6.4.3 第1课时 余弦定理、正弦定理（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

6.4.3　余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理、正弦定理 基础过关练 题组一　利用余弦定理解三角形 1.(2025吉林长春实验中学月考)在△ABC中,若b2+c2-a2=bc,则A=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 2.(2025天津河北区期中)在△ABC中,a=1,b=4,c=,则△ABC的最大内角为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 3.(2025黑龙江大庆第一中学月考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ac=8,a+c=7,B=,则b=(　　) A.25　　B.5　　C.4　　D. 4.(2025河北保定开学考试)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tan B=-,b=,则=(　　) A.6　　B.4　　C.3　　D.2 5.(2025山东泰安第一中学月考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=60°,a=2,b=x,若三角形有两解,则实数x的取值范围是　　　　.  题组二　利用正弦定理解三角形 6.(2025上海师范大学附属中学月考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,c-2b+2cos C=0,则该三角形外接圆的半径为(　　) A.1　　B.　　C.2　　D.2 7.(多选题)(教材习题改编)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列对△ABC解的情况判断正确的是(　　) A.当a=2,c=4,A=30°时,有两解 B.当a=5,b=7,A=60°时,有一解 C.当a=,b=4,A=30°时,无解 D.当a=6,b=4,A=60°时,有两解 8.(多选题)(2025安徽六安第一中学月考)已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,下面四个结论正确的是(　　) A.若A>B,则sin A>sin B B.在锐角△ABC中,不等式sin A>cos B恒成立 C.若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC是钝角三角形 D.若B=,a=2,且△ABC有两解,则b的取值范围是[3,2) 9.(2025天津南开中学模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos A=-,sin B=2sin C. (1)求b的值; (2)求sin B的值; (3)求cos的值. 题组三　利用正、余弦定理判断三角形的形状 10.(2025浙江A9协作体期中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(2a-c)cos B=a-bcos C,则△ABC的形状为(　　) A.等腰三角形　　B.直角三角形 C.等腰直角三角形　　D.等腰或直角三角形 11.(2025上海宝山华曜高级中学月考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A+B=2C,且sin2C=sin Asin B,则△ABC的形状为　(　　) A.直角三角形　　B.等腰非等边三角形　　 C.等边三角形　　D.钝角三角形 12.(2025山东菏泽单县第一中学月考)如果将直角三角形的三边增加相同的长度,则新三角形的形状一定是(　　) A.锐角三角形　　B.直角三角形 C.钝角三角形　　D.由增加的长度确定 13.(多选题)(2024浙江湖州第二中学期中)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个命题中正确的是(　　) A.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形 B.若bcos C+ccos B=b,则△ABC一定是等腰三角形 C.若==,则△ABC一定是等边三角形 D.若B=60°,b2=ac,则△ABC一定是直角三角形 题组四　三角形的面积公式 14.(多选题)(2025福建莆田第三中学月考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2+c2=b2-ac,S△ABC=,且b=2,则(　　) A.cos B=-　　B.sin B= C.ac=1　　D.a+c= 15.(教材习题改编)秦九韶是我国南宋时期的著名数学家,他在《数书九章》中提出已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”,其公式为S△ABC===.若ac=2,cos B=,a>b>c,则S△ABC=　　　　.  16.(2025上海延安中学期中)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acos B+bcos A=2ccos A. (1)求A的大小; (2)若a=7,b+c=13,求△ABC的面积. 17.(2025黑龙江省实验中学月考)已知△ABC的面积为S,角A,B,C的对边分别为a,b,c,请从以下条件中任选一个,解答下列问题: ①4S=(a2+b2-c2);②csin A=acos ;③csin(A+C)=bcos. (1)求角C; (2)若c=3,D是AB上的点,CD平分∠ACB,△ABC的面积为,求CD的长. 能力提升练 题组一　利用余弦定理、正弦定理解三角形 1.(2025云南玉溪师范学院附属中学月考)我国油纸伞的制作工艺十分巧妙.如图(1),伞不管是张开还是收拢,都有AB=AC,伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角,从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动.如图(2),伞完全收拢时,伞圈D滑到D'的位置,且A,B,D'三点共线,AD'=60 cm,B为AD'的中点.伞从完全张开到完全收拢,伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24 cm,则当伞完全张开时,∠BAC的余弦值是(　　) 　　 A.-　　B.-　　C.-　　D.- 2.(多选题)(2025江苏南京师范大学附属中学期中)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a<b<c,且a,b,c为连续正整数,则　(　　) A.存在唯一的△ABC,使得C=90° B.存在无数个△ABC,使得C=90° C.存在唯一的△ABC,使得C=2A D.不存在△ABC,使得C=3A 3.(多选题)(2025山东菏泽鄄城第一中学月考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是(　　) A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6 B.△ABC是钝角三角形 C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D.若c=6,则△ABC外接圆的半径为 4.(2024湖南邵东第三中学月考)以密位作为角的度量单位,这种度量角的单位制叫做角的密位制.在角的密位制中,采用四个数码表示角的大小,单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数之间画一条短线,如5密位写成“0-05”,235密位写成“2-35”,1 246密位写成“12-46”.1周角等于6 000密位,写成“60-00”.在△ABC中,点D在边BC上,AD是△ABC的内角A的平分线,CD=AD=2BD=4,则∠ADC的大小用密位制表示为　　　　.  5.(2025北京交通大学附属中学月考)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin B=bcos A. (1)求角A的大小; (2)从以下三组条件中选择一组作为已知条件,使三角形存在且唯一确定,并求出△ABC的面积. 第①组条件:a=,c=5; 第②组条件:AB边上的高h=,a=3; 第③组条件:cos C=,c=4. 题组二　利用余弦定理、正弦定理求最值或范围问题 6.(2024河南新乡第一高级中学月考)如图,在扇形OPQ中,半径OP=2,圆心角∠POQ=,A是弧PQ上的动点,B是线段OQ上的动点,AB∥OP,则△OAB面积的最大值为(　　) A.2-2　　B.-1　　 C.　　D. 7.(2025陕西西安临潼华清中学月考)已知△ABC的外接圆半径R=,c=2,C为锐角,则下列结论正确的是(　　) A.= B.△ABC周长的最大值为4 C.的取值范围为 D.·的最大值为2+ 8.(2025重庆第二外国语学校期中)如图所示,在△ABC中,BC=4,M为BC边的中点,且∠BAC=,则AM的最大值为　　　　.  9.(2024广西南宁月考)已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(2a-b)cos C-ccos B=0. (1)求角C; (2)若c=,求△ABC周长的取值范围; (3)若c=,求△ABC面积的取值范围. 10.(2025河南信阳高级中学月考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b(2-cos A)=asin B. (1)求A; (2)若a=2,△ABC的周长为6,求△ABC的面积; (3)若△ABC为锐角三角形,求的取值范围. 答案与分层梯度式解析 6.4.3　余弦定理、正弦定理 第1课时　余弦定理、正弦定理 基础过关练 1.A 2.B 3.B 4.B 6.A 7.AC 8.ABC 10.D 11.C 12.A 13.BC 14.ACD 1.A　由余弦定理的推论得cos A===, 因为A∈(0,π),所以A=. 2.B　因为a=1,b=4,c=,所以C为最大角, 由余弦定理的推论得cos C==-, 因为C∈(0,π),所以C=. 3.B　由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=(a+c)2-2ac-ac=(a+c)2-3ac=72-3×8=25,所以b=5. 4.B　在△ABC中,tan B=-,所以B=,故cos B=-, 由余弦定理的推论得cos B==-, 即=-=-,故=2, 故=+2=2+2=4. 5.答案　 解析　由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,即4=x2+c2-xc,整理可得c2-xc+x2-4=0, 令f(c)=c2-xc+x2-4,可知f(c)在(0,+∞)内有2个零点, 则解得2<x<, 所以实数x的取值范围是. 小题速解 　　数形结合可知A=60°,a=2,b=x,且三角形有两解时,x·sin 60°<2<x,可得2<x<,所以实数x的取值范围是. 6.A　∵a=,∴c-2b+2acos C=0, 由正弦定理得sin C-2sin B+2sin Acos C=0, 即sin C-2sin(A+C)+2sin Acos C=0, ∴sin C-2sin Acos C-2sin Ccos A+2sin Acos C=0, ∴sin C-2sin Ccos A=0, 又sin C>0,∴cos A=,又A∈(0,π),∴A=, 设△ABC外接圆的半径为r,则2r===2,∴r=1. 7.AC　解法一:对于A,由=,得=,所以sin C=,又因为0°<C<180°,c>a,所以C=45°或C=135°,所以三角形有两解,故A正确; 对于B,由正弦定理得sin B===>1,无解,故B错误; 对于C,由正弦定理得sin B===>1,无解,故C正确; 对于D,由正弦定理得sin B===<,因为b<a,所以B为锐角,所以此三角形只有一解,故D错误. 解法二:csin A=4×=2,∵csin A<a<c,∴三角形有两解,A正确; bsin A=7×=,∵a<bsin A,∴三角形无解,B错误; bsin A=4×=2,∵a<bsin A,∴三角形无解,C正确; ∵a>b,且A为锐角,∴三角形有一解,D错误. 解题模板 　　在△ABC中,已知a,b和A,以角A一边上的点C为圆心,a为半径画弧,此弧与角A另一边的公共点(不包含点A)的个数即为三角形解的个数.解的个数总结如下表: 条件 A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 a<b a>bsin A 无解 无解 两解 a=bsin A 一解 a<bsin A 无解 8.ABC　对于A,若A>B,则a>b,由正弦定理可得sin A>sin B成立,故A正确; 对于B,因为△ABC为锐角三角形,所以A+B>,0<A<,0<B<,所以>A>-B>0, 易知正弦函数y=sin x在上单调递增, 所以sin A>sin=cos B,故B正确; 对于C,由正弦定理得a2+b2<c2,所以C为钝角,即△ABC是钝角三角形,故C正确; 对于D,如图,若△ABC有两解,则asin B<b<a, 所以3<b<2,则b的取值范围是(3,2),故D错误. 9.解析　(1)由sin B=2sin C及正弦定理可知b=2c, 由余弦定理的推论可得cos A==-,即=-, 所以c=2,故b=4. (2)由cos A=-及A∈(0,π),得sin A=, 由正弦定理得=,即=, 解得sin B=. (3)由(2)得sin C=sin B=,易知C∈,所以cos C=, 所以sin 2C=2sin Ccos C=,cos 2C=1-2sin2C=, 所以cos=cos 2Ccos +sin 2Csin =×+×=. 10.D　因为(2a-c)cos B=a-bcos C, 所以由余弦定理的推论得(2a-c)·=a-b·,整理得(a-c)(a2+c2-b2)=0, 所以a=c或a2+c2=b2, 所以△ABC的形状为等腰或直角三角形. 方法总结 　　利用正、余弦定理判断三角形的形状一般有两种方法:一是角化边,利用正、余弦定理把条件转化为边的关系,再结合因式分解、配方等方法得到边的相应关系,从而判断三角形的形状;二是边化角,利用正、余弦定理把条件转化为角的关系,再结合三角恒等变换得相应内角的关系,从而判断三角形的形状. 11.C　由题意可知A+B+C=3C=180°,则C=60°, 因为sin2C=sin Asin B, 所以由正弦定理得c2=ab, 由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=ab,则(a-b)2=0,所以a=b,所以a=b=c, 故△ABC为等边三角形. 12.A　设直角三角形的三边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2,令三边都增加x(x>0),则(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=a2+b2+2x2+2(a+b)x-c2-2cx-x2=2(a+b-c)x+x2>0,所以由余弦定理的推论可知新三角形中最大边所对的角是锐角,所以新三角形是锐角三角形. 13.BC　对于A,由正弦定理得sin Acos A=sin Bcos B, 即sin 2A=sin 2B,又A,B∈(0,π),所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,所以三角形为等腰三角形或直角三角形,故A错误; 对于B,由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin B,即sin(B+C)=sin B,即sin A=sin B, 又A,B∈(0,π),所以A=B,所以△ABC是等腰三角形,故B正确; 对于C,由正弦定理得==,即tan A=tan B=tan C, 又A,B,C为三角形的内角,所以A=B=C,所以△ABC是等边三角形,故C正确; 对于D,由余弦定理可得ac=b2=a2+c2-ac,可得(a-c)2=0,解得a=c,又B=60°,所以b=a=c,故△ABC是等边三角形,故D错误. 14.ACD　在△ABC中,由a2+c2=b2-ac及余弦定理的推论得cos B===-, 又B∈(0,π),所以sin B=,故B错误,A正确; 因为S△ABC=acsin B=ac×=,所以ac=1,故C正确; 因为a2+c2=b2-ac,b=2,ac=1,所以a2+c2=22-1=3, 所以(a+c)2=a2+c2+2ac=5,因为a+c>0,所以a+c=,故D正确. 15.答案　 解析　因为cos B==,ac=2,所以=2×=, 则S△ABC==×=. 16.解析　(1)因为acos B+bcos A=2ccos A, 所以由正弦定理得sin Acos B+sin Bcos A=2sin Ccos A, 即sin(A+B)=2sin Ccos A, 所以sin(π-C)=2sin Ccos A,即sin C=2sin Ccos A, 因为C∈(0,π),所以sin C≠0,所以cos A=, 因为A∈(0,π),所以A=. (2)由(1)知cos A=, 则由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc, 又a=7,b+c=13,所以49=132-3bc,得bc=40, 所以△ABC的面积S=bcsin A=×40×=10. 17.解析　(1)若选①4S=(a2+b2-c2), 由三角形的面积公式及余弦定理可得4×absin C=×2abcos C,可得tan C=,又因为C∈(0,π),所以C=. 若选②csin A=acos , 由正弦定理可得sin Csin A=sin Acos , 因为A∈(0,π),所以sin A>0,所以sin C=sin ,所以2sin cos =sin , 因为C∈(0,π),所以∈,所以sin ≠0, 所以cos =,所以=,则C=. 若选③csin(A+C)=bcos, 由正弦定理可得sin Csin B=sin Bcos, 因为B∈(0,π),所以sin B>0,所以sin C=cos, 即sin C=cos Ccos +sin Csin ,所以sin C=cos C,即tan C=,又C∈(0,π),所以C=. (2)因为c=3,D是AB上的点,CD平分∠ACB,△ABC的面积为, 所以absin =(a+b)·CD×sin =(由等面积法列式), 可得ab=5,(a+b)·CD=5, 由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab, 即9=-3×5,解得CD=(负值舍去), 即CD的长为. 能力提升练 1.A 2.ACD 3.ACD 6.B 7.D 1.A　 信息提取　当伞完全收拢时,AB=BD=AD'; 当伞完全张开时,AD=AD'-24,∠BAC=2∠BAD. 解析　依题意知AD'=60 cm,当伞完全张开时,AD=60-24=36(cm), 当伞完全收拢时,B为AD'的中点,故AB=AC=BD=AD'=30(cm). 当伞完全张开时,在△ABD中,cos∠BAD===, 故cos∠BAC=cos 2∠BAD=2cos2∠BAD-1=2×-1=-. 2.ACD　设a=n-1,b=n,c=n+1,且n≥3,n∈Z, 若C=90°,则a2+b2=c2,即(n-1)2+n2=(n+1)2,解得n=4(n=0舍去),故A正确,B错误; 若C=2A,则sin C=sin 2A,即sin C=2sin Acos A,即c=2a·, 因此有bc2=a(b2+c2-a2),即(b-a)c2=a(b2-a2),所以c2=a(b+a), 即(n+1)2=(n-1)(2n-1),解得n=5(n=0舍去),故C正确; 若C=3A,则sin C=sin 3A,即sin C=sin(2A+A)=sin 2A·cos A+cos 2Asin A=2sin Acos2A+(2cos2A-1)sin A=sin A(4cos2A-1),由正弦定理及余弦定理的推论得c=a, 即n+1=(n-1), 化简得n3-3n2-6n+16=0,整理得(n2-n-8)(n-2)=0(立方差公式的应用:n3-8-3n2-6n+24=(n-2)(n2+2n+4)-3(n-2)(n+4)=(n-2)(n2-n-8)=0), 又n≥3,n∈Z, 所以n2-n-8=0,由求根公式可得n=∉Z, 故无解,D正确. 3.ACD　因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,所以可设解得所以由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6,故A正确. 易知c最大,所以△ABC中角C最大, 又cos C===>0, 所以C为锐角,所以△ABC为锐角三角形,故B错误. 易知a最小,所以△ABC中角A最小, 又cos A===, 所以cos 2A=2cos2A-1=,所以cos 2A=cos C, 由△ABC中角C最大且C为锐角可得2A∈(0,π),C∈,所以2A=C,故C正确. 设△ABC外接圆的半径为R,则2R=,又c=6,sin C==,所以2R=,解得R=,故D正确. 4.答案　20-00 解析　因为AD是△ABC的内角A的平分线, 所以∠BAD=∠CAD, 所以====2, 设AB=m(m>0),则AC=2m, 在△ABD中,由余弦定理可得m2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,即m2=42+22-2×4×2cos∠ADB, 所以cos∠ADB=, 在△ACD中,由余弦定理可得4m2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC,即4m2=42+42-2×4×4cos∠ADC, 所以cos∠ADC=, 因为∠ADB+∠ADC=π, 所以cos∠ADB+cos∠ADC=0, 所以+=0,解得m2=12,所以cos∠ADC=-, 又0<∠ADC<π,所以∠ADC=, 易得×=2 000,所以∠ADC的大小用密位制表示为20-00. 5.解析　(1)因为asin B=bcos A,所以由正弦定理得sin Asin B=sin Bcos A, 因为B∈(0,π),所以sin B>0, 所以sin A=cos A, 显然cos A≠0,则tan A=, 又因为A∈(0,π),所以A=. (2)若选①,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 即19=b2+25-5b,即b2-5b+6=0,解得b=2或b=3,不符合题意. 若选②,因为AB边上的高h=,所以bsin =,则b==2, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即9=4+c2-2c,即c2-2c-5=0,解得c=1+或c=1-(舍去),故△ABC存在且唯一,符合题意, 此时△ABC的面积S=bcsin A=×2×(1+)×=. 若选③,因为C∈(0,π),cos C=,所以sin C=, 由正弦定理得a===3, 则sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×+×=, 所以△ABC存在且唯一,符合题意, 此时△ABC的面积S=acsin B=×3×4×=4+3. 6.B　设∠AOP=θ,则0<θ<, ∵AB∥OP,∠POQ=, ∴∠ABO=,∠OAB=θ,∠AOB=-θ, 在△OAB中,由正弦定理得OB===2sin θ, ∴S△OAB=OA·OBsin∠AOB=2sin θsin =2sin θ=2sin θcos θ-2sin2θ =sin 2θ-1+cos 2θ=sin-1, ∵θ∈,∴2θ+∈, ∴当2θ+=,即θ=时,S△OAB取得最大值,为-1. 解后反思 　　本题考查几何图形中面积最值的求解,解题关键是能够将所求三角形面积表示为关于变量θ的函数,结合三角恒等变换和三角函数的性质得到最值. 7.D　对于A,由余弦定理的推论得bcos A+acos B=+==c, 则==2R=,故A错误; 对于B,由=2R得=,解得sin C=,又C为锐角,所以C=, 则△ABC的周长为a+b+c=2R+2=sin A+cos A+sin A+2=sin A+cos A+2=4sin+2, 因为0<A<,所以<A+<,所以4sin+2∈(4,6],故△ABC周长的最大值为6,故B错误; 对于C,===-+tan A,A∈∪, 故tan A∈(-∞,-)∪(0,+∞), 所以的取值范围为(-∞,-2)∪,故C错误; 对于D,由正弦定理得==,所以b=sin, 则·=2bcos A=2×sincos A=sin Acos A+cos2A=sin 2A+=sin+2, 因为0<A<,所以<2A+<, 则当2A+=,即A=时,=+2,故D正确. 8.答案　2 解析　因为M是BC的中点,所以=(+),则||===, 在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=AB2+AC2-AB·AC=16, 所以AB2+AC2-AB·AC=(AB+AC)2-3AB·AC=16,即(AB+AC)2=16+3AB·AC, 所以||===, 又(AB+AC)2=AB2+AC2+2AB·AC≥4AB·AC,即16+3AB·AC≥4AB·AC,所以AB·AC≤16, 当且仅当AB=AC=4时取等号,故AB·AC的最大值为16, 所以||=≤×=2,即AM的最大值为2. 9.解析　(1)由(2a-b)cos C-ccos B=0及正弦定理得(2sin A-sin B)cos C-sin Ccos B=0, 则2sin Acos C-sin(B+C)=0, ∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin(π-A)=sin A, 则有2sin Acos C-sin A=0, ∵A∈(0,π),∴sin A>0,∴cos C=, 又C∈(0,π),∴C=. (2)解法一(余弦定理+不等式):由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,即(a+b)2-3ab=7, 即ab=, ∵ab≤,当且仅当a=b时等号成立,(建立关于(a+b)2和ab的不等式) ∴≤,(变形为关于(a+b)2的不等式,通过解不等式求a+b的取值范围) 解得0<a+b≤2, 又∵a+b>c=,∴<a+b≤2,则2<a+b+c≤3, ∴△ABC的周长的取值范围为(2,3]. 解法二(正弦定理+三角函数):由正弦定理得====, ∴a=sin A,b=sin B, 由A+B+C=π,C=,得A+B=,即B=-A,且0<A<, ∴a+b=(sin A+sin B)=×=sin A+cos A+sin A=sin A+cos A=2×sin A+cos A=2sin.(利用三角恒等变换,将a+b的范围问题转化为三角函数的值域问题) ∵0<A<,∴<A+<, ∴<sin≤1,∴<2sin≤2, 即<a+b≤2,∴2<a+b+c≤3, ∴△ABC的周长的取值范围为(2,3]. (3)解法一(余弦定理+不等式):由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,即a2+b2=ab+7, ∵a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,(建立关于a2+b2和ab的不等式) ∴ab+7≥2ab,∴0<ab≤7,(变形为关于ab的不等式,通过解不等式求ab的取值范围) 又∵S△ABC=absin C=ab×=ab, ∴S△ABC∈. 解法二(正弦定理+三角函数):由正弦定理得====, ∴a=sin A,b=sin B, 由A+B+C=π,C=,得A+B=,即B=-A,且0<A<, ∴ab=sin Asin B=sin Asin =sin A=sin Acos A+sin2A==sin2A-+.(利用三角恒等变换,将ab的范围问题转化为三角函数的值域问题) ∵0<A<,∴-<2A-<, ∴-<sin≤1, ∴0<sin+≤7, ∴ab的取值范围是(0,7], 又∵S△ABC=absin C=ab×=ab, ∴S△ABC∈. 导师点睛 　　解三角形中的最值或范围问题,一般采用以下两种方法:①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求解;②先利用正弦定理将边化为角,再利用三角函数的性质求出最值或范围,如果三角形为锐角三角形或角有其他的限制条件,通常采用这种方法. 10.解析　(1)在△ABC中,由b(2-cos A)=asin B及正弦定理,得b(2-cos A)=bsin A, 整理得2=sin A+cos A=2sin, 即sin=1, 因为0<A<π,所以<A+<,于是A+=, 所以A=. (2)由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即4=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc, 由△ABC的周长为6,得b+c=4,则bc=4, 所以△ABC的面积为bcsin A=×4sin =. (3)由正弦定理得==== =+=+ =+=+, 因为△ABC为锐角三角形, 所以即解得<B<, 故<<,则tan <tan <tan =1, tan =tan===2-,则2-<tan <1,故1<<2+, 所以+<+<+2, 所以的取值范围是. 7 学科网（北京）股份有限公司 $