8.2.1 两角和与差的余弦 8.2.2 两角和与差的正弦、正切（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦两角和与差的正弦、余弦、正切公式及辅助角公式，从向量数量积切入公式推导，通过知识清单、公式表构建前后知识脉络，形成从概念到应用的学习支架。 其亮点在于采用“同名相乘符号相反”等记忆口诀帮助抽象公式结构（数学眼光），通过角的代换、整体意识培养逻辑推理（数学思维），典例中辅助角公式化简函数强化数学表达（数学语言）。学生能深化公式理解，教师可依托系统题型讲解提升教学效率。

8.21 两角和与差的余弦 8.2.2　两角和与差的正弦、正切 知识 清单破 知识点 1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 名称 公式 简记符号 使用条件 两角差的余弦公式 cos(α-β)=cos αcos β+ sin αsin β Cα-β α,β∈R 两角和的余弦公式 cos(α+β)=cos αcos β- sin αsin β Cα+β 两角和的正弦公式 sin(α+β)=sin αcos β+ cos αsin β Sα+β α,β∈R 两角差的正弦公式 sin(α-β)=sin αcos β- cos αsin β Sα-β 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 两角和的正切公式 tan(α+β)=   Tα+β α,β,α+β≠kπ+ (k ∈Z) 两角差的正切公式 tan(α-β)=  Tα-β α,β,α-β≠kπ+ (k∈Z) 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 记忆技巧 Cα+β,Cα-β:同名相乘,符号相反.Sα+β,Sα-β:异名相乘,符号相同. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 　    asin x+bcos x= sin(x+θ)(a,b不同时为零),其中cos θ= ,sin θ= . 知识点 2 辅助角公式 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.存在实数α,β,使得cos(α+β)=cos α-cos β成立. (　    ) 2.sin(α+β)=sin α+sin β一定不成立. (　    ) 3.tan 能根据公式Tα-β直接展开.(　    ) 4.asin x+bcos x= sin(x+φ)(a,b不同时为0)中的φ是唯一的. (　    ) 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 答案 1.√　如α= ,β= . 2.✕　当α=β=0时,等式成立. 3.✕　不能展开, 的正切值不存在. 4.✕ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 两角和与差的正弦、余弦公式的应用 1.给角求值 给角求值题目涉及两角和与差公式的正用和逆用,公式的逆用是三角函数式变形的重要手 段,有时还需把三角函数式中的系数0, , , 等视为某个特殊角的三角函数值,从而将常 数换为三角函数使用.例如: cos α- sin α=sin  cos α-cos  sin α=sin . 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 2.给值求值 解决给值求值问题时,应先分析已知角与所求角间的关系,再考虑三角函数名称的联系,最后 选择合适的公式求值. 分析已知角与所求角之间的关系时,需要恰当地运用拆角、拼角技巧,具体做法如下:当“已 知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;当“已知角” 有 一个时,应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求 角”变成“已知角”. 常见的角的代换的形式:α=(α+β)-β,α=β-(β-α),α= [(α+β)+(α-β)]= [(α+β)-(β-α)], =  - ,α+β=(2α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β)等. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 3.给值求角 解决给值求角问题的关键是求出所求角的某一三角函数值,而三角函数的选取一般要根据所 求角的范围来确定,最好是角的取值范围在该函数的单调区间内.当所求角的范围是(0,π)或 (π,2π)时,一般求余弦值;当所求角的范围是 或 时,一般求正弦值. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 典例1 已知0<α< , <β<2π,tan α= ,sin β=- . (1)求cos(α-β)的值; (2)求α+β的值. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 解析    因为tan α= ,即 = , 且sin2α+cos2α=1,0<α< , 所以sin α= ,cos α= . 因为sin β=- , <β<2π, 所以cos β= = = . (1)cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β= × + × = . (2)易得sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β= × + × =- . 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 因为0<α< , <β<2π,所以 <α+β< , 所以α+β= . 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 典例2　已知 <β<α< ,cos(α-β)= ,sin(α+β)=- ,求sin 2α的值. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 思路点拨    由α,β的范围确定α-β,α+β的范围,进而求出sin(α-β),cos(α+β)的值,再利用2α=(α-β)+ (α+β)及两角和的正弦公式求值. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 解析    ∵ <β<α< , ∴0<α-β< ,π<α+β< . 又cos(α-β)= ,sin(α+β)=- , ∴sin(α-β)= = = , cos(α+β)=- =- = - . ∴sin 2α=sin[(α-β)+(α+β)] =sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β) 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 = × + × =- . 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 讲解分析 疑难 2 两角和与差的正切公式的应用 1.常值代换 在Tα±β中,若出现1, 等常值,则常利用1=tan  , =tan  等来代换,以达到化简求值的目的. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 2.整体意识 　　若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体,则考虑Tα±β的变形公 式:①tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β),②1∓tan αtan β= . 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 典例 给出下列式子: ①tan 25°+tan 35°+ tan 25°tan 35°; ②2(sin 35°cos 25°+sin 55°cos 65°); ③ . 其中结果为 的是　　    .(填序号) 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 解析    对于①,因为tan 60°=tan(25°+35°)= ,所以tan 25°+tan 35°+ ·tan 25°tan 35°=tan 60°(1-tan 25°tan 35°)+ tan 25°tan 35°= (1-tan 25°tan 35°)+ ·tan 25°tan 35°= ; 对于②,2(sin 35°cos 25°+sin 55°cos 65°)=2[sin 35°cos 25°+sin(90°-35°)cos(90°-25°)]=2(sin 35° cos 25°+cos 35°sin 25°)=2sin(35°+25°)=2sin 60°= ; 对于③, = =tan(45°+15°)=tan 60°= . 答案　①②③ 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 讲解分析 　　辅助角公式对三角函数式的化简具有重大意义,基本形式为y=asin x+bcos x= sin (x+φ),其中tan φ= .运用辅助角公式的前提条件有三个:①同角(均为x),②齐一次(均为一次 的),③正余全(一个是sin x,一个是cos x). 疑难 3 辅助角公式的应用 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 典例 已知函数f(x)=sin x+sin . (1)求f(x)的最小值,并求使f(x)取得最小值时x的取值集合; (2)不画图,试说明函数f(x)的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换得到; (3)求f(x)的单调区间. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 解析    (1)f(x)=sin x+sin =sin x+sin x·cos +cos xsin =sin x+ sin x+ cos x= sin x+  cos x=   = sin , 所以当sin =-1时,f(x)min=- ,此时x+ = +2kπ(k∈Z),即x= +2kπ(k∈Z). 所以f(x)的最小值为- ,此时x的取值集合为 . (2)由(1)得f(x)= sin . 将y=sin x的图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的 倍,得到y= sin x的图象,然后 将y= sin x的图象上所有的点向左平移 个单位,得到f(x)= sin 的图象. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 (3)令2kπ- ≤x+ ≤2kπ+ (k∈Z),得2kπ- ≤x≤2kπ+ (k∈Z),此时函数f(x)单调递增; 令2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ (k∈Z),得2kπ+ ≤x≤2kπ+ (k∈Z),此时函数f(x)单调递减. 所以函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z),单调递减区间为  (k∈Z). 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 $