第6章 §3 空间点、直线、平面之间的位置关系（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件系统梳理空间点、直线、平面的位置关系，涵盖公理及推论、等角定理、异面直线夹角等核心知识，通过从平面几何到立体几何的过渡，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生构建空间观念。 其亮点在于采用表格对比文字、符号、图形语言，结合正方体等模型直观分析，培养数学眼光与思维。通过公理推理、典例证明等环节，提升学生逻辑推理与表达能力，教师可借助资料系统教学，学生能深化空间理解与问题解决能力。

§3　空间点、直线、平面之间的位置关系 空间图形的基本位置关系 必备知识 清单破 知识点 1 1.空间点与直线的位置关系 文字语言 符号语言 图形语言 点A在直线l上 A∈l   点A在直线l外 A∉l   第六章　立体几何初步 高中同步 2.空间点与平面的位置关系 文字语言 符号语言 图形语言 点A在平面α内 A∈α   点A在平面α外 A∉α   第六章　立体几何初步 高中同步 3.空间直线与直线的位置关系 位置关系 文字语言 符号语言 图形语言 平行 直线a与b在同一平面 内,但没有公共点 a∥b   相交 直线b和c在同一平面 内,有且只有一个公 共点 b∩c=B   异面 直线a与c不同在任何 一个平面内,没有公 共点 ——   第六章　立体几何初步 高中同步 4.空间直线与平面的位置关系 位置关系 文字语言 符号语言 图形语言 直线l在平面α内 直线l上的每个点都 在平面α内 l⊂α   直线l与平面α相交 直线l与平面α只有一 个公共点 l∩α=A   直线l与平面α平行 直线l与平面α没有公 共点 l∥α或 l∩α=⌀   第六章　立体几何初步 高中同步 5.两个不重合的平面的位置关系 位置关系 文字语言 符号语言 图形语言 平行 平面α与平面β没有公 共点 α∥β或 α∩β=⌀   相交 平面α与平面β不重 合,但有公共点 α∩β=l   第六章　立体几何初步 高中同步 空间图形位置关系的公理 知识点 2 1.刻画空间点、线、面位置关系的公理 公理类别 文字语言 符号语言 图形语言 基本 事实1 过不在一条直线上的 三个点,有且只有一 个平面(即只可以确 定一个平面) A,B,C三点不共线⇒ 有且只有一个平面α, 使A∈α,B∈α,C∈α   基本 事实2 如果一条直线上的两 个点在一个平面内, 那么这条直线在这个 平面内 A∈l,B∈l,且A∈α,B ∈α⇒l⊂α   第六章　立体几何初步 高中同步 基本 事实3 如果两个不重合的平 面有一个公共点,那 么它们有且只有一条 过该点的公共直线 P∈α,P∈β⇒α∩β=l, 且P∈l   基本 事实4 平行于同一条直线的 两条直线互相平行 (空间平行线的传递 性) a∥b,b∥c⇒a∥c   第六章　立体几何初步 高中同步 2.基本事实1,2的三个推论 推论1:一条直线和该直线外一点确定一个平面. 推论2:两条相交直线确定一个平面. 推论3:两条平行直线确定一个平面. 基本事实1及以上推论给出了确定平面的依据. 第六章　立体几何初步 高中同步 　等角定理 知识点 3 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补 符号语言 在∠AOB和∠A'O'B'中,OA∥O'A',OB∥O'B' ⇒∠A'O'B'=∠AOB或∠A'O'B'+∠AOB=180° 图形语言   作用 判定(或证明)两个角相等或互补 第六章　立体几何初步 高中同步 　异面直线的夹角 知识点 4 定义 前提 两条直线a,b异面 作法 过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b 结论 我们把a'与b'所成的不大于90°的角称为异面直线a,b的夹角 范围 记异面直线a与b的夹角为θ,则θ的取值范围是0°<θ≤90° 特殊情况 当θ=90°时,a与b互相垂直,记作:a⊥b 第六章　立体几何初步 高中同步 知识辨析 1.空间中任意三点都可以确定一个平面,这种说法对吗? 2.在空间中,三条直线l,m,n两两相交,那么直线l,m,n一定共面吗? 3.若两个平面有三个公共点,则这两个平面一定重合吗? 4.如果空间中两个角的两边分别对应平行,那么这两个角一定相等,对吗? 5.若a,b是两条异面直线,那么与a,b都相交的两条直线也是异面直线吗? 第六章　立体几何初步 高中同步 一语破的 1.不对.空间中不共线的三点可以确定一个平面. 2.不一定.当l,m,n相交于同一点时,l,m,n不一定共面. 3.不一定.若这三个点共线,那么这两个平面可能相交. 4.不对.这两个角相等或互补. 5.不一定.与异面直线a,b都相交的两条直线可能相交.如在a上取一点A,在b上取点B,C,连接 AB,AC,则AB与AC相交于点A,并非异面直线.关键能力定点破 第六章　立体几何初步 高中同步 空间中直线、平面位置关系的判断  判断空间中直线、平面的位置关系,一般先作出几何图形,直观判断,然后依据基本事实或推 论给出严格推理.另外,借助模型(如长方体)举反例也是解决这类问题的有效方法. 定点 1 关键能力 定点破 第六章　立体几何初步 高中同步 典例 下列命题中正确的是 (　    ) A.如果a,b是两条平行直线,那么a平行于经过b的任何一个平面 B.如果直线a和平面α满足a∥α,那么a平行于平面α内的任何一条直线 C.如果直线a,b满足a∥α,b∥α,那么a∥b D.如果直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,那么b∥α D 第六章　立体几何初步 高中同步 解析    如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AA'∥BB',但AA'在过BB'的平面AB'内,故A不正确;   AA'∥平面B'C,BC⊂平面B'C,但AA'与BC不平行,故B不正确; AA'∥平面B'C,A'D'∥平面B'C,但AA'与A'D'相交,故C不正确; 对于D,假设b与α相交,因为a∥b,所以a与α相交,这与a∥α矛盾,故b∥α,故D正确. 第六章　立体几何初步 高中同步 　共点、共线、共面问题  定点 2 1.点、线共面问题 解决点、线共面问题的主要依据是基本事实1、基本事实2及两者的推论.常用方法如下: (1)纳入平面法:先由部分元素确定一个平面,再证其他元素也在该平面内; (2)辅助平面法(平面重合法):先由部分元素确定平面α,再由其余元素确定平面β,最后证明平 面α,β重合; (3)反证法:先假设不共面,再结合题设推出矛盾. 注意:在遇到文字叙述的结论时,一定要先根据题意画出图形,结合图形确定已知与求证,再证 明. 第六章　立体几何初步 高中同步 2.点共线问题 解决点共线问题的常用方法: (1)首先找出两个平面,然后证明这些点都是这两个平面的公共点,从而根据基本事实3知,这 些点都在这两个平面的交线上; (2)选择其中两点,确定一条直线,然后证明其他点也在这条直线上. 3.线共点问题 证明三线共点问题的基本方法:先确定待证的三条直线中的两条相交于一点,再证明第三条 直线也过该点.常利用基本事实3证出该点在不重合的两个平面内,故该点在它们的交线(第 三条直线)上,从而证明三线共点. 第六章　立体几何初步 高中同步 典例1 如图所示,已知l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:l1,l2,l3在同一平面内.   第六章　立体几何初步 高中同步 证明    证法一(纳入平面法): ∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面,设为α. ∵l2∩l3=B,∴B∈l2. 又∵l2⊂α,∴B∈α. 同理可证C∈α. ∵B∈l3,C∈l3,∴l3⊂α. ∴直线l1,l2,l3在同一平面内. 证法二(辅助平面法): ∵l1∩l2=A,∴l1,l2确定一个平面,设为α. ∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面,设为β. ∵A∈l2,l2⊂α,∴A∈α. 第六章　立体几何初步 高中同步 ∵A∈l2,l2⊂β,∴A∈β. 同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β. ∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内, 又在平面β内,∴平面α和平面β重合, 即直线l1,l2,l3在同一平面内. 第六章　立体几何初步 高中同步 典例2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC与BD交于点M,E 为AB的中点,F为AA1的中点.求证: (1)C1,O,M三点共线; (2)E,C,D1,F四点共面.   第六章　立体几何初步 高中同步 证明    (1)由题意得C1,O,M∈平面BDC1,因为M∈AC,O∈A1C,C1∈CC1,AC,A1C,CC1⊂平面ACC 1A1, 所以C1,O,M∈平面ACC1A1, 由基本事实3可得,点C1,O,M在平面BDC1和平面ACC1A1的交线上, 所以C1,O,M三点共线. (2)连接EF,A1B,CD1,如图,   因为E,F分别为AB,AA1的中点, 第六章　立体几何初步 高中同步 所以EF∥A1B, 又在正方体ABCD-A1B1C1D1中,D1C∥A1B, 所以EF∥D1C, 因为两平行直线可确定一个平面, 所以E,C,D1,F四点共面. 第六章　立体几何初步 高中同步 　平行线的传递性及等角定理  定点 3 1.空间两条直线平行的证明方法 (1)利用定义,即证明两条直线在同一个平面内且两条直线没有公共点; (2)利用平面几何知识(三角形、梯形的中位线定理,平行四边形的性质,平行线分线段成比例 定理等)证明; (3)利用平行线的传递性,即找到第三条直线c,使a∥c,b∥c,从而得到a∥b. 2.利用等角定理证明两角相等的步骤 (1)证明两条边分别对应平行; (2)证明对应边的方向都相同或都相反. 第六章　立体几何初步 高中同步 典例 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别为棱AD,AB,B1C1,C1D1的中点.求证:∠EA1 F=∠E1CF1.   第六章　立体几何初步 高中同步 证明    如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取A1B1的中点M,连接BM,MF1,则BF=A1M= AB. ∵BF∥A1M, ∴四边形A1FBM为平行四边形, ∴A1F∥BM. ∵F1,M分别为C1D1,A1B1的中点, ∴F1M􀱀C1B1. 又∵C1B1􀱀BC,∴F1M􀱀BC, ∴四边形F1MBC为平行四边形, ∴BM∥CF1. 又∵BM∥A1F,∴A1F∥CF1. 同理,取A1D1的中点N,连接DN,E1N,则有A1E∥CE1. 第六章　立体几何初步 高中同步 ∴∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行,且方向都相反, ∴∠EA1F=∠E1CF1.   第六章　立体几何初步 高中同步 异面直线的夹角  定点 4 1.对异面直线定义的理解 (1)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线,如图①,虽然a⊂α,b⊂β,即a,b分别 在两个不同的平面内,但是a∩b=O,所以a与b不是异面直线.  图①     图② (2)异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线.注意异面直线定义中“任何”两字,它指 空间中的所有平面,因此异面直线也可以理解为在空间中找不到一个平面,使其同时经过a,b 两条直线.如图②所示的长方体ABCD-A'B'C'D'中,棱AB和B'C'所在的直线既不平行也不相交, 找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线. 第六章　立体几何初步 高中同步 2.求异面直线的夹角的一般步骤 (1)构造:选择一个恰当的点,用平移法(或补形法)构造异面直线的夹角(或其补角); (2)证明:证明(1)中所构造的角(或其补角)就是所求异面直线的夹角; (3)计算:通过解三角形或其他方法,求出(1)中所构造的角的大小; (4)得结论:设所构造的角为α,若0°<α≤90°,则α即为所求异面直线的夹角;若90°<α<180°,则18 0°-α即为所求异面直线的夹角. 第六章　立体几何初步 高中同步 典例 如图所示,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求异面直线DB1与EF 的夹角的大小.   第六章　立体几何初步 高中同步 解析    解法一:如图,连接A1C1,B1D1,设A1C1∩B1D1=O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G,则OG ∥B1D,   因为E,F分别是A1B1,B1C1的中点, 所以EF∥A1C1, 则∠GOA1(或其补角)即为异面直线DB1与EF的夹角. 因为GA1=GC1,O为A1C1的中点, 所以GO⊥A1C1, 第六章　立体几何初步 高中同步 所以∠GOA1=90°, 所以异面直线DB1与EF的夹角为90°. 解法二:如图,连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,HF,   则HE∥DB1,且HE= DB1, 故∠HEF(或其补角)即为异面直线DB1与EF的夹角. 设正方体的棱长为1,则EF= ,HE= . 取A1D1的中点I,连接HI,IF, 第六章　立体几何初步 高中同步 则HI⊥IF,HI= ,IF=1. 所以HF2=HI2+IF2= , 所以HF2=EF2+HE2, 所以∠HEF=90°, 所以异面直线DB1与EF的夹角为90°. 解法三:如图所示,在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接DQ,B1Q,   第六章　立体几何初步 高中同步 易知B1Q∥EF, 故∠DB1Q(或其补角)即为异面直线DB1与EF的夹角. 设原正方体的棱长为1, 则B1D= ,B1Q= ,DQ= , 故B1D2+B1Q2=DQ2, 所以∠DB1Q=90°, 故异面直线DB1与EF的夹角为90°. 解法四:如图所示,分别取AA1,CC1的中点M,N,连接MN,DM,DN,B1N,B1M,   第六章　立体几何初步 高中同步 易知MN∥EF.则B1N=ND=DM=MB1, 所以四边形DMB1N为菱形, 所以MN⊥DB1, 设垂足为P,则∠DPM(或其补角)即为异面直线DB1与EF的夹角. 所以异面直线DB1与EF的夹角为90°. 第六章　立体几何初步 高中同步 $