8.5.2 直线与平面平行（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

8.5.2　直线与平面平行 基础过关练 题组一　直线与平面平行的判定 1.(多选题)(2025山东淄博高青一中开学考试)如图所示,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线的交点为O,M为PB的中点,则以下结论正确的是(　　) A.OM∥PD　　B.OM∥平面PAC C.OM∥平面PDA　　D.OM∥平面PBA 2.(2025天津咸水沽第二中学期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点.给出下列三个推断:①FG∥平面AA1D1D;②EF∥平面BC1D1;③FG∥平面BC1D1.其中推断正确的序号是　　　　.  3.(2025广东广州奥林匹克中学期中)如图,底面为等边三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,E为AA1的中点,D为BC的中点. (1)求证:AD∥平面BC1E; (2)求三棱锥C-ABE的体积. 题组二　直线与平面平行的性质定理 4.(2025北京师达中学期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则(　　) A.MN∥PD　　B.MN∥PA C.MN∥AD　　D.MN∥BC 5.(2025安徽师范大学附属中学期中)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E是棱CC1上一点,且=,D是棱BC上一点.若A1B∥平面ADE,则的值为　　　　.  6.(2025陕西西安中学期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=2,CD=3,M为PC上一点,且PM=2MC. (1)求证:BM∥平面PAD; (2)若平面PDC∩平面PAB=l,证明:l∥AB. 能力提升练 题组一　直线与平面平行的判定 1.(2024陕西西安期末)一几何体的平面展开图如图所示,其中四边形ABCD为正方形,E,F分别为PB,PC的中点,在此几何体中,下面结论错误的是(　　) A.直线AE与直线BF异面 B.直线AE与直线DF异面 C.直线EF∥平面PAD D.直线EF∥平面ABCD 2.(多选题)(2025广东汕头金山中学期中)在下列各图中,A,B,C,P,Q是正方体的顶点或所在棱的中点,则满足PQ∥平面ABC的有(　　) 　　 　　 3.(多选题)(2025湖南湘潭第一中学期中)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是AA1,CC1,C1D1的中点,Q是线段D1A1上的动点,则下列说法中正确的是(　　) A.存在点Q,使B,N,P,Q四点共面 B.存在点Q,使PQ∥平面MBN C.三棱锥P-MBN的体积为 D.经过C,M,B,N四点的球的表面积为 4.(2025山东青岛第二中学期中)如图,在四棱锥S-ABCD中,BC∥AD,BC=1.点E在AD上,且AE=1,DE=2. (1)求证:AB∥平面SCE; (2)在线段SE上是否存在一点F,使BF∥平面SCD?若存在,求F的位置;若不存在,说明理由. 题组二　直线与平面平行的性质定理 5.(2025福建三明期中)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为4,E为AB的中点,过点E及直线A1C1的平面截这个正三棱柱,则该截面的面积是(　　) A.2　　B.3　　 C.2　　D.3 6.(多选题)(2025浙江G5联盟期中)如图,已知四棱锥P-ABCD中,AB∥CD且AB=2CD,M,N分别是AP,AB的中点,则下列说法正确的有(　　) A.PC∥平面DMN B.四棱锥P-ABCD的体积为V1,三棱锥D-AMN的体积为V2,则= C.平面PCD与平面PAB的交线记为l1,则直线l1∥平面ABCD D.平面PDA与平面PBC的交线记为l2,则直线l2∥平面DMN 7.(2025黑龙江名校协作体段考)如图,O是圆台上底面的圆心,A,B是圆台下底面圆周上的两个动点,MN是圆台的一条母线,记圆台的上、下底面圆的半径分别为r,R.若MN=R=2r,MN∥平面OAB,且AB的最小值为6,则该圆台的体积为(　　) A.π　　B.15π　　 C.21π　　D.18π 8.(2024上海虹口高级中学期末)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P1,P2分别是线段AB,BD1(不包括端点)上的动点,且P1P2∥平面A1ADD1,则四面体P1-P2AB1的体积的最大值是　　　　　.  9.(2025福建莆田第一中学月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,且AD∥BC,AD=2BC,点E为棱PD上的动点. (1)若PE=ED,求证:CE∥平面PAB; (2)若PB∥平面ACE,计算的值; (3)若PE=ED,PA=PB=PC=AD=10,CD=12,请在图中作出四棱锥P-ABCD过点B,E及棱AD的中点的截面,并求出截面周长. 答案与分层梯度式解析 8.5.2　直线与平面平行 基础过关练 1.AC　由题意知O是BD的中点,又M为PB的中点, ∴OM∥PD,∵OM⊄平面PDA,PD⊂平面PDA,∴OM∥平面PDA,故A,C正确;OM与平面PAC有公共点O,与平面PBA有公共点M,故OM与平面PAC,平面PBA都不平行,故B,D错误. 易错警示 　　判定线面平行的关键是在面内找到该线的平行线,注意说明该线在平面外这一前提. 2.答案　①③ 解析　如图,连接AD1,A1C1, 对于①,因为F,G分别是B1C1,BB1的中点,所以FG∥BC1,易知BC1∥AD1,所以FG∥AD1,因为FG⊄平面AA1D1D,AD1⊂平面AA1D1D,所以FG∥平面AA1D1D,故①正确; 对于②,因为E,F分别是A1B1,B1C1的中点,所以EF∥A1C1,又A1C1与平面BC1D1相交,所以EF与平面BC1D1相交,故②错误; 对于③,因为FG∥BC1,FG⊄平面BC1D1,BC1⊂平面BC1D1,所以FG∥平面BC1D1,故③正确. 3.解析　(1)证明:取BC1的中点O,连接OD,OE,如图所示, ∵D为BC的中点,∴OD∥CC1且OD=CC1, ∵E为AA1的中点,AA1∥CC1,且AA1=CC1, ∴AE∥CC1,且AE=CC1,∴OD∥AE,且OD=AE, ∴四边形ADOE为平行四边形,∴OE∥AD, 又∵AD⊄平面BC1E,OE⊂平面BC1E,∴AD∥平面BC1E. (2)VC-ABE=VE-ABC=×S△ABC×AE=××22sin 60°×1=. 技巧点拨 　　判定线面平行应遵循“先找后作”的原则,即先在平面内找已知直线的平行线,若找不到,可以利用平行四边形、中位线定理作辅助线. 4.B　因为MN∥平面PAD,MN⊂平面PAC,平面PAD∩平面PAC=PA,所以MN∥PA. 5.答案　 解析　连接A1C,与AE相交于点O,连接OD,如图, 因为A1B∥平面ADE,平面A1BC∩平面ADE=OD,A1B⊂平面A1BC,所以A1B∥OD,所以=, 因为AA1∥CE,所以==,即=, 所以=. 6.证明　(1)如图,在PD上取一点N,使得=, 连接AN,NM,因为PM=2MC,所以==, 所以NM∥CD,且=, 又AB∥CD,=,所以NM∥AB且NM=AB, 故四边形NMBA为平行四边形,所以BM∥AN, 又BM⊄平面PAD,AN⊂平面PAD, 所以BM∥平面PAD. (2)因为AB∥CD,AB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD, 所以AB∥平面PCD, 又AB⊂平面PAB,平面PCD∩平面PAB=l, 所以l∥AB. 解题技法 　　证明线线平行的常用方法:(1)基本事实4;(2)三角形、梯形中位线定理;(3)平行四边形的性质;(4)平行线分线段成比例;(5)线面平行的性质定理. 能力提升练 1.B 2.BD 3.ABC 5.D 6.ACD 7.C 1.B　由题意知,该几何体是底面为正方形的四棱锥,如图所示, 易得EF∥BC,BC∥AD,则EF∥AD,故EF,AD共面,则AE,DF共面,故B中结论错误; 因为F∈平面AEFD,B∉平面AEFD,F不在直线AE上,所以直线AE与直线BF异面,故A中结论正确; 由EF∥AD,EF⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,得直线EF∥平面PAD,故C中结论正确; 由EF∥BC,EF⊄平面ABCD,BC⊂平面ABCD,得直线EF∥平面ABCD,故D中结论正确. 2.BD　对于A,如图(1),连接BD,则BD∥PQ, 又BD∩平面ABC=B,所以PQ与平面ABC不平行,故A不符合题意; 对于B,易得PQ∥AC,又PQ⊄平面ABC,AC⊂平面ABC,所以PQ∥平面ABC,故B符合题意; 对于C,如图(2),取FN的中点D,连接EF,MN,CD,BD,DQ,CP,则AB∥EF,PQ∥MN,EF∥MN∥CD,故AB∥CD∥PQ,则A,B,C,D四点共面,易得AC∥DQ,又D∈平面ABDC,所以DQ⊂平面ABDC,同理可得CP⊂平面ABDC,所以A,B,C,D,P,Q六点共面(易错点:虽然PQ∥AB,但是PQ⊂平面ABC),故C不符合题意; 　 对于D,如图(3),连接PD,交AB于点O,连接OC, 则O为PD的中点,又C为DQ的中点,所以OC∥PQ, 因为PQ⊄平面ABC,OC⊂平面ABC,所以PQ∥平面ABC,故D符合题意. 3.ABC　对于A,连接A1B,CD1,因为N,P分别是CC1,C1D1的中点,所以PN∥CD1.易知CD1∥A1B,所以A1B∥PN,所以A1,B,N,P四点共面,故当Q与A1重合时,B,N,P,Q四点共面,故A正确. 对于B,连接A1C1,当Q是D1A1的中点时,PQ∥A1C1,又A1C1∥MN,所以PQ∥MN,因为PQ⊄平面MBN,MN⊂平面MBN,所以PQ∥平面MBN,故B正确. 对于C,连接D1M,D1N,D1B,易知D1M∥BN,则VP-MBN=VM-PBN===××1×1×2=,故C正确. 对于D,分别取BB1,DD1的中点E,F,连接ME,EN,NF,MF,则经过C,M,B,N四点的球即为长方体MADF-EBCN的外接球,设球的直径为2R,则(2R)2=AB2+BC2+CN2=4+4+1=9(长方体的体对角线长为外接球的直径),所以经过C,M,B,N四点的球的表面积为4πR2=9π,故D错误. 4.解析　(1)证明:由题意可得BC∥AE,且BC=AE=1,所以四边形ABCE为平行四边形,所以AB∥CE, 又AB⊄平面SCE,CE⊂平面SCE,所以AB∥平面SCE. (2)假设存在点F满足BF∥平面SCD, 如图,过点F作FG∥AD,交SD于点G,连接CG, 因为BC∥AD,所以FG∥BC,所以B,C,G,F四点共面, 因为BF∥平面SCD,BF⊂平面BCGF,平面SCD∩平面BCGF=CG, 所以BF∥CG,所以四边形BCGF是平行四边形, 所以FG=BC=1,所以FG=ED,所以F为线段SE的中点.故存在点F,使BF∥平面SCD,且F为SE的中点. 方法技巧 　　解决探索性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在,然后在这个前提下进行逻辑推理,若能推导出正确的结果,则说明假设成立,即存在,并可进一步证明,否则不成立,即不存在. 5.D　如图,设过点E及直线A1C1的平面交直线BC于F, 因为A1C1∥AC,A1C1⊄平面ABC,AC⊂平面ABC, 所以A1C1∥平面ABC,又平面ABC∩平面A1C1FE=EF,A1C1⊂平面A1C1FE,所以A1C1∥EF,即AC∥EF, 又E为AB的中点,所以F为BC的中点, 故A1E=C1F==2,易知EF=2, 故等腰梯形A1C1FE的高为=, 故截面的面积为×=3. 6.ACD　对于A,连接AC,设AC∩DN=O,连接MO,由AB∥CD且AB=2CD,N为AB的中点,得==1,则O是AC的中点,又M是PA的中点,所以MO∥PC, 因为MO⊂平面DMN,PC⊄平面DMN,所以PC∥平面DMN,A正确; 对于B,设点M到平面ABCD的距离为h,因为M是PA的中点,所以P到平面ABCD的距离为2h,则=====6,B错误; 对于C,因为CD∥AB,AB⊂平面PAB,CD⊄平面PAB,所以CD∥平面PAB, 又平面PCD∩平面PAB=l1,CD⊂平面PCD,所以l1∥CD,又CD⊂平面ABCD,l1⊄平面ABCD,所以直线l1∥平面ABCD,C正确; 对于D,延长AD,BC交于点E,连接PE,直线l2即直线PE,由AB∥CD且AB=2CD,可得D为AE的中点,又M是PA的中点,所以MD∥PE,又MD⊂平面DMN,PE⊄平面DMN,所以直线PE∥平面DMN,D正确. 7.C　设圆台下底面圆心为O',连接ON,OO',MO',设MO'∩AB=C,连接OC,显然ON∥O'M, 因为平面OO'MN∩平面OAB=OC,MN∥平面OAB,MN⊂平面OO'MN,所以MN∥OC, 则四边形OCMN为平行四边形,所以OC=MN=R,MC=ON=r,又O'M=2r,所以O'C=r. 在圆O'中,当且仅当AB⊥O'M时(AB为过圆O'内定点C的弦),AB取最小值6, 此时AB=,即3=,解得R=2,则r=,故圆台的高h=OO'==3, 所以该圆台的体积为π(r2+rR+R2)h=π×(3+6+12)×3=21π. 方法技巧 　　利用线面平行的性质定理解决计算问题的三个关键点:(1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系;(2)利用三角形中位线定理、平行线分线段成比例等推出有关线段的关系;(3)利用所得关系计算求值. 8.答案　 解析　如图,连接AD1,∵P1P2∥平面A1ADD1,平面ABD1∩平面A1ADD1=AD1,P1P2⊂平面ABD1,∴由线面平行的性质定理知P1P2∥AD1, ∴△P1P2B∽△AD1B,则==, 设P1B=x,x∈(0,1),P2到平面AA1B1B的距离为h,则=,所以=,即h=x, 所以==××(1-x)×1×x=(x-x2)=-+,0<x<1, 则当x=时,四面体P1-P2AB1的体积取得最大值,为. 9.解析　(1)证明:取PA的中点F,连接EF,BF, 因为PE=ED,所以E为PD的中点, 所以EF∥AD,且EF=AD, 又AD∥BC,且AD=2BC, 所以EF∥BC且EF=BC, 所以四边形BCEF为平行四边形,所以EC∥FB, 又EC⊄平面PAB,FB⊂平面PAB,所以CE∥平面PAB. (2)连接BD,设AC∩BD=O,连接OE, 因为PB∥平面ACE,平面ACE∩平面PBD=OE,PB⊂平面PBD,所以OE∥PB,所以=. 因为AD∥BC,所以△DOA∽△BOC,所以==2,则=,所以=. (3)设N为AD的中点,取PC的中点H,连接EH,HB,BN,EN, 因为N为AD的中点,AD∥BC,AD=2BC,所以DN∥BC,DN=BC, 所以四边形NDCB为平行四边形,所以DC∥NB, 因为E,H分别为PD,PC的中点,所以EH∥DC, 所以EH∥NB,则四棱锥P-ABCD过点B,E及棱AD的中点的截面为四边形EHBN,如图所示, 易知BN=CD=12,EN=PA=5,HE=CD=6,BC=AD=5,HC=PC=5, 在△PBC中,cos∠PCB==, 所以BH2=BC2+HC2-2BC·HC·cos∠PCB=25+25-2×5×5×=,则BH=, 所以截面周长为BN+EN+HE+HB=12+5+6+=23+. 7 学科网（北京）股份有限公司 $