第6章 §4 4.2 平面与平面平行（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦平面与平面平行，涵盖性质定理、判定定理及其推广，课堂导入从线面平行过渡，通过性质定理（交线平行）到判定定理（相交线平行），结合知识辨析构建从基础到拓展的学习支架。 其亮点是融合图形与符号语言培养数学表达，通过比例计算典例和三棱柱探索性问题发展推理思维，知识辨析题助学生用数学眼光辨析空间关系。学生提升逻辑推理与空间观念，教师可直接用辨析题和典例优化教学。

4.2　平面与平面平行 必备知识 清单破 　平面与平面平行的性质定理 知识点 1 文字语言 图形语言 符号语言 两个平面平行,如果另一个平 面与这两个平面相交,那么两 条交线平行     ⇒a∥b 第六章　立体几何初步 高中同步 知识拓展 平面与平面平行的性质定理的推广: (1)若两个平面平行,则其中一个平面内的所有直线都与另一个平面平行. (2)夹在两平行平面间的两条平行线段相等. (3)如果两个不重合的平面都和第三个平面平行,那么这两个平面也互相平行. (4)经过平面外一点,有且仅有一个平面和已知平面平行. (5)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. 第六章　立体几何初步 高中同步 平面与平面平行的判定定理 知识点 2 文字语言 图形语言 符号语言 如果一个平面内的两条相交 直线与另一个平面平行,那么 这两个平面平行     ⇒α∥β 第六章　立体几何初步 高中同步 知识拓展 平面与平面平行的判定定理的推广: 文字语言 图形语言 符号语言 如果一个平面内的两条相交 直线分别与另一个平面内的 两条相交直线平行,那么这两 个平面平行    ⇒α∥β 第六章　立体几何初步 高中同步 知识辨析 1.若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行吗? 2.若α∥β,则平面α内的任意一条直线一定平行于平面β吗? 3.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m与n的位置关系如何? 4.若m⊂α,n⊂α,则“α∥β”是“m∥β,n∥β”的什么条件? 第六章　立体几何初步 高中同步 一语破的 1.不一定.在两个平面内分别平行的两条直线必须相交才能得到两个平面平行的结论. 2.一定. 3.平行或异面.由α∥β,m⊂α,n⊂β,可知m与n无公共点,所以m与n平行或异面. 4.充分不必要条件.若α∥β,则m∥β,n∥β;若m∥β,n∥β,则α,β可能平行,也可能相交,故α∥β不 一定成立.故“α∥β”是“m∥β,n∥β”的充分不必要条件. 第六章　立体几何初步 高中同步 关键能力 定点破 　平面与平面平行的性质定理  定点 1 1.应用平面与平面平行的性质定理时,往往需要“作”或“找”辅助平面,且使辅助平面尽量 与已知量联系起来. 2.利用平面与平面平行的性质定理可得到线线平行,从而实现由面面平行向线线平行的转化. 3.与平行相关的计算问题主要涉及线段的长度或平面图形面积的计算,一般根据面面平行、 线面平行推出线线平行,再根据线段的比例关系或平面图形的相似(或全等)关系求解. 第六章　立体几何初步 高中同步 4.应用平面与平面平行的性质定理的基本步骤:   第六章　立体几何初步 高中同步 典例 已知平面α∥平面β,P是α,β外一点,过点P的直线m与α,β分别交于点A,B,过点P的直线n与 α,β分别交于点C,D,且PA=6,AB=9,PD=8,求CD的长. 解析    ∵PB∩PD=P, ∴直线PB和PD 确定一个平面,记为γ, 则α∩γ=AC,β∩γ=BD,∵α∥β,∴AC∥BD. 当点P位于平面α,β同侧时,如图①, = , ∴ = ,解得CD= ;        第六章　立体几何初步 高中同步 当点P位于平面α,β之间时,如图②, = , ∴ = ,解得CD=24. 综上,CD= 或CD=24. 第六章　立体几何初步 高中同步 　平面与平面平行的判定定理  判定平面与平面平行的常用方法 (1)利用定义:两个平面没有公共点. (2)利用判定定理:证明其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行. (3)转化为线线平行:若平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行,则α∥β. (4)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ. 定点 2 第六章　立体几何初步 高中同步 典例 已知点P是△ABC所在平面外一点,点A',B',C'分别是△PBC,△PAC,△PAB的重心. (1)求证:平面A'B'C'∥平面ABC; (2)求A'B'∶AB的值.   第六章　立体几何初步 高中同步 解析    (1)证明:如图,连接PA'并延长,交BC于点M,连接PB'并延长,交AC于点N,连接PC'并延长, 交AB于点Q,连接MN,NQ.   ∵A',B'分别是△PBC,△PAC的重心, ∴ = =2,∴A'B'∥MN. ∵MN⊂平面ABC,A'B'⊄平面ABC, ∴A'B'∥平面ABC. 同理可证B'C'∥平面ABC. 第六章　立体几何初步 高中同步 又∵A'B'∩B'C'=B',A'B'⊂平面A'B'C',B'C'⊂平面A'B'C',∴平面A'B'C'∥平面ABC. (2)由(1)知A'B'∥MN, ∴ = = ,即A'B'= MN. ∵M,N分别是BC,AC的中点,∴MN= AB. ∴A'B'= MN= × AB= AB, ∴ = ,即A'B'∶AB的值为 . 第六章　立体几何初步 高中同步 　面面平行的探索性问题  面面平行的探索性问题一般是在某条直线上确定一点(一般先考虑它是不是特殊点,如中 点、三等分点、端点等),使过该点的平面平行于一个固定平面,主要考查空间想象能力,求解 此类问题要注意逆向推理,也要注意直线与平面平行的性质定理和判定定理的交替使用.线 线平行、线面平行、面面平行相互转化.其相互转化关系如图所示:   定点 3 第六章　立体几何初步 高中同步 典例 在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AC的中点,D1是A1C1上的一点.当 等于何值时,平面BC1D ∥平面AB1D1?   第六章　立体几何初步 高中同步 解析    当 =1时,平面BC1D∥平面AB1D1. 理由如下:如图,连接A1B,交AB1于点O,连接OD1,   由棱柱的性质可知四边形A1ABB1为平行四边形,∴O为A1B的中点. 在△A1BC1中,O,D1分别为A1B,A1C1的中点, ∴OD1∥BC1. ∵OD1⊂平面AB1D1,BC1⊄平面AB1D1, 第六章　立体几何初步 高中同步 ∴BC1∥平面AB1D1. 易知AD∥D1C1,且AD=D1C1, ∴四边形ADC1D1是平行四边形,∴AD1∥DC1. ∵DC1⊄平面AB1D1,AD1⊂平面AB1D1, ∴DC1∥平面AB1D1. 又BC1⊂平面BC1D,DC1⊂平面BC1D,DC1∩BC1=C1,∴平面BC1D∥平面AB1D1. 即当 =1时,平面BC1D∥平面AB1D1. 第六章　立体几何初步 高中同步 $