第6章 §5 5.1 直线与平面垂直（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

§5　垂直关系 5.1　直线与平面垂直 基础过关练 题组一　直线与平面垂直的性质与判定 1.(2023上海洋泾中学月考)已知直线l,m与平面α,其中m⊂α,则“l⊥m”是“l⊥α”的(　　) A.充分不必要条件　　 B.必要不充分条件 C.充要条件　　 D.既不充分也不必要条件 2.(多选题)(2024江西宜春第一中学月考)设α是空间中的一个平面,l,m,n是三条不同的直线,则下列说法正确的是(　　) A.若m⊥α,n∥α,则m⊥n B.若m⊥α,m∥n,则n⊥α C.若m∥α,m⊥n,则n⊥α D.若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α 3.(2024广东河源部分学校联考)在正三棱锥A-OBC中,顶点A在底面OBC内的射影为点D,OA=OB=1,则AD=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 4.(2025江西宜春中学月考)如图,已知PO⊥平面ABC,且PB⊥AC,则以下结论一定成立的是(　　) A.BO⊥AC　　B.PC⊥BO C.PA⊥BO　　D.AO⊥BO 5.(2023四川成都石室天府中学模拟)如图,PA垂直于以AB为直径的圆O所在的平面,C为圆上异于A,B的任一点,现有下列命题:①PA⊥BC;②BC⊥平面PAC;③AC⊥PB;④PC⊥BC.其中真命题的个数是(　　) A.1　　B.2　　C.3　　D.4 6.(多选题)在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,AC与EF交于点G,如图1,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,如图2,那么在这个空间图形中,下列结论成立的是(　　) 图1 图2 A.AG⊥平面EFH　　B.AH⊥平面EFH C.EF⊥平面AGH　　D.HG⊥平面AEF 7.(2023吉林长春十一高中月考)过△ABC所在平面α外一点P作PO⊥α,垂足为O,连接PA,PB,PC.若PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC,则O是△ABC的　　　　心.  8.(2025天津滨海新区田家炳中学期中)如图,已知P是平面ABC外一点,PA⊥平面ABC,AC⊥BC. (1)证明:BC⊥平面PAC; (2)过A点作AD⊥PC于D,证明:AD⊥PB. 9.(2025湖北武汉华中师范大学第一附属中学期中)如图,在四边形ABCD中,△ABD是等边三角形,△BCD是以BD为斜边的等腰直角三角形,将△ABD沿BD折起到△PBD的位置,连接PC. (1)求证:BD⊥PC; (2)若DP⊥BC,求证:PC⊥平面BCD. 题组二　直线与平面的夹角 10.(2025河北邯郸邱县第一中学检测)下列命题正确的是(　　) A.若两条直线和同一个平面的夹角相等,则这两条直线平行 B.直线l与平面α的夹角的取值范围是[0,π) C.斜线n与平面α的夹角的取值范围是 D.若直线a与平面α的夹角为θ,直线a与平面α内的直线m的夹角为φ,则总有θ<φ 11.(2025甘肃酒泉敦煌中学期末)《九章算术》是我国古代的数学名著,它对几何学的研究比西方早一千多年,书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,四面体P-ABC为鳖臑,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且PA=AB=BC=1,则直线PB与平面PAC的夹角为　　　　.  12.(2024浙江培优联盟联考)如图,点P是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1表面上的一个动点,直线AP与平面ABCD的夹角为60°,则点P的轨迹长度为　　　　.  13.(2025黑龙江哈尔滨第九中学期中)如图,在圆柱O'O中,轴截面ABCD是一个边长为4的正方形,E为弧的中点. (1)求证:AE⊥平面CEB; (2)求直线AC与平面CEB夹角的正弦值. 能力提升练 题组一　直线与平面垂直的性质与判定 1.(2024四川眉山模拟)如图所示的组合体是由一个正四棱柱ABCD-A1B1C1D1和一个正四棱锥P-A1B1C1D1组合而成的,已知AB=2,AA1=,PA1=2,则(　　) A.PA1∥平面ABC1D1　　B.PB1∥平面ABC1D1 C.PC1⊥平面BDC1　　D.PD1⊥平面BDC1 2.(2025黑龙江哈尔滨师范大学附属中学期中)如图,已知矩形ABCD,过点A作SA⊥平面ABCD,连接SB,SC,SD形成四棱锥S-ABCD,再过点A作AE⊥SB交SB于点E,过点E作EF⊥SC交SC于点F. (1)求证:AF⊥SC; (2)若平面AEF交SD于点G,求证:AG⊥平面SDC. 题组二　直线与平面的夹角 3.(2025河南商丘部分学校月考)已知PA,PB,PC是从点P出发的三条射线,若PA⊥PB,∠APC=∠BPC=60°,则直线PC与平面PAB夹角的正弦值是(　　) A.　　B.　　 C.　　D. 4.(多选题)(2024江西赣州十八县(市)二十四校期中联考)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,M,N分别为CC1,BC的中点,P是棱AA1上的一个动点,则(　　) A.存在点P,使得B1M∥平面PBC B.直线PN与CC1为异面直线 C.存在点P,使得B1M⊥PN D.存在点P,使得直线PN与平面ABC的夹角为45° 5.(2025辽宁鞍山普通高中月考)如图,已知PA⊥PB,PA⊥PC,∠ABP=∠ACP=60°,PB=PC=BC,D是BC的中点,则直线AD与平面PBC夹角的余弦值为　　　　.  6.(2024河南新乡封丘第一中学月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PD⊥平面ABCD,E为PD的中点. (1)设平面ABE与直线PC相交于点F,求证:EF∥CD; (2)若AB=2,∠DAB=60°,PD=4,求直线BE与平面PAD夹角的大小. 答案与分层梯度式解析 §5　垂直关系 5.1　直线与平面垂直 基础过关练 1.B 2.AB 3.D 4.A 5.C 6.BC 10.C 1.B　根据直线与平面垂直的判定定理,知只有当l垂直于α内的两条相交直线时,才有l⊥α,故充分性不成立;若l⊥α,m⊂α,则l⊥m,故必要性成立. 综上,“l⊥m”是“l⊥α”的必要不充分条件. 2.AB　对于A,当n∥α时,过n作平面γ,使α∩γ=n',则n∥n',因为m⊥α,n'⊂α,所以m⊥n',所以m⊥n,故A中说法正确; 对于B,由线面垂直的性质定理可知B中说法正确; 对于C,由m∥α,m⊥n,可得n∥α或n与α相交或n⊂α,故C中说法错误; 对于D,当m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n时,要使l⊥α,必须添加“m,n相交”的条件,故D中说法错误. 3.D　由题意知点D为等边△OBC的中心,则OD=×1×sin =, 由AD⊥底面OBC,OD⊂底面OBC,可得AD⊥OD, 故AD===. 规律总结 　　(1)正棱锥的顶点在底面内的射影为底面正三角形的中心. (2)若三棱锥的侧棱均相等,则其顶点在底面内的射影为底面三角形的外心. 4.A　对于A,因为PO⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,所以PO⊥AC, 因为PB⊥AC,PO∩PB=P,PO,PB⊂平面POB,所以AC⊥平面POB, 因为BO⊂平面POB,所以BO⊥AC,所以A正确; 对于B,假设PC⊥BO成立,因为PO⊥平面ABC,BO⊂平面ABC,所以PO⊥BO, 因为PO∩PC=P,PO,PC⊂平面POC,所以BO⊥平面POC, 因为OC⊂平面POC,所以BO⊥OC, 由A可知BO⊥AC,则点O在直线AC上,这不一定成立,所以PC⊥BO不一定成立,所以B错误; 对于C,假设PA⊥BO成立,同理可得BO⊥OA,则点O在直线AC上,这不一定成立,所以PA⊥BO不一定成立,所以C错误; 对于D,假设AO⊥BO成立,由A可知BO⊥AC,则点O在直线AC上,这不一定成立,所以AO⊥BO不一定成立,所以D错误. 5.C　因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC,故①正确; 因为AB为圆O的直径,C为圆上异于A,B的任一点,所以AC⊥BC,又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC,故②正确; 因为PC⊂平面PAC,所以PC⊥BC,故④正确; 假定AC⊥PB,因为AC⊥BC,PB∩BC=B,PB,BC⊂平面PBC,所以AC⊥平面PBC,因为PC⊂平面PBC,所以AC⊥PC,显然不成立,故③不正确. 所以真命题的个数是3. 6.BC　由题意知,题图2中AH⊥HE,AH⊥HF, ∵HE∩HF=H,HE,HF⊂平面EFH,∴AH⊥平面EFH,∴B正确; 过点A只有一条直线与平面EFH垂直,∴A不正确; 易知AG⊥EF,GH⊥EF,∵AG∩GH=G,AG,GH⊂平面AGH,∴EF⊥平面AGH,∴C正确; ∵AH⊥平面EFH,HG⊂平面EFH,∴AH⊥HG,∴HG与AG不垂直,∴HG与平面AEF不垂直,∴D不正确. 7.答案　垂 解析　如图所示,连接AO,BO,CO,延长AO,BO,CO,分别交BC,AC,AB于点E,F,D. 因为PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,PB,PC⊂平面PBC,所以PA⊥平面PBC, 因为BC⊂平面PBC,所以PA⊥BC, 又PO⊥α,BC⊂平面α,所以PO⊥BC, 因为PA∩PO=P,PA,PO⊂平面PAO,所以BC⊥平面PAO, 又AE⊂平面PAO,所以BC⊥AE, 同理可证,BF⊥AC,CD⊥AB, 所以O为△ABC的垂心. 8.证明　(1)因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以PA⊥BC, 又AC⊥BC,PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC, 所以BC⊥平面PAC. (2)因为BC⊥平面PAC,AD⊂平面PAC, 所以BC⊥AD, 又AD⊥PC,PC∩BC=C,PC,BC⊂平面PBC, 所以AD⊥平面PBC, 又PB⊂平面PBC,所以AD⊥PB. 9.证明　(1)取BD的中点M,连接PM,CM,如图, ∵在等腰Rt△BCD中,BC=CD,M为BD的中点,∴CM⊥BD, 在等边△PBD中,PB=PD,M为BD的中点,∴BD⊥PM, 又PM∩CM=M,PM,CM⊂平面PCM,∴BD⊥平面PCM, 又PC⊂平面PCM,∴BD⊥PC. (2)由题知在等腰Rt△BCD中,BC⊥CD, 又DP⊥BC,CD∩DP=D,CD,DP⊂平面PCD,∴BC⊥平面PCD,又PC⊂平面PCD,∴BC⊥PC, 由(1)知BD⊥PC,∵BC∩BD=B,BC,BD⊂平面BCD,∴PC⊥平面BCD. 10.C　对于A,若两条直线和同一个平面的夹角相等,这两条直线可能相交、平行或异面,故A错误. 对于B,C,当直线在平面内或者直线与平面平行时,直线与平面的夹角为0; 当直线与平面斜交时(即直线为平面的斜线),直线与平面的夹角的取值范围是; 当直线与平面垂直时,直线与平面的夹角为. 综上可知,直线l与平面α的夹角的取值范围为,斜线n与平面α的夹角的取值范围为,故B错误,C正确. 对于D,根据线面角的定义可知,直线a与平面α内的直线m所成的角中的最小角为θ,所以θ≤φ,故D错误. 11.答案　 解析　取AC的中点D,连接BD,PD,如图, 因为AB=BC=1,AB⊥BC, 所以BD⊥AC,且BD=AC=×=, 又PA⊥平面ABC,BD⊂平面ABC, 所以PA⊥BD, 因为AC∩PA=A,AC,PA⊂平面PAC,所以BD⊥平面PAC, 所以∠BPD即为直线PB与平面PAC的夹角, 又PA⊥平面ABC,AB⊂平面ABC, 所以PA⊥AB,所以PB==, 所以在Rt△BDP中,sin∠BPD==,所以∠BPD=,即直线PB与平面PAC的夹角为. 12.答案　+ 解析　因为直线AP与平面ABCD的夹角为60°, 所以点P的轨迹在顶点为A,底面圆的半径为,高为1的圆锥的侧面上, 又因为点P是正方体表面上的一个动点,所以点P的轨迹为扇形AEF,如图, 则点P的轨迹长度为2×+×2π×=+. 13.解析　(1)证明:易知CB⊥平面ABE,因为AE⊂平面ABE, 所以CB⊥AE,又因为AB是底面圆的一条直径,所以AE⊥EB, 又EB,CB⊂平面CEB,EB∩CB=B,所以AE⊥平面CEB. (2)因为AE⊥平面CEB,所以直线AC与平面CEB的夹角为∠ACE, 因为轴截面ABCD是一个边长为4的正方形,E为弧的中点,所以AE=2,AC=4, 所以在Rt△AEC中,sin∠ACE===,即直线AC与平面CEB夹角的正弦值为. 能力提升练 1.C 3.B 4.BCD 1.C　连接AC,交BD于O,连接A1C1,OC1,如图, 因为PA1=PC1=2,A1C1=2,OC=CC1=, 所以∠PA1C1=∠A1C1O=∠C1OC=, 易知P在平面ACC1A1内, 所以PA1∥OC1,又PA1⊄平面BDC1,OC1⊂平面BDC1,所以PA1∥平面BDC1,所以PA1不平行于平面ABC1D1,故A错误; 连接OD1,B1D1,同理PB1∥OD1,因为PB1⊄平面AOD1,OD1⊂平面AOD1,所以PB1∥平面AOD1,所以PB1不平行于平面ABC1D1,故B错误; 连接PO,易得PO=+×2=2,PC1=C1O=2, 所以P+C1O2=PO2,所以PC1⊥C1O, 因为BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,AC,CC1⊂平面PC1O,所以BD⊥平面PC1O, 因为PC1⊂平面PC1O,所以PC1⊥BD,又BD∩C1O=O,BD,C1O⊂平面BDC1, 所以PC1⊥平面BDC1,故C正确; 因为PC1∩PD1=P,且过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直,所以PD1不垂直于平面BDC1,故D错误. 2.证明　(1)因为四边形ABCD为矩形,所以BC⊥AB,又SA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥SA. 因为SA∩AB=A,SA,AB⊂平面SAB,所以BC⊥平面SAB. 因为AE⊂平面SAB,所以BC⊥AE. 又AE⊥SB,SB∩BC=B,SB,BC⊂平面SBC, 所以AE⊥平面SBC,又SC⊂平面SBC,所以AE⊥SC, 又EF⊥SC,AE∩EF=E,AE,EF⊂平面AEF, 所以SC⊥平面AEF, 又AF⊂平面AEF,所以AF⊥SC. (2)因为四边形ABCD为矩形,所以AB∥CD,AB⊥AD,又SA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以AB⊥SA. 因为SA∩AD=A,SA,AD⊂平面SAD,所以AB⊥平面SAD, 又因为AB∥CD,所以CD⊥平面SAD. 又A∈平面SAD,G∈SD⊂平面SAD,所以AG⊂平面SAD,所以CD⊥AG. 由(1)知SC⊥平面AEF,由平面AEF交SD于点G,可得AG⊂平面AEF,所以SC⊥AG, 又SC∩CD=C,SC,CD⊂平面SDC, 所以AG⊥平面SDC. 3.B　如图,过点C作CG⊥平面PAB于点G,连接PG,则∠CPG即为直线PC与平面PAB的夹角, 在平面PAB内过点G作GH⊥PA,GE⊥PB,垂足分别为H,E,连接CH,CE, 因为CG⊥平面PAB,PA⊂平面PAB,所以CG⊥PA, 又GH⊥PA,CG∩GH=G,CG,GH⊂平面CHG,所以PA⊥平面CHG, 又CH⊂平面CHG,所以PA⊥CH,同理可得PB⊥CE, 由∠APC=∠BPC=60°,得PE=PH=PC, 又PA⊥PB,所以四边形PEGH为正方形,所以PG=PH=PC,所以CG=PC, 所以在Rt△CGP中,sin∠CPG==,即直线PC与平面PAB夹角的正弦值为. 4.BCD　如图①,易知直线B1M与BC相交,所以直线B1M与平面PBC相交,故A错误; 如图①,因为P∉平面BB1C1C,N∈平面BB1C1C,N∉CC1,CC1⊂平面BB1C1C,所以直线PN与CC1为异面直线,故B正确; 如图②,当点P与点A重合时,PN⊥BC,BB1⊥平面ABC,PN⊂平面ABC,所以BB1⊥PN, 又BB1∩BC=B,BB1,BC⊂平面BB1C1C, 所以PN⊥平面BB1C1C, 又B1M⊂平面BB1C1C,所以B1M⊥PN,故C正确; 如图③,当AP=AN时,△PAN为等腰直角三角形, 所以∠PNA=45°, 因为PA⊥平面ABC,所以AN为PN在平面ABC内的投影,所以∠PNA为直线PN与平面ABC的夹角, 又∠PNA=45°,所以直线PN与平面ABC的夹角为45°,故D正确. 5.答案　 解析　∵PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P,PB,PC⊂平面PBC,∴PA⊥平面PBC.连接PD,如图所示, 则PD是AD在平面PBC上的投影, ∴∠PDA就是直线AD与平面PBC的夹角. 设BC=2,则PB=PC=2, ∵PA⊥PB,∠ABP=60°,∴PA=PB=2, ∵PB=PC,D是BC的中点,∴PD⊥BC, ∴PD===, ∵PA⊥平面PBC,PD⊂平面PBC,∴PA⊥PD, ∴AD===, ∴在Rt△APD中,cos∠PDA===, ∴直线AD与平面PBC夹角的余弦值为. 6.解析　(1)证明:∵平面ABE与直线PC相交于点F, ∴平面ABE∩平面PCD=EF. ∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD, ∵AB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD, ∴AB∥平面PCD, ∵AB⊂平面ABE,平面ABE∩平面PCD=EF, ∴AB∥EF,故EF∥CD. (2)连接BD,取AD的中点H,连接BH,EH, ∵AB=AD,∠DAB=60°,∴△ABD是等边三角形, ∵H是AD的中点,∴BH⊥AD. ∵PD⊥平面ABCD,BH⊂平面ABCD,∴BH⊥PD, ∵PD,AD⊂平面PAD,PD∩AD=D, ∴BH⊥平面PAD, ∴∠BEH是直线BE与平面PAD的夹角. ∵E是PD的中点,PD=4,∴DE=PD=2. ∵PD⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴PD⊥AD, ∵H为AD的中点,∴DH=AD=1, ∴在Rt△DEH中,EH==3. 在等边△ABD中,BH=AB=, ∴在Rt△BEH中,tan∠BEH==, ∴∠BEH=, 故直线BE与平面PAD的夹角为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $