第4章 §2 2.3 三角函数的叠加及其应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

2.3　三角函数的叠加及其应用 基础过关练 题组一　利用三角函数的叠加求值 1. (多选题)(2025甘肃嘉峪关第一中学月考)若a=cos 15°- sin 15°,b=,c=sin 105°cos 15°-cos 75°sin 15°,则(　　) A.c<a　　B.b<a　　C.b<c　　D.a<c 2.(2025山东临沂第一中学月考)已知sin α+sin=,则sin的值是(　　) A.-　　B.　　C.　　D.- 3.(2023陕西西安鄠邑期末)等式sin α+cos α=有意义,则m的取值范围是　　　　.  4.(2025江苏扬州大学附属中学期中)已知sin θ-cos θ=,θ∈,则cos=　　　　.  5.(2024江西九江期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,单位圆O与x轴非负半轴的交点为A,点B,C在单位圆上,且满足∠AOB=α,∠AOC=β,α,β∈[0,π]. (1)若B,求cos的值; (2)若α=,求·的取值范围. 题组二　三角函数的叠加在函数中的应用 6.(2024江西南昌第十九中学等校期末调研)已知函数f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)是奇函数,则tan φ=(　　) A.　　B.-　　C.　　D.- 7.(2025江西多校联考)已知函数f(x)=sin x+acos x的图象关于点对称,则f(x)的最大值为(　　) A.1　　B.2　　C.　　D. 8.(2025广东湛江阶段测试)若函数f(x)=3sin x+2cos x在[0,α]上单调递增,则当α取得最大值时,cos α=(　　) A.-　　B.-　　C.　　D. 9.(2024广东深圳期末)已知函数f(x)=sin-cos 2x,x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)图象的对称轴方程; (3)求函数f(x)在上的单调区间. 能力提升练 题组　三角函数叠加的综合应用 1.(2023江苏无锡江阴高级中学期末)已知函数f(x)=sin x+cos x的定义域为[a,b],值域为[-1,],则b-a的取值范围是(　　) A.　　B. C.　　D. 2.(多选题)(2024河北沧州献县实验中学月考)已知向量a=(cos θ, sin θ),b=(-3,4),则(　　) A.若a∥b,则tan θ=- B.若a⊥b,则sin θ= C.|a-b|的最大值为5 D.若a·(a-b)=0,则|a-b|=2 3.(2025上海华东师范大学附属周浦中学月考)若等式cos θ- msin θ=2有意义,则实数m的取值范围为　　　　　　　　.  4.(2025江苏南京外国语学校期中)函数f(x)=,x∈的值域为　　　　.  5.(2024江西多校教学质量检测)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,AD=DC=AB=1,且AB⊥AD,点P是以A为圆心,AD的长为半径的圆上一点,若=x+y(x,y∈R),则3x+y的最小值为　　　　.  6.(2024江西重点中学协作体期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A为单位圆与x轴正半轴的交点,点M为单位圆上的一点,且∠AOM=,点M沿单位圆按逆时针方向旋转θ角后到点N(a,b). (1)当θ=时,求a+b的值; (2)若θ∈,求b-a的取值范围. 7. (2025湖北武汉新洲部分学校期中)已知直线x=t分别与曲线y= sin x和曲线y=cos(x+φ)相交于点M,N. (1)若φ=0,求|MN|的最大值; (2)若|MN|的最大值为,求φ的值. 答案与分层梯度式解析 2.3　三角函数的叠加及其应用 基础过关练 1.BCD 2.D 6.D 7.D 8.D 1. BCD　a=cos 15°-sin 15°=cos 15°- sin 15°=cos(45°+15°)=cos 60°=, c=sin 105°cos 15°-cos 75°sin 15°=sin 75°cos 15°-cos 75°· sin 15°=sin(75°-15°)=sin 60°=, 又b=,所以b<a<c. 2. D　由sin α+sin=可得sin α+sin αcos +cos αsin = sin α+cos α=sin=,即sin=, 因此sin=sin=-sin=-. 3.答案　 解析　sin α+cos α=2=2sinα+∈[-2,2],则≤2, 即|4m-6|≤2|4-m|①,且m≠4, 对①式化简,得|2m-3|≤|4-m|,两边平方得4m2-12m+9≤m2-8m+16,即3m2-4m-7≤0, 解得-1≤m≤. 4.答案　 解析　因为sin θ-cos θ=,即2sin θ-cos θ=,所以2sin=,即sin=, 因为θ∈,所以θ-∈, 所以cos==. 5.解析　(1)∵B,∴sin α=,cos α=-, ∴cos=cos αcos +sin αsin =-×+×=. (2)·=(-)·(-)=·-·-·+, ∵||=||=||=1,∠AOB=,∠AOC=β, ∴·=cos-cos β-cos+1 =-cos β-cos β-sin β=-sin, ∵β∈[0,π],∴β+∈, ∴sinβ+∈,∴·∈. 6.D　f(x)=sin(x+φ)+cos(x+φ)=2sin, 因为f(x)为奇函数,所以φ+=kπ,k∈Z, 解得φ=-+kπ,k∈Z,所以tan φ=-tan=-. 7.D　由题意,得f=+a=0,解得a=-, 所以f(x)=sin x-cos x=sin, 故当x-=+2kπ,k∈Z,即x=+2kπ,k∈Z时,f(x)取得最大值,为. 8.D　f(x)=3sin x+2cos x=sin(x+φ), 其中sin φ=,cos φ=,且φ为锐角, 因为f(x)在[0,α]上单调递增,且φ+α∈(φ,φ+α],φ为锐角,所以(φ,φ+α]⊆,则α的最大值为-φ, 此时cos α=cos=sin φ=. 9.解析　(1)f(x)=sin-cos 2x=sin 2x-cos 2x-cos 2x=sin 2x-cos 2x=sin, 所以函数f(x)的最小正周期T==π. (2)由(1)知,f(x)=sin,由2x-=kπ-,k∈Z,得x=-,k∈Z, 所以f(x)图象的对称轴方程是x=-(k∈Z). (3)由(1)知,f(x)=sin, 当x∈时,2x-∈, 由-≤2x-≤,解得0≤x≤, 由≤2x-≤,解得≤x≤, 所以函数f(x)在上的单调递增区间是,单调递减区间是. 能力提升练 1.D　f(x)=sin x+cos x=sin, 因为x∈[a,b],所以x+∈, 令t=x+,则t∈,结合函数y=sin t在一个周期内的图象可知,(b-a)max=-=,(b-a)min=-=,所以b-a的取值范围是. 2.AD　因为a=(cos θ,sin θ),b=(-3,4), 所以|a|==1,|b|==5. 对于A,若a∥b,则4cos θ=-3sin θ,所以tan θ=-,故A正确; 对于B,若a⊥b,则a·b=-3cos θ+4sin θ=0, 所以tan θ=, 由解得或 故B错误; 对于C,|a-b|== ==, 其中tan φ=, 当sin(θ-φ)=-1时,|a-b|取得最大值6,故C错误; 对于D,若a·(a-b)=0,则a2-a·b=0, 即1+3cos θ-4sin θ=0,所以4sin θ-3cos θ=1, 所以|a-b|== ===2,故D正确. 3.答案　(-∞,-1]∪[1,+∞) 解析　由cos θ-msin θ=2, 得=2, 设=cos φ,=sin φ, 则(cos φcos θ-sin φsin θ)=2, 所以cos(θ+φ)=2,即cos(θ+φ)=, 因为-1≤cos(θ+φ)≤1,所以-1≤≤1, 所以≥2,即m2≥1,解得m≤-1或m≥1, 所以实数m的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞). 4.答案　 解析　令t=sin x+cos x=sin,则t2=(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x,即sin xcos x=. ∵x∈,∴x+∈,∴t=sin∈[1,], ∴函数f(x)=等价于g(t)==,由t∈[1,]知g(t)∈, 故函数f(x)=,x∈的值域为. 5.答案　- 解析　以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建立平面直角坐标系,如图所示. 则B(2,0),C(1,1),A(0,0),设P(cos θ,sin θ),θ∈[0,2π), 则=(cos θ,sin θ),=(2,0),=(1,1), 又=x+y, 所以(cos θ,sin θ)=x(1,1)+y(2,0)=(x+2y,x), 即x+2y=cos θ,x=sin θ,则y=, 所以3x+y=3sin θ+=sin θ+cos θ=sin(θ+φ),其中cos φ=,sin φ=, 所以(3x+y)min=-,此时sin(θ+φ)=-1, 故3x+y的最小值为-. 6.解析　(1)由题意得M,Ncos+θ,sin+θ, 当θ=时,N,即a=cos π,b=sin π, ∴a+b=cos π+sin π=- =-sin π=-. (2)由(1)知a=cos,b=sin, 则b-a=sin-cos=sin, ∵θ∈,∴θ+∈, ∴-≤sin≤1,则-≤sin≤, 故b-a的取值范围为. 7.解析　(1)当φ=0时,|MN|=|yM-yN|=|sin t- cos t|=sin=sin≤, 当且仅当t-=kπ+(k∈Z),即t=kπ+(k∈Z)时取等号,所以|MN|的最大值为. (2) sin t-cos(t+φ)=sin t-cos tcos φ+sin tsin φ=(1+sin φ)sin t- cos φcos t=sin(t+θ) =sin(t+θ),其中tan θ=, 所以|MN|=|yM-yN|=|sin t-cos(t+φ)|=|sin(t+θ)|≤, 当且仅当t+θ=kπ+(k∈Z)时取等号, 依题意知=,所以sin φ=,所以φ=2kπ+(k∈Z)或φ=2kπ+(k∈Z). 7 学科网（北京）股份有限公司 $