 2.C　在原矩形ABCD中,BD=AC=5,设DB与AC交于点O,连接PO,如图, 则OA=OB=OC=OP=, 所以O为四面体P-ABC的外接球的球心,且外接球半径为, 则四面体P-ABC的外接球的体积为×π×=. 方法技巧 　　三角形三边垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心.同理,分别过多面体每个面的外接圆的圆心且与该面垂直的直线的交点是多面体的外接球球心. 3.A　设半球的球心为O,半径为R,连接OA, 由题易知半球的球心是正方形A1B1C1D1的中心,且OA1=×4=2,AA1=4, 在Rt△OAA1中,R2=OA2=A+O=42+(2)2=24,解得R=2(负值舍去), 故半球的体积V=×π×(2)3=32π. 4.B　设圆台O1O2的高为4h,则由题意得||=3||=3h,作出圆台的轴截面如图: 由圆台O1O2的上、下底面面积分别为4π,36π,得圆O1,O2的半径分别为2,6, 设外接球半径为R,由勾股定理得R2=4+9h2=36+h2,解得h=2,R=2, 故所求体积的比值为=. 5.ACD　四面体的每个面均为等腰三角形,面积均为×2×=10,所以四面体的表面积为4×10=40,故A正确. 因为四面体的对棱相等,所以四面体可补形为长方体AEBF-HDGC,如图,设BE=a,AE=b,DE=c, 则解得 易得VG-BCD=VE-ABD=VH-ACD=VF-ABC,所以V四面体=V长方体-4VG-BCD=V长方体-4VB-CDG=abc-4××abc=abc=,故B错误. 四面体的外接球即长方体的外接球(破题关键),所以外接球的半径R==,表面积为4πR2=35π,故C正确. 因为四面体内切球球心到各个面的距离相等,且四面体各个面是全等的,所以可以得到内切球球心到四面体各个顶点的距离也相等,即四面体的内切球球心和外接球球心重合,则OA的长度即为外接球的半径,为,故D正确. 6.AD　对于A,易知==××2×2×1=,故A正确. 对于B,直三棱柱ABC-A1B1C1可以补形为棱长为2的正方体,易知正方体的外接球即直三棱柱的外接球,所以其外接球的半径为,故B错误. 对于C,连接A1B,将面A1BC1翻折到与面BQC1在同一个平面内,如图所示: 通过分析知当A1,P,Q三点共线时,PA1+PQ取得最小值. 在△A1BC1中,易得BC1=2,A1B=2,A1C1=2, 则A1+B=A1B2,故∠A1C1B=90°, 在△BQC1中,易得BQ=,C1Q=, 则BQ2+C1Q2=B, 故∠C1QB=90°,则cos∠BC1Q==, 所以∠BC1Q=30°, 在△A1C1Q中,∠A1C1Q=90°+30°=120°,所以由余弦定理得A1Q2=A1+C1Q2-2A1C1·C1Qcos 120°=4+6-2×2××=10+2, 所以PA1+PQ的最小值为, 又<,故PA1+PQ的值不可能为,故C错误. 对于D,因为AC=BC=2,AC⊥BC,所以AB==2, 故△ABC的内切圆半径r====2-, 因为2×(2-)<2,所以在这个直三棱柱ABC-A1B1C1内部可以放入的球的最大半径为2-, 易得表面积为π的球的半径为0.5, 因为(2-)-0.5=1.5->0,所以这个直三棱柱ABC-A1B1C1内部可以放入半径为0.5,即表面积为π的球,故D正确. 7.A　由题意,得圆锥形封闭容器的底面半径r=,高h=3. 易得边长为2的正三角形的内切圆半径r1=×3=1,所以圆锥形封闭容器的内切球半径为1, 所以小球O1与容器的侧面、底面均相切. 要使小球O2的体积与容器体积之比最大,则小球O2的半径r2最大, 所以只需小球O2与小球O1及容器的侧面都相切,其轴截面如图. 此时r2=×(3-2r1)=, 所以小球O2的体积与容器体积之比的最大值为=. 8.A　如图所示,设A在底面BCD上的射影为F,则O在AF上,连接DF并延长,交BC于E,易知E为BC的中点,连接OE,OD. 设正四面体A-BCD的棱长为a, 则DE==a,DF=DE=a,正四面体A-BCD的高为AF==a. 当正四面体A-BCD内接于球O,即OA=时,a最小, 此时DF2+OF2=OD2,即+=6,所以a=4. 当球O与正四面体A-BCD的每条棱都相切,即OE=时,a最大, 因为球O的球心到正四面体A-BCD的四个面的距离都相等, 所以当球O与正四面体A-BCD的每条棱都相切时,借助正四面体和球的结构特征可知切点均为棱的中点,由OD2=OF2+DF2,即=OF2+,得OF=a,又EF=DF=a,OF2+EF2=OE2, 所以+=()2,所以a=4. 故正四面体A-BCD的棱长的取值范围为[4,4]. 9.D　如图1所示,设O,O1分别为正方形ABCD,正方形A1B1C1D1的中心,连接OO1,BO,B1O1,过点O作OE⊥CD于点E,过点O1作O1E1⊥C1D1于点E1,连接EE1,则OO1为正四棱台的高,EE1为其斜高, 因为正四棱台的上、下底面边长分别为2,8,侧棱长为3, 所以B1O1=,BO=4,OO1==3, 因为OO1=3>=5(5是以正四棱台侧棱中点为顶点的正方形的边长,即若球与棱台的上、下底面均相切,则球面超出了四棱台侧面),所以半径最大的球不与上、下底面同时相切. 易得EE1==6,则sin∠OEE1==,则∠OEE1=. 如图2,过O,E,E1,O1作正四棱台的截面,截面截球得大圆,则该圆与等腰梯形两腰和下底相切,设大圆圆心为O2,连接O2E,则∠O2EO=, 则OO2=OEtan =<=(球与四个侧面及下底面相切,且球面没有超出上底面),故半径最大的球与四个侧面及下底面相切, 故该正四棱台内半径最大的球的半径为,其表面积为4π×=. 10.答案　2 思路点拨 　　若正方体可以在正三棱柱内任意转动,则说明正方体的外接球在该正三棱柱中,求正方体棱长的最大值即可转化为求三棱柱内最大的球的直径.通过比较底面三角形内切圆的直径和三棱柱的高得出最大球的直径. 解析　若正方体的棱长a最大,则正方体外接球的直径=a最大, 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=6,所以底面三角形内切圆的直径为2××6×=2, 又因为6>2, 所以正方体外接球的直径最大为底面内切圆的直径,即(a)max=2,解得amax=2. 故该正方体棱长a的最大值为2. 11.解析　(1)设圆柱的高为h,则=,所以h=2, 所以圆柱的表面积S=2πr2+2πr·h=2πr2+4πr·,体积V=πr2·h=πr2·2=2πr2. (2)由(1)可得圆柱的侧面积S'=2πr·h=4πr=4π≤4π×=8π, 当且仅当r2=4-r2,即r=时取等号,故当r=时,圆柱的侧面积最大,最大值为8π. 12.解析　(1)设圆锥底面圆的圆心为O,半径为r1,连接PO. 因为cos∠BCD=,所以sin∠BCD=, 则2r1===4,所以r1=2, 又圆锥的侧面展开图是半圆,所以2πr1=π·PA, 所以PA=4,所以圆锥的高PO===6, 设圆锥外接球的半径为R, 则(6-R)2+(2)2=R2,解得R=4, 所以外接球的表面积为4πR2=64π. (2)过圆心O作弦BD的垂线,垂足为E,易知E为BD的中点,则OE===2, 因为三棱锥P-BCD的高一定,所以要使三棱锥P-BCD的体积最大,只需△BCD的面积最大,因为BD的长为定值,所以只需BD边上的高最大,易知当C,O,E三点共线,且O在线段CE上时,BD边上的高最大,所以△BCD面积的最大值为×(2+2)×4=4(+), 所以三棱锥P-BCD的体积的最大值为×6×4(+)=8(+). (3)设圆台的上底面半径为r2,内切球的半径为r,画出圆锥PO的轴截面,如图. 则O'M=MN=r2,NF=OF=2,根据三角形相似可知=,即=, 解得r2=,所以==,所以2r=PO,所以r=PO=×6=2, 所以圆台的体积V=×4×=π. 7 学科网（北京）股份有限公司 $