6.2.3 向量的数乘运算（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（人教A版）

该高中数学课件聚焦平面向量的数乘运算，涵盖定义、运算律及向量共线定理，通过知识辨析问题衔接向量加减运算，搭建从概念到运算律再到定理应用的学习支架。 其亮点在于以知识辨析激发数学眼光，通过典例解析强化数学思维，借助向量表示训练数学语言。如共线定理证明、三点共线参数求解实例，助力学生提升逻辑推理与应用能力，教师可依托系统例题与辨析优化教学效率。

向量的数乘运算 知识点 1 6.2 平面向量的运算 6.2.3　向量的数乘运算 必备知识 清单破 1.向量的数乘 向量 的数 乘 定义 一般地,我们规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa 长度 |λa|=|λ||a| 方向 当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反; 当λ=0时,λa=0,它的方向是任意的 第六章　平面向量及其应用 高中同步 向量 数乘 的运 算律 结合律 λ(μa)=(λμ)a(λ,μ∈R) 分配律 (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb(λ,μ∈R) 2.向量的线性运算 　　向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于 任意向量a,b,以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a± μ2b)=λμ1a±λμ2b. 　向量共线定理 　　向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa. 知识点 2 第六章　平面向量及其应用 高中同步 知识辨析 1.实数与向量可以相乘,那么实数与向量是否可以相加减? 2.λa(λ∈R)的几何意义是什么? 3.与非零向量a共线的单位向量怎样表示? 4.已知m∈R,若ma=mb,则a=b一定成立吗? 5.两个向量共线的充要条件中的“a≠0”是否能去掉? 第六章　平面向量及其应用 高中同步 一语破的 1.不可以.实数与向量可以相乘,但是不可以相加减,如λ+a,λ-a(λ∈R)均没有意义. 2.λa(λ∈R)的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍. 3.由于单位向量的长度为1,所以与非零向量a共线的单位向量应为± . 4.不一定.若m=0,则无论a,b是否相等,都有ma=mb. 5.不能.若a=b=0,则λ∈R,不唯一;若a=0,b≠0,则λ不存在. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 　向量共线定理的应用  关键能力 定点破 定点 1 1.证明两向量共线:要证明非零向量a,b共线,只需证明存在实数λ,使得b=λa即可. 2.证明三点共线:要证明A,B,C三点共线,只需证明存在实数λ,使得 =λ (或 =λ 等)即可. 3.利用向量共线求参数的基本步骤 (1)根据向量共线的充要条件建立共线向量之间的关系(通常要引入一个参数). (2)根据向量系数列方程组求参数. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 典例　已知非零向量e1,e2不共线. (1)若a= e1- e2,b=3e1-2e2,判断向量a,b是否共线; (2)若 =e1+e2, =2e1+8e2, =3(e1-e2),求证:A,B,D三点共线; (3)若  =2e1+ke2, =e1+3e2,且 A,B,C三点共线,求实数k的值. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 解析    (1)因为b=3e1-2e2=6 =6a,所以向量a,b共线. (2)证明:因为 = + =2e1+8e2+3(e1-e2)=5(e1+e2)=5 ,所以A,B,D三点共线. (3)由A,B,C三点共线,可知存在λ∈R,使得 =λ , 又 =2e1+ke2, =e1+3e2, 所以2e1+ke2=λe1+3λe2, 即(2-λ)e1=(3λ-k)e2, 因为e1,e2不共线, 所以 解得  故实数k的值为6. 第六章　平面向量及其应用 高中同步 　用已知向量表示其他向量  　　用图形中的已知向量表示所求向量,应结合已知和所求,联想相关的法则和几何图形的 有关定理,将所求向量反复分解,直到全部可以用已知向量表示,实质是向量的线性运算的反 复使用. 定点 2 第六章　平面向量及其应用 高中同步 典例　如图,在△ABC中,D是BC边的中点,E是AC边上靠近点A的三等分点,AD与BE交于点F. (1)用 和 表示 ; (2)用 和 表示 .   第六章　平面向量及其应用 高中同步 解析    (1)由题意得 = + = +  = + ( - )=  +  . (2)设G为CE的中点,连接DG,如图,   在△BCE中,因为D,G分别为BC,CE的中点,所以DG∥BE且DG= BE, 在△ADG中,易知E为AG的中点,则由DG∥EF,可得F为AD的中点,则EF= DG, 所以EF= BE,即BF= BE, 所以 =  = × =  +  . 第六章　平面向量及其应用 高中同步 $