6.3.1 平面向量基本定理（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦平面向量基本定理及坐标表示，核心涵盖定理内容、基底概念及应用。通过知识辨析问题导入，衔接向量共线等旧知，搭建从概念理解到几何应用的学习支架。 其亮点在于以数学思维为核心，通过典例（如三角形向量表示、平行四边形三等分点证明）展示定理应用，结合定比分点、分点恒等式等总结，培养学生逻辑推理与数学表达能力。学生能提升问题解决能力，教师可借助结构化内容优化教学效率。

平面向量基本定理 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1　平面向量基本定理 必备知识 清单破 1.平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一 向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 2.基底:若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 知识点 第六章　平面向量及其应用 高中同步 知识辨析 1.平面内任意两个向量都可以作为一个基底吗? 2.零向量可以与其他向量构成一个基底吗? 3.平面向量基本定理中,a与e1共线时,λ2的值是多少?a=0时呢? 第六章　平面向量及其应用 高中同步 一语破的 1.不是.只有不共线的两个向量才可以作为一个基底. 2.不可以.因为零向量与任意向量共线. 3.λ2=0;λ1=λ2=0. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 　平面向量基本定理的理解及其应用  关键能力 定点破 定点 1 1.对平面向量基本定理的理解 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解. (2)基底不唯一,只要是同一平面内不共线的两个向量就可以作为一个基底,同一非零向量在 不同基底下的分解是不同的. (3)基底给定时,分解形式唯一,即若a=x1e1+y1e2(x1,y1∈R),且a=x2e1+y2e2(x2,y2∈R),则 这个 方法常用于待定系数法确定向量. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 2.利用向量解决几何问题 　　平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何问题时,一般步骤如下: (1)同一平面内选取不共线的两个向量作为基底; (2)将相关的向量用基底表示出来,将几何问题转化为向量问题; (3)利用向量运算求解向量问题; (4)将向量问题的解转化为几何问题的解. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 典例1　如图所示,在△OAB中, =a, =b,M、N分别是边OA、OB上的点,且 = a, =  b,设 与 交于点P,用向量a、b表示 . 第六章　平面向量及其应用 高中同步 解析    设 =m , =n , 则 = + = +m = +m( - )= a+m = (1-m)a+mb,  = + = +n = +n( - ) = b+n =na+ (1-n)b. ∵a与b不共线, ∴ 解得  ∴ = a+ b. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 典例2　如图,在平行四边形ABCD中,F是CD的中点,AF与BD相交于点E,求证:E为线段BD的 一个三等分点.   第六章　平面向量及其应用 高中同步 证明    设 =a, =b,则 = - =b-a, = + = +  =b+ a. 由题意知,A,E,F三点共线,B,D,E三点共线, 所以存在实数λ,μ,使 =λ , =μ , 即 = a+λb, =μb-μa. 因为 + = , 所以(1-μ)a+μb= a+λb. 因为a与b不共线, 所以 解得  所以 =  ,即E为线段BD的一个三等分点(靠近点D). 第六章　平面向量及其应用 高中同步 　定比分点和分点恒等式  定点 2 1.定比分点 　　设点P1,P2是直线l上的两点,点P是l上不同于点P1,P2的任意一点,存在一个实数λ,使 =λ  ,那么λ叫做点P分有向线段 所成的比,P叫做有向线段 以λ为定比的定比分点. (1)λ由点P的位置决定,由点P的位置也可以确定λ的符号. 　　当点P在线段P1P2上时, 与 同向,λ>0; 　　当点P在线段P1P2的延长线上时, 与 反向,λ<-1; 　　当点P在线段P2P1的延长线上时, 与 反向,-1<λ<0. (2)设O为平面上一点,则有 =  +  . 　　推广:若 , 为平面内两个不共线的向量,设 =x +y (x,y∈R),则A,B,C三点共线 的充要条件是x+y=1. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 2.分点恒等式 在△ABC中,D是BC边上一点(不包含端点),若BD∶CD=m∶n,则 =  +  . 第六章　平面向量及其应用 高中同步 典例　在△ABC中,点P满足2 = ,过点P的直线与AB,AC所在的直线分别交于点M,N,若  =x , =y (x>0,y>0),则2x+y的最小值为 (　    ) A.3　    B.3 　    C.1　    D.  A 思路点拨    画出图形知M,P,N三点共线,利用向量的线性运算得到 , , 的关系式,由M, P,N三点共线得x和y的关系式,再结合基本不等式求最值,注意等号成立的条件. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 解析    如图, 因为2 = , 所以由分点恒等式可得 =  +  , 又 =x , =y (x>0,y>0), 所以 =  +  , 由M,P,N三点共线,可得 + =1, 所以2x+y=(2x+y) = + + ≥ +2 =3,当且仅当x=y=1时等号成立. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 $