第2章 §6 6.2 平面向量在几何物理中的应用举例（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件围绕平面向量在几何证明（线段相等、平行、垂直、夹角）与物理应用（力、速度、位移等）展开，通过知识辨析（如向量平行与直线平行的区别）导入，衔接向量概念与运算，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点在于结合典例（正方形中证明垂直、渡河问题、珠峰高程测量），发展数学眼光（抽象现实问题为向量模型）和数学思维（逻辑推理与运算），采用问题辨析与实例解析结合的教学方法。学生能提升建模与运算能力，教师可直接使用案例优化教学。

6.2　平面向量在几何、物理中的应用举例 必备知识 清单破 向量在几何证明中的应用 知识点 1 1.证明线段相等,转化为证明向量的模相等. 2.证明线线平行,转化为证明两方向向量共线. 3.证明线线垂直,转化为证明两方向向量垂直. 4.几何图形中与角相关的问题,转化为向量的夹角问题. 第二章　平面向量及其应用 高中同步 知识点2　 向量在物理中的应用 知识点 2 1.力、速度、加速度、位移等这些既有大小又有方向的物理量是数学中向量的现实模型. 2.力、速度、加速度、位移的合成与分解其实就是向量的线性运算. 3.功是力F与由力F所产生的位移s的数量积. 第二章　平面向量及其应用 高中同步 知识辨析 1.若向量 与向量 平行,那么直线AB与CD平行吗? 2.若向量 与向量 的夹角为α,那么直线AB与CD的夹角是α吗? 3.某人骑自行车的速度是v1,风速是v2,那么他逆风骑行的速度是v1-v2吗? 4.要想以最短航程渡过一条流淌的河流,船头的方向必须垂直于河岸,对吗? 第二章　平面向量及其应用 高中同步 一语破的 1.不一定.直线AB与CD还可能重合. 2.不一定.当α∈ 0,  时,直线AB与CD的夹角为α;当α∈ 时,直线AB与CD的夹角为α的 补角. 3.不是.他逆风骑行的速度应该是v1+v2,注意这里v1和v2的方向是相反的. 4.不对.考虑到水的流速,要使航程最短,船的速度与水流速度的合速度必须垂直于河岸,而不 是船头的方向垂直于河岸. 第二章　平面向量及其应用 高中同步 关键能力 定点破 定点1　用向量解决平面几何问题  用向量解决平面几何问题的两类方法 (1)在图形中选择一组基,将其他向量都用这组基来表示.基的选择不同,计算量也可能不同. (2)在图形中建立恰当的坐标系,用向量坐标解决问题. 定点 1 第二章　平面向量及其应用 高中同步 典例 如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE.   第二章　平面向量及其应用 高中同步 证明    证法一:设 =a, =b,则|a|=|b|,a·b=0. 易得 = + =-a+ , = + =b+ , 所以 · = · =- - a·b+ =- |a|2+ |b|2=0. 故 ⊥ ,即AF⊥DE. 证法二:如图所示,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,   设正方形ABCD的边长为2, 第二章　平面向量及其应用 高中同步 则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1), 故 =(2,1), =(1,-2), 所以 · =(2,1)·(1,-2)=2-2=0, 所以 ⊥ ,即AF⊥DE. 第二章　平面向量及其应用 高中同步 定点2　用向量解决物理问题  用向量解决物理问题的一般步骤 (1)问题的转化:画出示意图,把物理问题转化成数学问题; (2)模型的建立:建立以向量为主体的数学模型; (3)参数的获取:求出数学模型的相关解; (4)问题的答案:回到问题的本质,用已经获取的参数值去解释相关的物理现象. 定点 2 第二章　平面向量及其应用 高中同步 典例 已知一条河的两岸平行,河的宽度为d,某人从河的北岸出发游到河对岸,河水自西向东 流,流速为|v0|=1,设某人在静水中游泳的速度为v1,在流水中游泳的实际速度为v2. (1)若要使此人游的路程最短,且|v1|= ,求此人游泳的方向与水流方向的夹角α和v2的大小; (2)若要使此人游到河对岸的用时最短,且|v2|=2,求他实际前进的方向与水流方向的夹角β和|v1|. 解析    (1)要使此人游的路程最短,只需此人在静水中游泳的速度与水流速度的合速度的方 向与河对岸垂直即可,如图1, 此人在静水中游泳的方向与水流方向的夹角α=∠ACB,此时|v2|= =1,α=∠ACB=  . 第二章　平面向量及其应用 高中同步 (2)如图2,设v0与v1的夹角为θ,此人实际游的距离为s, 又v0与v2的夹角为β, 所以 = ,sin β= , 所以 = = , 故当v0与v1的夹角 θ= 时,此人游到河对岸用时最短. 如图3,当θ= 时,|v1|= = ,此时tan β= ,所以β= . 第二章　平面向量及其应用 高中同步 通过解三角形的实际应用发展数学建模和数学运算的核心素养 学科素养 情境破 素养 素养解读 　　解三角形在实际中的应用一般为高度测量问题、角度测量问题和距离测量问题,通常将 实际问题抽象概括为解三角形的数学模型. 　　在解三角形过程中,需要灵活掌握正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式等知识, 有时需要连续进行计算. 第二章　平面向量及其应用 高中同步 典例呈现 例题 2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m),三角 高程测量法是珠峰高程测量方法之一.三角高程测量法的一个示意图如图所示,现有A,B,C三 点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰 角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差 AA'-CC'约为 tan 15°=2- ,sin 75°= , ≈1.732 (　    )   A.346　　    B.373　　    C.446　　    D.473 B 第二章　平面向量及其应用 高中同步 解题思路    通过作辅助线构造三角形,分析三角形中的边角关系求解. 如图,过点C分别作A'C',B'C'的平行线,分别交A'A,B'B于点D,点E,连接DE,则DE∥A'B',过点B作 DE的平行线,交AA'于点F. 则△A'B'C'≌△DEC,∴∠DCE=∠A'C'B'=45°,∠CDE=∠C'A'B'=180°-∠A'C'B'-∠A'B'C'=75°. 在Rt△BCE中,可得tan 15°= ,即2- = ,∴CE= =100(2+ ), 在△CDE中,由正弦定理可得 = , ∴DE= ·CE=100( +1). 在Rt△ABF中,∠ABF=45°,∴AF=BF,∴AA'-CC'=AD=AF+DF=BF+BE=DE+BE=100(2+ )≈373. 第二章　平面向量及其应用 高中同步 思维升华 　　在解三角形问题时,先梳理已知条件和所求问题,然后建立数学模型.需要注意两点:一是 把空间问题转化为平面问题;二是把求解的问题归结到合适的一个或几个三角形中,并按照 一定的顺序运用正弦定理和余弦定理逐步求解. 第二章　平面向量及其应用 高中同步 $