第4章 §2 2.1 两角和与差的余弦公式及其应用（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

§2　两角和与差的三角函数公式 2.1　两角和与差的余弦公式及其应用 基础过关练 题组一　对两角和与差的余弦公式的理解 1.下列结论中正确的是(　　) A.对任意角α,β,有cos(α-β)=cos α-cos β B.对任意角α,β,有cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β C.存在角α,β,使cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β成立 D.不存在角α,β,使cos(α+β)=cos α+cos β成立　　 　　　　 2.满足sin αsin β=-cos αcos β的一组值可能是(　　) A.α=β=90°　　B.α=130°,β=40° C.α=18°,β=72°　　D.α=140°,β=40° 3.(2025江西赣州期末)cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α等于(　　) A.sin(2α-β)　　B.cos(2α-β)　　 C.cos β　　D.-cos β 题组二　给角求值问题 4.(2025辽宁沈阳第二中学月考)cos 255°的值是(　　) A.　　B. C.　　D.- 5.(2025湖北黄冈黄梅月考)cos 87°sin 33°+sin 87°sin 57°=(　　) A.-　　B.　　C.　　D. 6.(2025江苏连云港东海期中)的值为　　　　.  7.(1)求sin 245°sin 125°+sin 155°sin 35°的值; (2)求cos 15°+sin 15°的值. 题组三　给值求值问题 8.(2025江苏淮安涟水一中月考)已知α∈,cos α=,则cos的值为(　　) A.　　B. C.-　　D.或- 9.(2025湖北部分高中期中联考)已知0<β<α<,sin(α-β)=,sin β=,则cos α=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 10.(2024江西南昌外国语学校月考)已知cos=,cos=,α,β∈,则cos(α+β)=(　　) A.　　B.　　C.　　D. 11.在△ABC中,若sin A=,cos B=,则cos C=(　　) A.　　B.　　 C.或　　D.- 12.(2025四川内江第一中学月考)已知sin=,<α<,则cos α的值为(　　) A.-　　B.-　　C.　　D. 13.(多选题)(2025湖北宜昌第一中学等四校联考)已知cos αcos β=,cos(α+β)=,则(　　) A.sin αsin β=　　B.cos(α-β)= C.tan αtan β=　　D.cos(α-β)= 题组四　给值求角问题 14.若cos αcos β=-sin αsin β,且α∈,β∈,则α-β等于(　　) A.-　　B.-　　 C.　　D. 15.(2024江西南昌第二中学月考)已知α,β都是锐角,且cos α=,cos β=,则α+β=(　　) A.　　B.　　 C.或　　D.或 16.(2024吉林长春东北师大附中模拟)已知cos 2α=-,sin(α+β)=-,α∈,β∈,则α-β=(　　) A.　　B.　　C.　　D.或 17.(2024江苏南京六校联合体期中)已知cos α=,α∈. (1)求cos的值; (2)若sin(α+β)=-,β∈,求β. 答案与分层梯度式解析 §2　两角和与差的三角函数公式 2.1　两角和与差的余弦公式及其应用 基础过关练 1.C 2.B 3.C 4.C 5.D 8.C 9.C 10.D 11.A 12.B 13.ACD 14.A 15.B 16.B 1.C　A,B显然不正确;当α=0时,有cos(α-β)=cos αcos β-sin αsin β成立,故C正确;当α=,β=-时,cos(α+β)=cos α+cos β成立,故D不正确. 2.B　由sin αsin β=-cos αcos β可得cos(α-β)=0,因此α-β=k·180°+90°,k∈Z,只有B选项符合. 3.C　cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α=cos[(α-β)-α]=cos(-β)=cos β. 4.C　cos 255°=cos(180°+75°)=-cos 75°=-cos(30°+45°) =-(cos 30°cos 45°-sin 30°sin 45°) =-=-=. 5. D　cos 87°sin 33°+sin 87°sin 57°=cos 87°sin(90°-57°)+ sin 87°sin 57°=cos 87°cos 57°+sin 87°sin 57°=cos(87°-57°) =cos 30°=. 6.答案　1 解析　= == ==1. 7.解析　(1)原式=sin(270°-25°)·sin(90°+35°)+sin(180°-25°)·sin 35°=-cos 25°·cos 35°+sin 25°·sin 35°=-cos(25°+35°)=-cos 60°=-. (2)cos 15°+sin 15°=cos 60°cos 15°+sin 60°·sin 15°=cos(60°-15°)=cos 45°=. 8.C　由α∈,cos α=, 可得sin α==, 故cos=cos αcos -sin αsin =×-×=-. 9.C　因为0<β<α<,所以0<α-β<, 又因为sin(α-β)=,sin β=,所以cos(α-β)==,cos β==, 所以cos α=cos[(α-β)+β]=cos(α-β)cos β-sin(α-β)·sin β=×-×=. 10.D　∵α,β∈,∴α+∈,β-∈,∴sin>0,sin<0, ∴sin==, sin=-=-, ∴cos(α+β)=cos =coscos-sinsin =×-×=. 11.A　因为A,B,C为△ABC的内角, 所以A,B,C∈(0,π). 因为cos B=,所以sin B==,则sin A<sin B,又A+B<π,所以A<B,所以A∈. 因为sin A=,所以cos A==, 所以cos C=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B) =sin Asin B-cos Acos B=×-×=. 12.B　因为<α<,所以<α+<π, 又因为sin=, 所以cos=-=-, 所以cos α=cos-=coscos +sinsin =-×+×=-. 13. ACD　由cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,且cos αcos β=, 得sin αsin β=,故A正确; cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=+=,故B错误,D正确; tan αtan β===,故C正确. 14.A　因为cos αcos β=-sin αsin β,所以cos αcos β+sin αsin β=,即cos(α-β)=, 又α∈,β∈,所以α-β∈(-π,0), 所以α-β=-. 15.B　由题意得sin α=,sin β=, ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=-,又α+β∈(0,π),∴α+β=. 16.B　因为α∈,β∈, 所以2α∈[0,π],α+β∈,α-β∈[0,π], 所以sin 2α===, cos(α+β)===, 故cos(α-β)=cos [2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+ sin 2αsin(α+β)=×+×=-, 又因为α-β∈[0,π],所以α-β=. 17.解析　(1)由题意可得sin α=-, ∴cos=cos αcos +sin αsin =×+×=. (2)由α∈,β∈,可得α+β∈, ∴cos(α+β)==, 则cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)· sin α=×+×=, ∵β∈,∴β=. 方法总结 　　利用两角和与差的余弦公式解决“给值求值”“给值求角”问题的具体策略: (1)当已知三角函数值的角有两个时,所求角一般表示为这两个角的和或差的形式; (2)当已知三角函数值的角只有一个时,应着眼于所求角与该角的和或差的关系,然后应用诱导公式把所求角转化为已知角. 7 学科网（北京）股份有限公司 $