6.2.3 向量的数乘运算（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

6.2.3　向量的数乘运算 基础过关练 题组一　向量的数乘运算 1.若a=-b(b≠0),则(　　) A.a和b方向相同,|a|=2|b| B.a和b方向相同,|b|=2|a| C.a和b方向相反,|a|=2|b| D.a和b方向相反,|b|=2|a| 2.(多选题)(2025海南海口月考)已知λ,μ∈R,且a≠0,则在以下各命题中,正确的是(　　) A.当λ<0时,λa的方向与a的方向一定相反 B.当λ=0时,λa的方向具有任意性 C.|λa|=λ|a| D.当λμ>0时,λa的方向与μa的方向一定相同 3.(多选题)(教材习题改编)如图,若P,Q两点把线段AB三等分,则下列关系中正确的是(　　) A.=　　B.= C.=-　　D.= 4.(2025江苏徐州月考)已知λ为实数,e为单位向量,向量a的模为2,若a=λe,则λ=　　　　.  题组二　向量的线性运算 5.(多选题)(2025山东威海乳山银滩高级中学月考)已知m,n是实数,a,b是向量,下列命题正确的是(　　) A.m(a-b)=ma-mb　　B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=b　　D.若ma=na,则m=n 6.(2025河南开封期中)如图,平行四边形ABCD的对角线交于点M,若=a,=b,则=(　　) A.a+b　　B.a-b　　 C.-a-b　　D.-a+b 7.(多选题)(2025浙江宁波姜山中学月考)已知点P是△ABC的重心,则=(　　) A.+　　B.+ C.-　　D.+ 8.(2025福建泉州段考)化简:(a-2b)+(4a-2b)-(2a+14b)=　　　　.  9.(2025江西丰城中学月考)已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若-3+2=0,则=　　　　.  10.(2025天津第二新华中学月考)如图所示,在平行四边形AOBD中,C为AB与OD的交点,设向量=a,=b,且=,=,用a,b表示,,. 题组三　向量共线定理及其应用 11.(多选题)(2025陕西西安临潼华清中学月考)下列各组向量中,一定能推出a∥b的是(　　) A.a=-3e,b=2e B.a=-e,b=e C.a=e1-e2,b=-e1 D.a=e1-e2,b=e1+e2+ 12.(2025吉林四平实验中学月考)已知=a+5b,=-2a+8b,=3a-3b,则(　　) A.A,B,D三点共线　　B.A,B,C三点共线 C.B,C,D三点共线　　D.A,C,D三点共线 13.(2025广东广州天河中学月考)已知向量a,b不共线,且向量c=a+λb,d=(2λ-1)a+b,若c与d方向相反,则实数λ的值为(　　) A.-1　　B.-　　 C.1或-　　D.-1或 14.(教材习题改编)已知a,b是两个不共线的向量,在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是(　　) A.矩形　　 B.非特殊平行四边形 C.梯形　　 D.以上都不对 15.(2025福建福州长乐第二中学月考)已知a与b为不共线的向量,=a+b,=2a-b,=λa+μb(λ,μ∈R),若A,B,C三点共线,则2λ+μ=(　　) A.0　　B.1　　 C.2　　D.3 16.(2025四川广元阶段测试)已知向量m,n不共线,且=3m-2n,=m-3n,=2m+λn. (1)用m,n表示; (2)若∥,求实数λ的值. 17.(2025四川雅安中学月考)设e1,e2是两个不共线的向量,已知=3e1-2e2,=4e1+e2,=8e1-9e2. (1)求证:A,B,D三点共线; (2)试确定λ的值,使2λe1+e2和e1+λe2共线. 能力提升练 题组一　向量的线性运算 1.(多选题)(2025广东汕头潮阳河溪中学月考)如图,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E,F分别是AB,CD的中点,AC与BD交于点M,设=a,=b,则下列结论正确的是(　　) A.=a+b　　B.=-a+b C.=-a+b　　D.=-a+b 2.(2025河北新乐第一中学月考)如图,A,B,C三点在半径为1的圆O上运动,且AC⊥BC,M是圆O外一点,OM=2,则|++2|的最大值是(　　) A.5　　B.8　　C.10　　D.12 3.(2025山东省实验中学月考)正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系,在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且=.下列关系中正确的是(　　) A.-= B.+= C.-= D.+= 题组二　向量共线定理及其应用 4.(2025北京顺义牛栏山第一中学月考)已知向量e1,e2为非零向量,则“|e1+e2|=|e1|+|e2|”是“存在非零实数m,n,使得me1+ne2=0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(2025河南安鹤新联盟联考)已知e1,e2是两个不共线的向量,且向量xe1+3e2,e1+ye2同向,则x+2y的最小值为(　　) A.12　　B.6　　C.2　　D. 6.(2025江苏无锡江阴长泾中学月考)已知点P是△ABC所在平面内的一点,若=+,则=　　　　.  7.(2025四川内江第一中学月考)如图,在平行四边形ABCD中,M为AB的中点,点N在BD上,且3BN=BD.设=a,=b. (1)用a,b表示向量,,; (2)求证:M,N,C三点共线. 答案与分层梯度式解析 6.2.3　向量的数乘运算 基础过关练 1.D 2.ABD 3.ABC 5.AB 6.D 7.CD 11.ABC 12.A 13.B 14.C 15.D 1.D　∵a=-b(b≠0),-<0, ∴a和b方向相反,且|a|==|b|, ∴|b|=2|a|. 2.ABD　易知A正确; 对于B,当λ=0时,λa=0,零向量的方向具有任意性,故B正确; 对于C,|λa|=|λ||a|,故C错误; 对于D,由λμ>0可得λ,μ同为正或同为负, 所以λa与μa是同向的,故D正确. 3.ABC　由题图可知,与的方向相同,且||=||,||=||,故=,=,故A,B正确; ,的方向相反,且||=||,故=-,故C正确; ,的模相等,方向相反,故=-,故D错误. 4.答案　±2 解析　由已知得|a|=|λe|=|λ||e|=|λ|=2,解得λ=±2. 5.AB　易知A,B正确; 对于C,若m=0,则a,b不一定相等,C错误; 对于D,若a=0,则m,n不一定相等,D错误. 6.D　==(-)=(b-a)=-a+b. 7.CD　设BC的中点为D,连接AD,因为点P是△ABC的重心,所以==×(+)=+=+(+)=+=(+)+=-. 8.答案　a-2b 解析　(a-2b)+(4a-2b)-(2a+14b) =a-b =a-2b. 9.答案　 解析　由-3+2=0,得-=2(-),即=2,所以=+=, 所以||=||,即=. 10.解析　∵=-=a-b, ∴=+=+=+=b+(a-b)=a+b. ∵=a+b,∴=+=+=+==a+b, ∴=-=a+b-a-b=a-b. 11.ABC　对于A,b=-a,即a∥b,故A正确; 对于B,b=-2a,即a∥b,故B正确; 对于C,a=e1-e2,b=-e1=-e1+e2,则b=-a,故C正确; 对于D,a=e1-e2,b=e1+e2+=(e1+e2),只有当e1=0或e2=0时,a∥b,所以向量a,b不一定平行,故D错误. 12.A　由已知得=+=a+5b,故=,所以与共线, 因为两向量有一个公共点B,所以A,B,D三点共线,故A正确; 由=a+5b,=-2a+8b,可得≠, 所以不存在λ∈R,使得=λ,故A,B,C三点不共线,故B不正确; 由=-2a+8b,=3a-3b,可得≠, 所以不存在μ∈R,使=μ,故B,C,D三点不共线,故C不正确; 易得=+=a+5b-2a+8b=-a+13b, 由=3a-3b,可得≠, 所以不存在m∈R,使=m,故A,C,D三点不共线,故D不正确. 13.B　因为向量c与d方向相反, 所以存在实数k,使c=kd(k<0), 即a+λb=k[(2λ-1)a+b],即(1-2λk+k)a=(k-λ)b, 因为a,b不共线, 所以整理得2λ2-λ-1=0,解得λ=1或λ=-,又λ=k<0,所以λ=-. 14.C　由题意可得=++=-8a-2b,则=2,故与共线,且||=2||,∴四边形ABCD是梯形. 15.D　∵A,B,C三点共线,∴,共线,故设=k(k≠0), 由题意得=-=a-2b, =-=(λ-2)a+(μ+1)b, 则a-2b=k(λ-2)a+k(μ+1)b, 即[1-k(λ-2)]a=[k(μ+1)+2]b,∵a与b不共线, ∴则λ-2=,故2λ+μ=3. 16.解析　(1)=-=m-3n-(3m-2n)=-2m-n. (2)因为∥,所以∃t∈R,使得=t, 即3m-2n=t(2m+λn),所以(3-2t)m=(tλ+2)n, 又m,n不共线,所以解得 故λ的值为-. 17.解析　(1)证明:因为=+=4e1+e2+8e1-9e2=12e1-8e2=4(3e1-2e2)=4,所以与共线. 因为与有公共点B, 所以A,B,D三点共线. (2)因为2λe1+e2和e1+λe2共线, 所以存在实数μ,使2λe1+e2=μ(e1+λe2),即(2λ-μ)e1=(λμ-1)e2. 因为e1,e2是两个不共线的向量,所以 所以λ=±. 能力提升练 1.ABD 2.C 3.A 4.A 5.C 1.ABD　由题意可得,=+=b+a,故A正确; =+=-a+b+a=b-a,故B正确; 易知△DCM∽△BAM,所以==,故AM=2CM,=+=-a+=-a+b+a=b-a,故C错误; =++=-a+b+a=b-a,故D正确. 2.C　连接AB,CO,如图所示, 因为AC⊥BC,所以AB为圆O的直径,故O为AB的中点,所以+=2, 所以|++2|=|2+2(+)|=|4+2|≤4||+2||=4×2+2×1=10, 当且仅当M,O,C三点共线且,同向时,等号成立, 因此|++2|的最大值是10. 3.A　-=-==,故A正确; +=+==,故B错误; -=-==,故C错误; +=+,==-,若+=,则=0,不合题意,故D错误. 4.A　向量e1,e2为非零向量,则由|e1+e2|=|e1|+|e2|可得向量e1,e2同向共线,由me1+ne2=0,m,n≠0可得e1,e2共线, 则“|e1+e2|=|e1|+|e2|”是“存在非零实数m,n,使得me1+ne2=0”的充分不必要条件. 5.C　由向量xe1+3e2,e1+ye2同向,得=,且x>0,y>0,则xy=3,x>0,y>0. 因此x+2y≥2=2,当且仅当x=,y=时取等号,所以x+2y的最小值为2. 6.答案　 解析　因为=+, 所以=(+)+(+), 整理得++2=0. 设F为AB的中点,连接PF,如图. 则+=2,所以=-,所以S△APC=S△APF, 又S△APF=S△APB,所以=. 7.解析　(1)由已知得=+=a+b,=-=-a+b. 由点N在BD上,且3BN=BD,得=+=+=(-a+b)+a=a+b. (2)证明:由M为AB的中点,可得=+=-=b-(-a+b)=a+b, 所以=,又与有公共点N, 所以M,N,C三点共线. 7 学科网（北京）股份有限公司 $