第6章 平面向量及其应用 本章复习提升（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

本章复习提升 易混易错练 易错点1　忽视向量的方向致错 1.(2025广西河池期中)在△ABC中,∠ABC=45°,AB=,BC=,则·=(　　) A.-　　B.　　C.　　D.- 2.(多选题)(2024江苏连云港月考)已知平面向量a=(1,1),b=(-3,4),则下列说法正确的是(　　) A.cos<a,b>= B.b在a上的投影向量为a C.与b垂直的单位向量的坐标为 D.若向量a+λb与a-λb共线,则实数λ=0 易错点2　已知两向量夹角为锐角(或钝角),求参数时忽略向量共线的情况致错 3.(多选题)(2025江苏泰州靖江高级中学月考)下列选项中正确的是(　　) A.已知向量a=(2,),b=(sin θ,cos θ),若a∥b,则tan θ= B.已知向量a=(1,3),b=(m,-2),若a,b的夹角为钝角,则m<6 C.已知非零向量a,b,若|a+b|=|a|+|b|,则a与b同向共线 D.若+3+4=0,则△AOC和△ABC的面积之比为3∶8 4.(2024陕西咸阳实验中学月考)单位向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-,则a与b夹角的余弦值为　　　　;若ka+b与a+3b的夹角为锐角,则实数k的取值范围为　.  易错点3　混淆或错用公式致错 5.(2025山东淄博第六中学月考)已知向量a=(1,),b=(cos α,sin α),则下列结论不正确的是(　　) A.若a∥b,则tan α= B.若a⊥b,则tan α=- C.若a与b的夹角为,则|a-b|=3 D.若a与b的方向相反,则b在a上的投影向量的坐标是 易错点4　解三角形时忽略隐含条件致错 6.(2025江苏苏州期中)△ABC中,A=60°,AC=2,BC=2,那么B=(　　) A.30°　　B.45°　　 C.150°　　D.30°或150° 7.(2025陕西西安高新第一中学期中)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=. (1)求角B; (2)若△ABC是锐角三角形,c=4,求△ABC面积的取值范围. 思想方法练 一、分类讨论思想在解三角形中的应用 1.(2025福建龙岩高级中学月考)在△ABC中,若cos A-cos B+=0,则△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形　　B.直角三角形　　 C.等腰直角三角形　　D.等腰或直角三角形 2.(2025山东泰安段考)在钝角三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,m=(sin B,cos C),n=(cos C,-2sin A),m⊥n. (1)若c=a,求cos C的值; (2)若△ABC的面积S=a2,求的值. 二、函数与方程思想在平面向量中的应用 3.(2025山西省实验中学开学考试)如图,在△ABC中,点M满足=3,N满足=,CM与BN交于P点,且=λ+μ,则λ+μ=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.(多选题)(2025广东广州第七十五中学月考)如图,,均是以O为圆心的弧,∠AOB=150°,OA=2OC=2OD=2,点F在弧AB上,且∠BOF=120°,点E在弧CD上运动.则下列结论正确的有(　　) A.·=-1 B.=λ+m,则λ+m=+1 C.在上的投影向量为 D.·的最小值是-3 三、数形结合思想在平面向量中的应用 5.(2025河南周口期中)已知平面向量a,b满足|a|=|b|=a·b=1,2|c|2=b·c,则|c-a|2+|c-b|2的最小值是　　　　.  6.(2025天津第五中学月考)已知正方形ABCD的边长为1,=2,若=λ+μ,其中λ,μ为实数,则λ+2μ=　　　　;设F是线段BE上的动点,G为线段AF的中点,则·的最小值为　　　　.  四、转化与化归思想在解三角形中的应用 7.(2025江苏无锡期中)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2=b(b+c),则的取值范围是　　　　.  8.(2024湖南长沙长郡中学开学考试)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为S,且2S=(a2+b2)sin A. (1)求C的值; (2)若a=,求△ABC周长的取值范围. 答案与分层梯度式解析 本章复习提升 易混易错练 1.A 2.AD 3.ACD 5.C 6.A 1.A　由题知||=,||=,<,>=135°(易错点), 所以·=||·||cos<,>=||·||·cos 135°=××=-. 2.AD　由题意知|a|==,|b|==5,a·b=1×(-3)+1×4=1. 对于A,cos<a,b>===,故A正确; 对于B,b在a上的投影向量为·=·a=a,故B错误; 对于C,设与b垂直的单位向量的坐标为(x0,y0), 可得解得或 所以与b垂直的单位向量的坐标为或(易错点),故C错误; 对于D,因为向量a+λb与a-λb共线, 所以存在t∈R,使得a+λb=t(a-λb)=ta-λtb, 则解得故D正确. 3.ACD　对于A,若a∥b,则sin θ=2cos θ, 可得tan θ=,故A正确; 对于B,若a,b的夹角为钝角,则解得m<6且m≠-,故B错误; 对于C,若|a+b|=|a|+|b|,且a,b为非零向量,则由向量加法的三角形法则可知a,b同向,即a与b同向共线,故C正确; 对于D,若+3+4=0,则(+)+3(+)=0,可得2+6=0(D,E分别为AC,BC的中点),即=-3,故点O在线段DE上,且OD=DE, 则S△ABC=2S△ACE=2×S△AOC=S△AOC,即=, 所以△AOC和△ABC的面积之比为3∶8,故D正确. 选项速解 　　对于D,由+3+4=0及奔驰定理得S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶3∶4,所以S△AOC∶S△ABC=3∶8. 4.答案　;∪ 解析　因为|a|=|b|=1,(a+2b)·(a-b)=-, 所以a2+a·b-2b2=-,即1+a·b-2=-,则a·b=,则cos<a,b>==, 即a与b夹角的余弦值为. 若ka+b与a+3b的夹角为锐角,则(ka+b)·(a+3b)>0且ka+b与a+3b不共线(易错点), 当ka+b与a+3b共线时,存在λ∈R,使得ka+b=λ(a+3b)=λa+3λb, 易知a与b不共线,所以解得k=, 所以当ka+b与a+3b不共线时,k≠, 由(ka+b)·(a+3b)>0,得ka2+(3k+1)a·b+3b2>0, 即k+(3k+1)×+3>0,解得k>-, 所以k>-且k≠,即实数k的取值范围为∪. 易错警示 　　若向量a与b的夹角为锐角,则a·b>0,但a·b>0时,a与b的夹角为锐角或零角.同理,若向量a与b的夹角为钝角,则a·b<0,但a·b<0时,a与b的夹角为钝角或平角.因此已知两向量夹角为锐角(或钝角)求参数时,要排除向量共线的情况. 5.C　对于A,由a∥b,得sin α=cos α(易错点),因此tan α=,A中结论正确;  对于B,由a⊥b,得cos α+sin α=0(易错点),因此tan α=-,B中结论正确;  对于C,因为a与b的夹角为,|a|==2,|b|==1,所以a·b=2×1×=1, 因此|a-b|==,C中结论不正确; 对于D,因为a与b的方向相反,所以a与b的夹角为π,所以a·b=2×1×(-1)=-2,则b在a上的投影向量为·=-a=,D中结论正确. 易错警示 　　已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若a∥b,则x1y2-x2y1=0,若a⊥b,则x1x2+y1y2=0.两个坐标表示形式相似,容易混淆,可分别用口诀记忆:纵横交错积相等,横横纵纵积相反. 6.A　由正弦定理,得=, 则=,即sin B=, 因为AC<BC,所以B<A(易错点),则B=30°. 易错警示 　　已知三角形的两边及其中一边的对角,利用正弦定理求另一边的对角时,因为三角形内角的正弦值都为正值,所以这个内角可能为锐角,也可能为钝角,因此需要由题中的隐含条件(大边对大角)来判断角的情况. 7.解析　(1)由正弦定理,及=,得=, 因为sin A≠0,所以sin B-cos B=1, 所以2sin=1,即sin=, 因为B为三角形的内角, 所以B-=,所以B=. (2)由已知及正弦定理得a=== ==2+, 由△ABC是锐角三角形,得即解得<C<, 所以tan C∈, 所以∈(0,),所以a∈(2,8), 又△ABC的面积S=a×4×sin =a,所以△ABC面积的取值范围是(2,8). 易错警示 　　在△ABC中隐含着一些角的范围,三角形内角和为π,若已知一个角的大小,则另外两个角的范围不能是(0,π),如B=,则C∈;若题设是锐角三角形,则A、B、C三个角的范围均为. 思想方法练 1.D 3.D 4.BCD 1.D　由cos A-cos B+=0,得a-ccos B=b-ccos A, 由余弦定理的推论得a-c·=b-c·,化简整理得(a-b)(a2+b2-c2)=0, 两个因式的乘积等于0,故分情况讨论. 当a2+b2-c2=0时,a2+b2=c2,△ABC为直角三角形; 当a=b时,△ABC为等腰三角形. 综上,△ABC为等腰或直角三角形,故D正确. 2.解析　(1)∵m⊥n, ∴m·n=sin Bcos C-2cos Csin A=0, 即cos C(sin B-2sin A)=0, ∵△ABC为钝角三角形,∴cos C≠0, ∴sin B=2sin A, 由正弦定理知,b=2a, 又c=a,∴cos C===. (2)由(1)知b=2a, ∴S=absin C=a2sin C=a2,∴sin C=, ∵C∈(0,π),∴C=或C=(易错点), 当C=时,c2=a2+b2-2abcos C=b2+b2+b2=b2, ∴=; 当C=时,c2=a2+b2-2abcos C=b2+b2-b2=b2, 此时a2+c2=b2,B=,不合题意. 综上,=. 思想方法 　　在应用正、余弦定理解三角形时,要根据题中信息进行分类讨论,特别注意当正弦值对应的角有两个时,需要进行讨论. 3.D　设=x,=y,x,y∈(0,1), 则=+=+x=+x(+)=+x·(--)=(1-x)+x, =+=+y=+y(-)=(1-y)+y, 根据平面向量基本定理的唯一性建立方程组. 因为,不共线,所以解得 所以=+, 因为=λ+μ, 所以λ=,μ=,所以λ+μ=+=. 4.BCD　以O为坐标原点,OB所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系, 因为∠AOB=150°,OA=2OC=2OD=2,∠BOF=120°, 所以F(-1,),B(2,0),D(1,0),A(-,1), 设E(cos θ,sin θ),0°≤θ≤150°. 对于A,·=(1,0)·(--1,1)=--1,故A错误; 对于B,由=λ+m,得(-1,)=λ(-,1)+m(2,0)=(2m-λ,λ),即解得 根据向量相等,坐标相同列方程,解方程求值. 所以λ+m=+1,故B正确; 对于C,易得=(-1,),=(-2,),所以在上的投影向量为·=×=,故C正确; 对于D,·=(-1-cos θ,-sin θ)·(2-cos θ,-sin θ)=-2-cos θ+cos2θ-sin θ+sin2θ=-1-2sin(θ+30°), 通过坐标运算,将·表示成关于θ的三角函数,利用函数的性质求得最值. 因为0°≤θ≤150°,所以30°≤θ+30°≤180°,所以0≤sin(θ+30°)≤1,所以-3≤-1-2sin(θ+30°)≤-1, 所以·的最小值为-3,故D正确. 思想方法 　　一般运用方程思想解决平面向量中的线性运算问题,解题的关键在于设置变量,然后利用已知条件或公式、定理构造方程(组)求解. 　　一般运用函数思想解决平面向量中的最值问题,解题的关键在于设置变量,然后将所求用变量表示出来,构造关于变量的函数,函数一般为二次函数、反比例函数等.在利用函数性质求解最值时,要注意变量的取值范围. 5.答案　- 解析　根据向量的几何表示画出a,b,c,由题意结合图形特征求解. 如图,令=a,=b,=c,D,E分别为OB,AB的中点,F为OD的中点, 由|a|=|b|=a·b=1,得|a|=1,|b|=2,cos<a,b>=,所以△OAB为直角三角形,则AB=,连接DC, 由2|c|2=b·c,得2·-·=2·-=2·(-)=2·=0,即·=0, 故点C的轨迹是以OD为直径的圆, 连接BC,CE,AC,FE,在△BCE中,由余弦定理得CB2=BE2+CE2-2BE·CEcos∠BEC, 在△ACE中,由余弦定理得CA2=AE2+CE2-2AE·CEcos(180°-∠BEC), 又AE=BE,故CA2+CB2=AE2+BE2+2CE2, 则|c-a|2+|c-b|2=+2CE2, 易知当F、C、E三点共线,且点C在FE上时,CE最短,CEmin=EF-OD(圆外一点到圆上的点的最小距离为圆外一点到圆心的距离减去半径), 由余弦定理得EF==,则CEmin=-, 故|c-a|2+|c-b|2=+2CE2≥+2×=-. 故|c-a|2+|c-b|2的最小值是. 6.答案　;- 解析　根据正方形的特点,建立平面直角坐标系,利用向量加法、数乘的坐标运算求参数,利用数量积的坐标运算求最值. 如图,以B为原点,BC,BA所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系, 则B(0,0),A(0,1),C(1,0),D(1,1), 因为=2,所以E, 易得=,=(0,1),=(1,0), 因为=λ+μ,所以=λ(0,1)+μ(1,0)=(μ,λ),所以λ=,μ=1,所以λ+2μ=+2=. 设=m=,m∈[0,1], 则F,G, 所以=,=, 所以·=m+=m2-m+=-,m∈[0,1], 由二次函数的性质可知,当m=1时,·取得最小值,最小值为-. 思想方法 　　数形结合思想作为一种重要的数学思想方法,在平面向量中有重要的应用: 1.以数解形,化繁为简.可以通过建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算解决几何问题. 2.以形助数,化难为易.可以利用平面向量的几何表示、三角形法则、平行四边形法则和模的几何意义等将给出的向量在几何图形中表示出来,根据几何图形的相关知识,解决平面向量的相关计算问题. 7.答案　(1,) 解析　由a2=b(b+c),及a2=b2+c2-2bccos A,可得b2+c2-2bccos A=b2+bc,化简得c-2bcos A=b. 由正弦定理得sin C-2sin Bcos A=sin B. 通过正弦定理将边化为角. 因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 所以sin Acos B+cos Asin B-2sin Bcos A=sin B, 整理得sin Acos B-cos Asin B=sin B, 即sin(A-B)=sin B. 因为△ABC是锐角三角形,所以A-B=B,即A=2B. 由得解得<B<. 由正弦定理可得====2sin B. 将比值的范围问题,通过正弦定理和三角恒等变换转化为关于B的三角函数的值域问题. 因为<B<,所以<sin B<,所以1<2sin B<. 所以的取值范围是(1,). 8.解析　(1)因为S=bcsin A,所以由正弦定理及已知得2×bcsin A=(a2+b2)sin A, 通过正弦定理将角转化为边. 易知sin A≠0,所以a2+b2-c2=ab, 故cos C==, 通过余弦定理的推论将边的关系转化为角的余弦值. 又0<C<π,所以C=. (2)将周长的范围问题,通过正弦定理和三角恒等变换转化为关于A的三角函数的值域问题. 因为a=,C=,所以由正弦定理得c=, b===+, 故△ABC的周长为a+b+c=+++ =+=+=+, 易知A∈,则∈, 则0<tan<,所以+>2, 故△ABC的周长的取值范围是(2,+∞). 思想方法 　　转化与化归思想在解三角形中应用得非常广泛,如解三角形时,常用正弦定理或余弦定理进行边角互化;求范围或最值问题时,将所涉及的元素转化为某个角的三角函数值;实际应用中也常建立数学模型,将实际问题转化为数学问题来解决. 7 学科网（北京）股份有限公司 $