第6章 §4 4.2 平面与平面平行（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

4.2　平面与平面平行 基础过关练 题组一　平面与平面平行的性质 1.(2024山东省实验中学月考)设α,β,γ是三个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且α∩γ=l,β∩γ=m,则“l∥m”是“α∥β”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2024福建南平三检)如图,在正四面体A-BCD中,P为棱AD的中点,过点A的平面α与平面PBC平行,平面α∩平面ABD=m,平面α∩平面ACD=n,则m,n夹角的余弦值为(　　) A.　　B.　　 C.　　D. 3.(2025山东济宁微山第二中学质量检测)如图所示,已知平面α∥平面β,点P是平面α,β外一点,且直线PB分别与α,β交于点A,B,直线PD分别与α,β交于点C,D,若PA=6,AB=2,BD=12,则AC=　　　　.  4.(2023四川仁寿文宫中学月考)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,过B1B的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M,交BC于点N,则MN与AC的数量关系是　　　.  5.(2025江西上饶中学月考)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD为梯形,AD∥BC,且AD=2BC,Q为BB1的中点,过A1,Q,D三点的平面记为α,平面α与平面A1B1C1D1的交线记为l.求证:l∥CD. 6.(2024江西五校联考)在四棱锥P-ABCD中,PA=PB=AB=AD=2,BC=4,AD∥BC,AD⊥AB,AC与BD交于点O,过点O作平行于平面PAB的平面α.若平面α分别交PC,BC于点E,F,求△OEF的周长. 题组二　平面与平面平行的判定 7.(2025河北唐山滦南期中)平面α与平面β平行的充分条件是(　　) A.平面α内的任意一条直线都与平面β平行 B.直线n∥平面α,直线n∥平面β C.直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,且直线a∥平面β,直线b∥平面α D.平面α内有无数条直线都与平面β平行 8.(2025江西景德镇质检)设m,n表示两条不重合的直线,α,β表示两个不重合的平面,则下列说法正确的是(　　) A.若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥β B.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β C.若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m∥n D.若存在一对异面直线m,n,m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β 9.(2023黑龙江哈尔滨期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,R,Q,M,N,G,H均为所在棱的中点,则阴影平面与平面PQR平行的是(　　) 　　 　　 10.(2025山东济南平阴一中期中)如图,在四棱锥P-ABCE中,四边形ABCE是梯形,AB∥CE,且AB=3CE,点F在棱PA上,且EF∥平面PBC,则=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 11.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G,H分别为A1B1,AD,B1C1,C1D1的中点,则过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面的面积为　　(　　) A.　　B.2　　C.2　　D.4 12.(2025江西景德镇乐平中学月考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E,F分别是AB,A1B1,AA1的中点. (1)求证:平面A1DC∥平面BEC1; (2)求证:在BB1上存在一点P,使得平面EC1P∥平面DCF. 能力提升练 题组一　平面与平面平行的判定与性质的综合问题 1.(2025浙江G5联盟期中)若a,b表示两条不同的直线,α,β,γ表示三个不重合的平面,则下列说法中错误的是(　　) A.若α∥β,a∥α,a⊄β,则a∥β B.若α∥β,β∥γ,则α∥γ C.若a∥α,b∥β,a与b相交,则a∥β D.若α∩β=a,β∩γ=b,α∩γ=c,a∥b,则b∥c 2.(多选题)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,D,E,F,M,N分别是BC,B1C1,AA1,CC1,A1C的中点,则下列判断错误的是(　　) A.EF∥平面ADB1 B.A1M∥平面ADB1 C.平面EMN∥平面ADB1 D.平面A1EN∥平面ADB1 3.(2024山东枣庄期中)如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,Q是侧面BCC1B1内一点,若A1Q∥平面AEF,则线段A1Q长度的最大值与最小值之和为(　　) A.+　　B.　　C.　　D. 4.(2025江西九江十校联考)如图,在矩形ABCD中,AB=3AD=3,E在AB上且AE=,将△ADE沿DE折起到△FDE的位置,F∉平面BCDE,点G在线段CF上,若BG∥平面FDE,则的值等于　　　　.  5.(2023海南中学期中)如图,正三棱柱A1B1C1-ABC的底面边长是2,侧棱长是2,M为A1C1的中点,N是侧面BCC1B1上一点,且MN∥平面ABC1,则线段MN长度的最大值为　　　　.  6.如图,多面体ABCGDEF中,AB,AC,AD两两垂直,平面ABC∥平面DEFG,平面BEF∥平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1. (1)证明:四边形ABED是正方形; (2)判断点B,C,F,G是否共面,并说明理由. 7.(2024山东枣庄三中期中)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合). (1)求证:BC∥GH; (2)若E,F,G分别是AB,AC,A1B1的中点,求证:平面EFA1∥平面BCHG. 题组二　面面平行中的探索性问题 8.(2025吉林松原期中)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,AC,BD交于点O,E是棱PB上的一点,且PD∥平面EAC. (1)求证:E是PB的中点; (2)在棱BC上是否存在点G,使得平面EOG∥平面PCD?若存在,请加以证明,并求出的值;若不存在,请说明理由. 9.如图所示,矩形ABCD和矩形ABEF中,AF=AD,点M,N分别在AE,DB上,AM=DN,矩形ABEF可沿AB任意翻折. (1)求证:当F,A,D三点不共线时,线段MN总平行于平面FAD; (2)“不管怎样翻折矩形ABEF,线段MN总和线段FD平行.”这个结论对吗?如果对,请证明;如果不对,请说明能否改变个别已知条件,使上述结论成立. 答案与分层梯度式解析 4.2　平面与平面平行 基础过关练 1.B 2.B 7.A 8.D 9.D 10.B 11.C 1.B　由α∩γ=l,β∩γ=m,l∥m推不出α∥β,故充分性不成立;由面面平行的性质定理知必要性成立,故“l∥m”是“α∥β”的必要不充分条件. 2.B　因为平面α∥平面PBC,平面α∩平面ABD=m,平面PBC∩平面ABD=BP,所以m∥BP, 因为平面α∥平面PBC,平面α∩平面ACD=n,平面PBC∩平面ACD=PC,所以n∥PC, 所以m,n的夹角即为BP,PC的夹角,易知BP与PC的夹角为∠BPC(或其补角), 设正四面体A-BCD的棱长为2, 则BP=CP==, 在△PBC中,cos∠BPC===. 3.答案　9 解析　由平面α∥平面β,结合面面平行的性质定理,可得AC∥BD,所以∠PAC=∠PBD,∠PCA=∠PDB, 又∠APC=∠BPD,所以△PAC∽△PBD, 所以====, 又BD=12,所以AC=9. 4.答案　MN=AC 解析　∵平面MNE∥平面ACB1,平面MNE∩平面ABB1A1=EM,平面ACB1∩平面ABB1A1=B1A,平面MNE∩平面CBB1C1=EN,平面ACB1∩平面CBB1C1=B1C,∴EM∥B1A,EN∥B1C. ∴=,=, 又∵E为BB1的中点,∴M,N分别为BA,BC的中点, ∴MN=AC. 5.证明　如图,延长AB,DC交于点P,连接A1P, 因为AD∥BC,且AD=2BC,所以AB=BP, 又Q为BB1的中点,所以A1,Q,P三点共线,此时平面α与平面ABCD的交线为CD, 又平面ABCD∥平面A1B1C1D1,所以根据面面平行的性质定理可得,平面α与平面A1B1C1D1的交线平行于直线CD,即l∥CD. 6.解析　由题意可知,四边形ABCD是直角梯形, 所以△AOD∽△COB, 又AD=BC,所以AO=OC,OD=OB, 因为过点O作平行于平面PAB的平面α分别交PC,BC于点E,F,所以平面OEF∥平面PAB, 因为平面OEF∩平面PBC=EF,平面PBC∩平面PAB=PB,所以EF∥PB, 因为平面OEF∩平面PAC=OE,平面PAB∩平面PAC=PA,所以OE∥PA, 因为平面OEF∩平面ABC=OF,平面PAB∩平面ABC=AB,所以OF∥AB, 所以△PAB∽△EOF,且相似比为3∶2, 因为△PAB的周长为6,所以△OEF的周长为4. 7.A　对于A,因为平面α内的任意一条直线都与平面β平行,所以一定能找到两条相交的直线a,b,使得直线a∥平面β,直线b∥平面β,又直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,且a,b相交,所以由面面平行的判定定理可得α∥β,故A正确; 对于B,由图1可知,直线n∥平面α,直线n∥平面β,且直线n不在平面α内,也不在平面β内,但是平面α与平面β相交,故B错误; 对于C,由图2可知,直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,且直线a∥平面β,直线b∥平面α,但是平面α与平面β相交,故C错误; 对于D,由图3可知,平面α内只要与直线a平行的直线都与平面β平行,这样的直线有无数条,但是平面α与平面β相交,故D错误. 8.D　对于A,若m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥β或α与β相交,A错误; 对于B,若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β或α与β相交,B错误; 对于C,若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m∥n或m与n异面,C错误; 对于D,设过直线m的平面为γ,且γ∩β=l,由m∥β,得m∥l,又m⊂α,l⊄α,所以l∥α,由m,n是异面直线,n⊂β,得直线l与n相交,又n∥α,l⊂β,所以α∥β,D正确. 9.D　易得经过P,Q,R三点的平面即为平面PSRHNQ(S为AA1的中点),如图所示. 对于A,MC1与QN相交,所以A不符合; 对于B,C,点N在平面PQR上,所以B,C不符合; 对于D,因为A1C1∥RH,A1C1⊄平面PQR,RH⊂平面PQR,所以A1C1∥平面PQR,同理,BC1∥平面PQR, 又因为A1C1∩BC1=C1,A1C1,BC1⊂平面A1C1B, 所以平面A1C1B∥平面PQR,所以D符合. 10.B　过E作EG∥BC交AB于G,连接FG,如图所示. 因为EG∥BC,BC⊂平面PBC,EG⊄平面PBC, 所以EG∥平面PBC. 又因为EF∥平面PBC,EG∩EF=E,EG,EF⊂平面EFG, 所以平面EFG∥平面PBC. 又平面PAB∩平面EFG=FG,平面PAB∩平面PBC=PB,所以FG∥PB. 根据相似三角形的性质可得=. 因为EG∥BC,CE∥AB, 所以四边形BCEG为平行四边形,所以CE=EG. 又AB=3CE,所以AG=2BG,所以==. 11.C　取AB的中点P,BC的中点M,CD的中点N,连接FP,EP,MN,MG,NH,由正方体的结构特征可得MG∥NH,则四边形MGHN为平面图形. 又EP∥MG,MG⊂平面MGHN,EP⊄平面MGHN, ∴EP∥平面MGHN. ∵FP∥MN,MN⊂平面MGHN,FP⊄平面MGHN, ∴FP∥平面MGHN. ∵EP∩FP=P, ∴平面EFP∥平面MGHN, 又EF⊂平面EFP, ∴EF∥平面MGHN, ∴过GH且与EF平行的平面截正方体所得的截面为矩形MGHN. ∵MG=2,GH==,∴S矩形MGHN=2. 12.证明　(1)连接DE,由题意知,DB=A1E,DB∥A1E, 即四边形DBEA1为平行四边形,所以DA1∥BE, 又DA1⊄平面BEC1,BE⊂平面BEC1, 所以DA1∥平面BEC1. 同理,四边形DEC1C为平行四边形,所以CD∥EC1, 因为CD⊄平面BEC1,EC1⊂平面BEC1, 所以CD∥平面BEC1, 又CD∩DA1=D,CD,DA1⊂平面A1DC, 所以平面A1DC∥平面BEC1. (2)如图,取BB1的中点P,连接EP,PC1,A1B, 由(1)知CD∥EC1,因为E,P分别是A1B1,BB1的中点, 所以EP∥A1B,因为F,D分别为AA1,AB的中点, 所以FD∥A1B,所以EP∥FD, 又EP∩EC1=E,FD∩CD=D,EP,EC1⊂平面EC1P,FD,CD⊂平面DCF,所以平面EC1P∥平面DCF. 能力提升练 1.C 2.ABC 3.C 1.C　对于A,若α∥β,a∥α,a⊄β,则由面面平行的性质可知a∥β,故A中说法正确; 对于B,根据平行的传递性可知B中说法正确; 对于C,当满足a∥α,b∥β,a与b相交时,α,β可能相交, 如图所示,故C中说法错误; 对于D,∵a∥b,a⊄γ,b⊂γ,∴a∥γ,又a⊂α,且α∩γ=c,∴a∥c,∴b∥c,故D中说法正确. 2.ABC　连接AC1,ED,如图所示, 易得N为AC1的中点, 又E是B1C1的中点,所以EN∥AB1, 因为AB1⊂平面ADB1,EN⊄平面ADB1,所以EN∥平面ADB1. 因为四边形BCC1B1是平行四边形,D,E分别为BC,B1C1的中点,所以DE􀱀BB1􀱀AA1, 所以四边形ADEA1是平行四边形,所以A1E∥AD, 又AD⊂平面ADB1,A1E⊄平面ADB1,所以A1E∥平面ADB1, 又A1E,EN⊂平面A1EN,A1E∩EN=E, 所以平面A1EN∥平面ADB1,所以D中判断正确; 因为EF,A1M均与平面A1EN相交,所以EF,A1M均与平面ADB1相交,所以A,B中判断错误; 又MN∥AC,AC与平面ADB1相交,所以MN与平面ADB1也相交,所以C中判断错误. 3.C　分别取棱BB1,B1C1的中点M,N,连接A1M,A1N,MN,BC1,NE,如图所示, 则MN∥BC1,EF∥BC1,∴MN∥EF, 又MN⊄平面AEF,EF⊂平面AEF,∴MN∥平面AEF. 易知AA1∥NE,AA1=NE,∴四边形AENA1为平行四边形,∴A1N∥AE, 又A1N⊄平面AEF,AE⊂平面AEF,∴A1N∥平面AEF, 又A1N∩MN=N,A1N,MN⊂平面A1MN, ∴平面A1MN∥平面AEF, ∵Q是侧面BCC1B1内一点,且A1Q∥平面AEF, ∴Q必在线段MN上, 易得A1N=A1M==, 故△A1MN为等腰三角形, 则当Q为MN的中点时,A1Q⊥MN,A1Q最短,此时A1Q===, 当Q在M或N处时,A1Q最长, 此时A1Q=A1M=A1N=, 所以线段A1Q长度的最大值与最小值之和为+=. 解后反思 　　本题求线段长度的最值,解题的关键是利用A1Q∥平面AEF推测出点Q的轨迹,一般利用线面平行的性质或面面平行的性质来确定点 Q的轨迹,然后转化为平面问题求解. 4.答案　 解析　作BM∥DE交CD于M,连接GM,如图. 则四边形BEDM是平行四边形,故DM=BE=2,CM=, 因为BM∥DE,BM⊄平面FDE,DE⊂平面FDE, 所以BM∥平面FDE. 又BG∥平面FDE,BM∩BG=B,BM,BG⊂平面BGM, 所以平面FDE∥平面BGM. 又平面FDE∩平面FDC=FD,平面BGM∩平面FDC=GM,所以GM∥FD,所以==. 5.答案　2 解析　如图所示,取B1C1的中点D,BB1的中点E,连接MD,DE,ME. ∵D,M分别为B1C1,A1C1的中点,∴DM∥A1B1, 又在正三棱柱中,AB∥A1B1,∴DM∥AB, ∵DM⊄平面ABC1,AB⊂平面ABC1,∴DM∥平面ABC1, 同理可得DE∥平面ABC1, 又DM∩DE=D,DM,DE⊂平面DEM,∴平面DEM∥平面ABC1, 又平面DEM∩平面BCC1B1=DE,MN∥平面ABC1, ∴点N在线段DE上, 当点N在点E处时,线段MN最长. 连接MB1,则MB1=,ME===2,所以线段MN长度的最大值为2. 6.解析　(1)证明:因为平面ABC∥平面DEFG,平面ABED∩平面ABC=AB,平面ABED∩平面DEFG=DE, 所以AB∥DE. 同理AD∥BE,所以四边形ABED为平行四边形. 又AB⊥AD,AB=AD,所以四边形ABED是正方形. (2)点B,C,F,G共面.理由如下: 取DG的中点P,连接PA,PF. 因为平面BEF∥平面ADGC,平面EFGD∩平面BEF=EF,平面EFGD∩平面ADGC=DG, 所以EF∥DG,同理AC∥DG. 因为P为DG的中点,DG=2,EF=1, 所以EF􀱀PD,所以四边形EFPD为平行四边形, 所以DE∥PF且DE=PF. 又AB∥DE,AB=DE,所以AB∥PF且AB=PF, 所以四边形ABFP为平行四边形,所以AP∥BF. 因为P为DG的中点,所以PG=DG=1=AC, 又因为AC∥PG,所以四边形ACGP为平行四边形, 所以AP∥CG,所以BF∥CG.故B,C,F,G四点共面. 7.证明　(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面A1B1C1∥平面ABC,平面BCHG∩平面ABC=BC,平面BCHG∩平面A1B1C1=GH,故BC∥GH. (2)∵E,F,G分别是AB,AC,A1B1的中点, ∴A1G􀱀BE, ∴四边形BGA1E是平行四边形,∴A1E∥BG, ∵BG⊄平面A1EF,A1E⊂平面A1EF, ∴BG∥平面A1EF. 又EF∥BC,BC⊄平面A1EF,FE⊂平面A1EF, ∴BC∥平面A1EF. 又BG∩BC=B,BG,BC⊂平面BCHG, ∴平面EFA1∥平面BCHG. 方法技巧 　　要证面面平行,可转化为证线面平行,要证线面平行,可转化为证线线平行或面面平行,熟练掌握这种转化的思想方法,就能找到解题的突破口. 8.解析　(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是BD的中点,因为PD∥平面EAC,平面EAC∩平面PBD=EO,PD⊂平面PBD,所以PD∥EO,所以==,所以E是PB的中点. (2)在棱BC上存在点G,使得平面EOG∥平面PCD,此时=. 证明如下:取BC的中点M, 因为O是BD的中点,所以CD∥MO, 又CD⊂平面PCD,MO⊄平面PCD,所以MO∥平面PCD, 由(1)知PD∥EO,同理可得,EO∥平面PCD, 又EO∩MO=O,EO,MO⊂平面EOM, 所以平面EOM∥平面PCD, 所以点M即为所求的点G, 即=时,平面EOG∥平面PCD. 9.解析　(1)证明:在平面图形中,连接MN,设MN与AB交于点G.易知MG∥AF,NG∥AD. 当F,A,D三点不共线时,如图所示, 由翻折的性质知MG∥AF,NG∥AD. 又MG∩NG=G,AD∩AF=A,∴平面MGN∥平面FAD. 又MN⊂平面MGN,∴MN∥平面FAD. ∴当F,A,D三点不共线时,线段MN总平行于平面FAD. (2)结论不正确.要使结论成立,M,N应分别为AE,DB的中点. 理由:当F,A,D三点共线时,易证得MN∥FD. 当F,A,D三点不共线时, 由(1)知平面MNG∥平面FDA,则要使MN∥FD总成立,根据面面平行的性质定理知,只要FD与MN共面即可. 连接FM,要使FD与MN共面,只要FM与DN相交即可. ∵FM⊂平面ABEF,DN⊂平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD=AB, ∴若FM与DN相交,则交点只能为点B,此时M,N分别为AE,DB的中点. 由FM∩DN=B可知它们确定一个平面,即F,D,N,M四点共面. ∵平面FDNM∩平面MNG=MN,平面FDNM∩平面FDA=FD,平面MNG∥平面FDA,∴MN∥FD. 7 学科网（北京）股份有限公司 $