6.2.4 向量的数量积（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦平面向量的数量积，涵盖向量夹角、定义、投影向量、性质、运算律及应用，从向量夹角概念切入，逐步过渡到数量积定义，通过投影向量建立几何直观，结合性质与运算律构建知识脉络，形成递进式学习支架。 其亮点在于知识辨析环节引导学生批判性思考，典例结合等腰直角三角形、菱形等图形，运用数学语言解决问题，培养数学思维与数学眼光。帮助学生理解数量积本质，教师可通过实例提升教学效率，促进学生知识迁移与应用能力。

　 向量的夹角 　　已知两个非零向量a,b,O是平面上的任意一点,作 =a, =b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做 向量a与b的夹角,即<a,b>=θ.   　　当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向;当θ= 时,a与b垂直,记作 a⊥b. 知识点 1 6.2 平面向量的运算 6.2.4　向量的数量积 必备知识 清单破 第六章　平面向量及其应用 高中同步 　向量的数量积 　　已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或 内积),记作a·b,即 a·b=|a||b|cos θ. 　　规定:零向量与任一向量的数量积为0. 知识点 2 温馨提醒 (1)向量数量积的结果不再是向量,而是数量;(2)a·b中的“·”表示数量积这种运算,不能省略, 也不能用“×”代替. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 　投影与投影向量 知识点 3 1.如图1,设a,b是两个非零向量, =a, =b,过 的起点A和终点B,分别作 所在直线的垂 线,垂足分别为A1,B1,得到 ,则称上述变换为向量a向向量b投影, 叫做向量a在向量b上 的投影向量.  　      第六章　平面向量及其应用 高中同步 2.如图2,在平面内任取一点O,作 =a, =b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则 就是 向量a在向量b上的投影向量. 设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向量是|a|cos θe. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 　向量数量积的性质 　　设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量,则 (1)a·e=e·a=|a|cos θ. (2)a⊥b⇔a·b=0. (3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2或|a|= . (4)|a·b|≤|a||b|. 知识点 4 第六章　平面向量及其应用 高中同步 向量数量积的运算律 　　对于向量a,b,c和实数λ,有 (1)a·b=b·a; (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb); (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 知识点 5 第六章　平面向量及其应用 高中同步 知识辨析 1.在等边△ABC中, 与 的夹角是60°吗? 2.若a·b=0,则一定有a=0或b=0吗? 3.a·a常记作a2,由a2=b2能推出a=b或a=-b吗? 4.对于两个非零向量a,b,a·b的符号与两向量的夹角θ有什么关系? 5.对于向量a,b,c,等式(a·b)·c=a·(b·c)一定成立吗? 第六章　平面向量及其应用 高中同步 一语破的 1.不是.两向量起点不同,需把它们平移,使起点为同一点,故夹角为120°. 2.不一定.若两个非零向量a,b满足a⊥b,则a·b=0. 3.不能.因为a2=|a|2,b2=|b|2,所以由a2=b2能推出|a|=|b|,不能推出a=b或a=-b. 4.当a·b<0时,θ为钝角或θ=180°;当a·b>0时,θ为锐角或θ=0°;当a·b=0时,θ=90°. 5.不一定.因为a·b,b·c是数量积,结果是实数,所以(a·b)·c与向量c共线,a·(b·c)与向量a共线.因此, (a·b)·c=a·(b·c)在一般情况下不成立. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 向量数量积的运算  关键能力 定点破 定点 1 1.求向量的数量积时,需明确两个关键点:模和夹角,再利用公式a·b=|a||b|cos θ求解. 2.若问题中要求数量积的两个向量的模和夹角不是已知的,则可以借助向量的线性运算将其 转化为已知模及夹角的向量. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 典例1　在等腰直角△ABC中,AB=AC=1, =3 ,2 = + ,则 · =　　　    . 解析    ∵ =3 ,∴ =  = ( - ), ∴ = + =  +  . ∵2 = + ,∴ - = - ,即 = , ∴ =  =  +  , ∴ = - =  -  . 由题意得 ⊥ ,| |=| |=1, ∴ · = ·  =-  +  =- + = . 第六章　平面向量及其应用 高中同步 典例2　如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠BAD=60°.   (1)求 · ; (2)若E为对角线AC上一动点,连接BE并延长,交CD于点F,连接AF,设 =λ (0≤λ≤1).当λ为 何值时, · 最小?并求出 · 的最小值. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 解析    (1)在菱形ABCD中,易知 = + ,| |=| |=2, 所以 · = ·( + )= + ·  =4+| || |cos 60°=4+2×2× =6. (2)在菱形ABCD中,易知△EFC∽△EBA, 由 =λ ,得 = =λ,即 =-λ , 因为 = , 所以 · =( + + )·( + ) =[(1-λ) + ]·( -λ ) =(1-2λ) · -λ(1-λ) +  =2(1-2λ)-4λ(1-λ)+4=4λ2-8λ+6=4(λ-1)2+2,0≤λ≤1, 所以当λ=1时, · 取得最小值,为2. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 　向量数量积的应用  定点 2 1.求向量的模 　　求模一般利用公式|a|2=a2,计算时不要忘记开方,即|a|= .有时也会用到公式|a±b|=  = . 　　在平面图形中求向量的模时,注意利用图形特征对向量的数量积或夹角进行转化. 2.求向量的夹角 　　求两个非零向量a,b的夹角θ的关键是计算a·b及|a||b|,利用cos θ= ,结合θ∈[0,π],求出 θ的值. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 3.由夹角范围求参数的取值范围 　　对于非零向量a,b,根据夹角θ的范围,可列关于数量积的不等式:若θ∈ ,则a·b>0;若θ ∈ ,则a·b<0;若θ= ,则a·b=0,然后通过解不等式求得参数的取值范围. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 典例　如图,在△ABC中,已知| |=2,| |=6 ,∠BAC=45°,边BC,AC上的中线AM,BN相交于 点P.   (1)求| |; (2)求∠MPN的余弦值. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 解析     (1)由题意可得M为BC的中点, 所以 = ( + ), 所以 = ( + +2 · ), 所以 = ( + +2| |·| |·cos∠BAC), 又| |=2,| |=6 ,∠BAC=45°, 所以 = × =25, 所以| |=5. (2)由题意可得N为AC的中点, 所以 = - =  - , 第六章　平面向量及其应用 高中同步 所以| |= =  = = , 又 = ( + ), 所以 · = ( + )·  =   = × =13, 所以cos< , >= = = . 第六章　平面向量及其应用 高中同步 易知∠MPN为向量 与 的夹角, 所以cos∠MPN= , 所以∠MPN的余弦值为 . 第六章　平面向量及其应用 高中同步 $