7.3.1 复数的三角表示式 7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

7.3*　复数的三角表示 7.3.1　复数的三角表示式 7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 基础过关练 题组一　复数的三角形式及其与代数形式的互化 1.(2025湖南衡阳第一中学期末)复数z=-3-i的辐角的主值为(　　) A.　　B.-　　C.　　D. 2.(多选题)(2024山东滨州期末)已知复数z=1+i(i为虚数单位),则下列说法中正确的是(　　) A.z的共轭复数为=-1+i B.|z|= C.z的辐角的主值是 D.=1+i 3.已知复数z-1的一个辐角为,z+1的一个辐角为,则复数z等于(　　) A.+i　　B.-+i C.±i　　D.-±i 题组二　复数三角形式的乘、除运算 4.已知复数z1=,z2=cos+isin,则z1z2的代数形式是(　　) A.　　B. C.-i　　D.+i 5.(2025云南宣威第七中学期中)如果θ∈,那么复数(1+i)(cos θ-isin θ)的三角形式是(　　) A. B.[cos(2π-θ)+isin(2π-θ)] C. D. 6.(2025陕西西安临潼华清中学月考)棣莫弗定理:若复数z=r(cos θ+isin θ),则zn=rn(cos nθ+isin nθ)(n∈N*),计算:=(　　) A.-1　　B.-+i　　 C.--i　　D.-i 7.(多选题)(2025浙江台州山海协作体期中)若复数z满足z5=32,则z可能为(　　) A.2　　B.2 C.2　　D.2 8.(多选题)(2025江苏盐城射阳中学月考)下列说法正确的有(　　) A.复数z=1-i的三角形式为z=2 B.当r=1,θ=时,z+z2+z3+…+z2 024=0 C.当r=2,θ=时,z3=-8 D.当r=3,θ=时,“n为偶数”是“zn为纯虚数”的充分不必要条件 9.计算: (1)8×4; (2)(cos 225°+isin 225°)÷[(cos 150°+isin 150°)]; (3)4÷. 10.(1)在复平面内画出复数z=1-i对应的向量,并把z=1-i表示成三角形式; (2)已知z1=cos θ1+isin θ1,z2=cos θ2+isin θ2,cos(π+θ1+θ2)=,θ1,θ2∈,试求z1z2.(结果表示为代数形式) 11.(2025山东名校联盟期中)(1)试将z=-1+i写成三角形式; (2)当|z|=1时,求|z2-z+1|的最大值和最小值; (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式:sin 3θ=3sin θ-4sin3θ,cos 3θ=4cos3θ-3cos θ. 题组三　复数三角形式乘、除运算的几何意义的应用 12.(2025江苏无锡江阴联考)欧拉公式:eiθ=cos θ+isin θ(θ∈R),根据欧拉公式,在复平面内,若复数z=对应的点为Z,将向量绕原点O按逆时针方向旋转,所得向量对应的复数是(　　) A.-+i　　B.-+i　　 C.--i　　D.--i 13.(多选题)已知四边形OABC为正方形,O是坐标原点,且点B在x轴的上方,向量对应的复数为2+i,则(　　) A.点B对应的复数为1+3i B.向量对应的复数为-1+2i C.向量对应的复数为1+2i D.||= 14.(2024上海建平中学期中)在复平面内,将向量=-3cos ,3sin 绕原点O按顺时针方向旋转得到向量,则点B的坐标是　　　　.  答案与分层梯度式解析 7.3*　复数的三角表示 7.3.1　复数的三角表示式 7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 基础过关练 1.A 2.BCD 3.B 4.D 5.A 6.A 7.BD 8.BC 12.A 13.ABD 1.A　z=-3-i=2=2, 所以z的辐角的主值为. 2.BCD　因为z=1+i,所以=1-i,故A错误; |z|==,故B正确; z=1+i=,所以arg z=,故C正确; ===1+i,故D正确. 3.B　设z=a+bi(a,b∈R), ∵z-1=a-1+bi的一个辐角为, ∴=tan=-,① ∵z+1=a+1+bi的一个辐角为, ∴=tan=,② 联立①②,得∴z=-+i. 4.D　z1z2=× = ==+i. 5.A　因为1+i=,cos θ-isin θ=cos(2π-θ)+isin(2π-θ), 所以(1+i)(cos θ-isin θ)=cos+2π-θ+isin=cos+isin. 6.A　因为+i=cos +isin , 所以==cos π+isin π=-1. 7.BD　设z=r(cos θ+isin θ),其中r>0,则z5=r5(cos 5θ+isin 5θ)=32, 故r5cos 5θ=32,sin 5θ=0, 故5θ=2kπ,k∈Z,r5=32,即r=2,θ=,k∈Z, 故z=2,k∈Z, 结合选项可知B,D正确,A,C错误. (也可利用z5=32逐项检验知B,D正确) 8.BC　复数z=1-i的三角形式为z=2cos +isin ,故A错误; 当r=1,θ=时,z=cos +isin =i, 因为i4k+1+i4k+2+i4k+3+i4k+4=0,k∈N, 所以z+z2+z3+…+z2 024=0,故B正确; 当r=2,θ=时,z=2, 则z3==23(cos π+isin π)=-8,故C正确; 当r=3,θ=时,z=3, 则zn==3n, 若zn为纯虚数,则则=+kπ,k∈Z,所以n=4k+2,k∈Z, 虽然n=4k+2,k∈Z是偶数,但是偶数还有n=4k,k∈Z的形式的数,所以“n为偶数”是“zn为纯虚数”的必要不充分条件,故D错误. 9.解析　(1)8×4 =32cos+isin =32=32 =32=16+16i. (2)(cos 225°+isin 225°)÷[(cos 150°+isin 150°)] =[cos(225°-150°)+isin(225°-150°)] =(cos 75°+isin 75°)= =+i. (3)4÷ =4(cos 0+isin 0)÷ =4=2-2i. 10.解析　(1)z=1-i在复平面内对应的点为(1,-1), 所以z对应的向量如图所示. 易得r==,设z的辐角的主值为θ,<θ<2π, 则tan θ=-1,所以θ=, 所以1-i=. (2)因为cos(π+θ1+θ2)=-cos(θ1+θ2)=, 所以cos(θ1+θ2)=-. 因为θ1,θ2∈,所以θ1+θ2∈, 所以sin(θ1+θ2)===, 所以z1z2=(cos θ1+isin θ1)(cos θ2+isin θ2) =cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)=-+i. 11.解析　(1)设z=-1+i=2=2(cos α+isin α),则cos α=-,sin α=,故α=+2kπ,k∈Z, 故z=2. (2)因为|z|=1,所以设z=cos θ+isin θ, 故|z2-z+1|=|cos 2θ+isin 2θ-cos θ-isin θ+1| =|(cos 2θ-cos θ+1)+(sin 2θ-sin θ)i| = = == =|1-2cos θ|, 因为-1≤cos θ≤1,所以0≤|1-2cos θ|≤3, 故|z2-z+1|的最大值为3,最小值为0. (3)设z=cos θ+isin θ, 则z3=(cos θ+isin θ)3=cos 3θ+isin 3θ, 因为(cos θ+isin θ)3 =(cos2θ-sin2θ+2isin θcos θ)(cos θ+isin θ) =(cos2θ-sin2θ)cos θ-2sin2θcos θ+i[(cos2θ-sin2θ)sin θ+2sin θcos2θ] =(2cos2θ-1)cos θ-2(1-cos2θ)cos θ+i[(1-2sin2θ)·sin θ+2sin θ(1-sin2θ)] =4cos3θ-3cos θ+i(3sin θ-4sin3θ), 所以sin 3θ=3sin θ-4sin3θ,cos 3θ=4cos3θ-3cos θ. 12.A　根据题意z==cos +isin , 将向量绕原点O按逆时针方向旋转所得向量对应的复数为cos+isin=-+i. 13.ABD　把向量绕点O按逆时针方向旋转45°,再把模变为原来的倍即得,故向量对应的复数为(2+i)(cos 45°+isin 45°)=(2+i)(1+i)=1+3i,故点B对应的复数为1+3i,故A正确; 把向量绕点O按逆时针方向旋转90°即得向量,故对应的复数为(2+i)(cos90°+isin 90°)=(2+i)i=-1+2i,故B正确; 由四边形OABC是正方形可知,对应的复数为对应的复数,即-(2+i)=-2-i,故C不正确; ||=||=,故D正确. 14.答案　 解析　设向量对应的复数是z, 则z=-3cos +3isin =3, 所以对应的复数是 = =3 =3=-+i, 所以点B的坐标是. 7 学科网（北京）股份有限公司 $