6.3.5 平面向量数量积的坐标表示（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 基础过关练 题组一　向量数量积的坐标运算 1.(2025山东青岛第三十九中学月考)已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2),则a·b=(　　) A.6　　B.8　　C.0　　D.(-2,8) 2.(2025湖南三湘名校联盟期中)已知平面上四个点A(-1,2),B(1,1),C(2,1),D(3,4),则向量在向量上的投影向量为　　　　.  3.(2025北京师范大学附属实验中学月考)在长方形ABCD中,||=1,=,且·=·,则||=　　　　,·=　　　　.  题组二　向量模的坐标表示 4.(2025江苏南京五校共同体月考)已知点A(2,3),B(-1,7),则与向量方向相反的单位向量为(　　) A.　　B.　　 C.　　D. 5.(2025福建漳州第一中学月考)已知向量a=(2,1),b=(λ,3),若向量b在向量a上的投影向量c=(10,5),则|b-2a|=(　　) A.7　　B.3　　C.4　　D.5 6.(2025浙江强基联盟联考)在平面直角坐标系中,点A(1,0),B(-1,0),C在以坐标原点为圆心,2为半径的圆上运动,则|2+|的最大值是(　　) A.5　　B.6　　C.7　　D.8 题组三　向量夹角的坐标表示 7.已知a,b为平面向量,且a=(4,3),2a+b=(3,18),则a与b夹角的余弦值等于(　　) A.　　B.-　　C.　　D.- 8.(2025安徽宿州期中)已知平面向量a=(2,0),b=(-3,),则向量a+b与a的夹角为(　　) A.　　B.　　C.　　D. 9.(2025山东泰安模拟)已知平面向量a=(-2,3),b=(1,λ),若a与b的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是　　　　.  题组四　向量垂直的坐标表示 10.(2025广东佛山模拟)已知向量a=(1,0),b=(1,1),若(ka+b)⊥b,则实数k=(　　) A.-2　　B.-1　　C.1　　D.2 11.(2025天津新华中学月考)已知平面向量a=(-2,1),b=(4,-3),则下列说法不正确的是(　　) A.与b共线的单位向量的坐标为或 B.b在a上的投影向量为-a C.若向量a+λb与向量a+b垂直,则λ= D.与a垂直的单位向量的坐标为或 12.(2024北京通州期中)在矩形ABCD中,AB=4,AD=1,点P在线段CD上,且满足AP⊥BP,则满足条件的点P有(　　) A.0个　　B.1个　　 C.2个　　D.4个 能力提升练 题组一　向量的模、夹角与向量垂直的坐标表示 1.(多选题)(2025河南南阳一中月考)已知向量a=(-2,1),b=(1,t),则下列说法正确的是(　　) A.若a∥b,则t的值为-2 B.|a+b|的最小值为1 C.若|a+b|=|a-b|,则t的值为2 D.若a与b的夹角为钝角,则t的取值范围是t<2且t≠- 2.(多选题)(2025江苏徐州期中)如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=3,点P满足=λ,其中λ∈,设=a,=b,则下列说法正确的有(　　) A.|a+b|∈[6,10]　　B.|a+b|∈[2,10] C.a·b∈[-3,9]　　D.a·b∈[-7,9] 3.(2025山东菏泽曹县第一中学月考)定义:a,b两个向量的叉乘a×b的模为|a×b|=|a||b|·sin<a,b>.若点A(1,0),B(1,-),O为坐标原点,则|×|=　　　　.  4.(2025江苏常州期中)已知向量a=(3,-4),b=(0,1). (1)若(λa-b)⊥(a+2b),求实数λ的值; (2)若t∈R,求|a+tb|的最小值. 5.(2025河北张家口第一中学月考)已知向量a=(,-1),b=. (1)求与a平行的单位向量c的坐标; (2)设x=a+(t2+2)b,y=-kta+b,若存在t∈[0,2],使得x⊥y成立,求k的取值范围. 题组二　向量数量积的坐标表示的综合应用 6.(2025浙江嘉兴八校期中联考)已知△ABC中,AB=AC=4,BC=2,P是平面ABC内一点,则·(+)的最小值是(　　) A.-3　　B.-1　　C.-　　D.0 7.(2025湖北宜昌第二中学开学考试)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=2,DE=2EC,M为BC的中点,则·=　　　　;若点P在线段BD上运动,则·的最小值为　　　　.  8.(2025天津南仓中学月考)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6. (1)求·的值; (2)若=λ,·=-,求实数λ的值; (3)在(2)的条件下,若M,N是线段BC上的动点,且||=1,求·的最小值. 9.(教材深研拓展)如图,在平面斜坐标系Oxy中,∠xOy=60°,平面上任一点P的斜坐标定义如下:若=xe1+ye2(其中e1,e2分别为与x轴,y轴正方向同向的单位向量),则点P的斜坐标为(x,y).在该斜坐标系中,已知=(1,2),=(m,4),试探究以下问题: (1)若m=3,求·的值; (2)若⊥,求的坐标; (3)求与垂直的单位向量的坐标. 答案与分层梯度式解析 6.3.5　平面向量数量积的坐标表示 基础过关练 1.A 4.B 5.D 6.C 7.C 8.D 10.A 11.D 12.C 1.A　由a=(2,4),b=(-1,2),可得a·b=2×(-1)+4×2=6. 2.答案　 解析　根据题意,可得=(2,-1),=(1,3),则·=2-3=-1, 所以向量在向量上的投影向量为·=×(1,3)=. 3.答案　;2 解析　设AD=a(a>0),以B为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,1),C(a,0),E,D(a,1),B(0,0), 则=(0,-1),=,=(a,0),=(a,-1), 由·=·可得1=,解得a=(负值舍去), 所以||=,且=,=(,-1), 所以·=×+(-1)×(-1)=2. 方法技巧 　　对于矩形、等腰三角形、等边三角形、圆等规则图形,可以建立平面直角坐标系,利用坐标解决数量积问题. 4.B　由点A(2,3),B(-1,7),可得=(-3,4),且||=5, 则与向量方向相反的单位向量为-·=-×(-3,4)=. 5.D　由题意可得b在a上的投影向量为·a=×(2,1)=(10,5),所以=5,解得λ=11,则b=(11,3),所以b-2a=(7,1),故|b-2a|==5. 6.C　设C(2cos α,2sin α),则=(1-2cos α,-2sin α),=(-1-2cos α,-2sin α), 所以2+=2(1-2cos α,-2sin α)+(-1-2cos α,-2sin α)=(1-6cos α,-6sin α), 所以|2+|==, 因为-1≤cos α≤1,所以当cos α=-1时,|2+|取得最大值,且=7. 7.C　∵a=(4,3),∴2a=(8,6).又2a+b=(3,18),∴b=(-5,12),∴a·b=-20+36=16. 易得|a|=5,|b|=13,∴cos<a,b>===. 8.D　由已知得a+b=(-1,), 所以cos<a+b,a>===-,又<a+b,a>∈[0,π],故<a+b,a>=. 9.答案　∪ 解析　因为a与b的夹角为钝角,所以a·b=-2+3λ<0,且-2λ≠3(易错点),解得λ<且λ≠-. 10.A　因为a=(1,0),b=(1,1),所以ka+b=(k+1,1). 若(ka+b)⊥b,则(ka+b)·b=0,所以(k+1)×1+1×1=k+2=0,解得k=-2. 11.D　对于A,与b共线的单位向量为±b,因为b=(4,-3),所以|b|=5,所以与b共线的单位向量的坐标为或,故A正确; 对于B,b在a上的投影向量为a=a=-a,故B正确; 对于C,a+λb=(4λ-2,1-3λ),a+b=(2,-2),由题可得(a+λb)·(a+b)=0,即2(4λ-2)+(-2)×(1-3λ)=0,所以λ=,故C正确; 对于D,设与a垂直的单位向量为c=(m,n), 则解得或故D不正确. 12.C　以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,0),B(4,0),设P(t,1)(0≤t≤4), 则=(t,1),=(t-4,1), 因为AP⊥BP,所以·=0,即t(t-4)+1=0, 解得t=2±,即满足条件的点P有2个. 能力提升练 1.BCD 2.AD 6.A 1.BCD　a∥b⇔-2t=1⇔t=-,故A错误; a+b=(-1,t+1),则|a+b|=≥1,当t=-1时取等号,故B正确; a-b=(-3,1-t),则|a-b|=,由=,解得t=2,故C正确; 若a与b的夹角为钝角,则a·b=t-2<0,且两个向量不能反向共线,结合A可知,当t=-时,a=-2b,所以t<2且t≠-,故D正确. 2.AD　在矩形ABCD中,以D为原点,,的方向分别为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则D(0,0),C(8,0),A(0,3),B(8,3),设P(x,0),则a==(-x,3),b==(8-x,3),由=λ,得x=8λ, 由λ∈,得x∈[0,6]. 对于A,B,a+b=(8-2x,6),则|a+b|=2∈[6,10],A正确,B错误; 对于C,D,a·b=x2-8x+9=(x-4)2-7∈[-7,9],C错误,D正确. 3.答案　 解析　由题意得=(1,0),=(1,-), ∴||=1,||==2, ∴cos<,>===, ∵<,>∈[0,π],∴<,>=, ∴|×|=||||sin<,>=1×2×sin=. 4.解析　(1)由a=(3,-4),b=(0,1),得λa-b=λ(3,-4)-(0,1)=(3λ,-4λ-1),a+2b=(3,-4)+2(0,1)=(3,-2). 因为(λa-b)⊥(a+2b),所以(λa-b)·(a+2b)=0, 可得3×3λ+(-4λ-1)×(-2)=0,解得λ=-. (2)a+tb=(3,-4)+t(0,1)=(3,-4+t), 则|a+tb|==≥3, 当且仅当t=4时,等号成立,所以|a+tb|的最小值为3. 5.解析　(1)由题意可得|a|==2,∴与a平行的单位向量为=或-=,即c=或. (2)∵a=(,-1),b=,∴a·b=0, ∴x·y=[a+(t2+2)b]·(-kta+b)=-kta2+(t2+2)b2, ∵x⊥y,∴-kt|a|2+(t2+2)|b|2=0, ∵|a|=2,|b|=1, ∴t2-4kt+2=0. 则问题转化为关于t的二次方程t2-4kt+2=0在t∈[0,2]内有解. 令f(t)=t2-4kt+2,其图象开口向上,对称轴为直线t=2k,且恒过点(0,2). ①当2k≤0,即k≤0时, f(t)在[0,2]内单调递增,则f(t)≥2在[0,2]上恒成立,故方程t2-4kt+2=0在[0,2]内无解. ②当0<2k≤2,即0<k≤1时,由f(2k)=2-4k2≤0,解得k≤-或k≥,∴≤k≤1. ③当2k>2,即k>1时, f(t)在[0,2]内单调递减,由f(2)≤0,得4-8k+2≤0,解得k≥,∴k>1. 综上,实数k的取值范围为. 6.A　设BC的中点为O,连接OA,因为AB=AC,所以OA⊥BC.如图,以O为坐标原点,BC所在直线为x轴,OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,),B(-1,0),C(1,0),设P(x,y),则·(+)=(-1-x,-y)·(1-2x,-2y)=2x2+x-1-y+2y2=2+-3, 当x=-,y=时,·(+)取得最小值,为-3. 7.答案　5; 解析　解法一:由题意得DE=2,BM=1.以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,0),B(3,0),D(0,2),E(2,2),M(3,1),则=(-1,1),=(-3,2),=(3,0),=(0,2),所以·=(-1)×(-3)+1×2=5. 由题意可设=λ+(1-λ)=(3λ,2-2λ),0≤λ≤1,(点P在线段BD上运动,可设=λ,0≤λ≤1,则=+=+λ(-)=λ+(1-λ)) 故P(3λ,2-2λ),则=(2-3λ,2λ),=(3-3λ,2λ-1), 所以·=(2-3λ)(3-3λ)+2λ(2λ-1)=13λ2-17λ+6=+, 所以当λ=时,·取得最小值,为. 解法二:由题意知CE=CM=1,则·=(+)·(+)=·+·+·+·=2+0+0+3=5. 设=t(0≤t≤1),则=-t,=(1-t), 故·=(+)·(+)=[(1-t)+]·(-t+)=-t(1-t)+(1-t)·-t·+·, 又||=,=-, 所以·=-13t(1-t)+(1-t)·+t·=13t2-9t+2=+, 所以当t=时,·取得最小值,为. 8.解析　(1)·=||·||cos 120°=3×6×=-9. (2)因为=λ, 所以AD∥BC,所以∠BAD=120°, 所以·=||||cos∠BAD=-||=-, 解得||=1,又||=6,所以=,即λ=. (3)以B为原点,BC所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 因为∠ABC=60°,AB=3, 所以A,则D, 不妨设M(x,0),N(x+1,0), 因为M,N是线段BC上的两个动点, 所以解得0≤x≤5, 易得=,=, 所以·=+=(x-2)2+, 所以当x=2时,·取得最小值,为. 9.解析　(1)由题意知|e1|=|e2|=1,e1·e2=1×1×cos 60°=, 因为=(1,2),=(3,4), 所以=e1+2e2,=3e1+4e2, 所以·=(e1+2e2)·(3e1+4e2)=3+10e1·e2+8=3×12+10×+8×12=16. (2)若⊥,则·=0, 即(e1+2e2)·(me1+4e2)=0, 即m+(2m+4)e1·e2+8=m×12+(2m+4)×+8×12=2m+10=0, 所以m=-5,故=(-5,4). (3)设所求向量为n=(x0,y0),则n=x0e1+y0e2, 所以n2==+2x0y0e1·e2+=+x0y0+=1①, 因为n·=0,所以(x0e1+y0e2)·(e1+2e2)=0, 即x0+(2x0+y0)e1·e2+2y0=x0+x0+y0+2y0=2x0+y0=0②, 由①②解得或 所以n=或n=, 即与垂直的单位向量的坐标为或. 7 学科网（北京）股份有限公司 $