8.1.3 向量数量积的坐标运算（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件聚焦向量数量积的坐标运算，涵盖坐标公式、模长、夹角余弦及垂直条件等核心知识点，通过知识拓展（共线与垂直单位向量）和辨析题构建学习支架，衔接向量基本概念与坐标运算应用。 其亮点在于以知识辨析培养数学思维的推理意识，典例2通过建立坐标系将几何问题转化为函数问题，体现数学眼光的抽象能力与数学语言的模型表达。助力学生提升运算与建模能力，为教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

8.1.3　向量数量积的坐标运算 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)a·b=x1x2+y1y2. (2)|a|= . (3)cos<a,b>= = . (4)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0. 知识 清单破 知识点 向量数量积的坐标运算 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 知识拓展 ①设非零向量a=(x,y),则与a共线的单位向量的坐标是± ,其中正、负号分 别表示与a同向和反向.②设非零向量a=(x,y),则与a垂直的单位向量的坐标是±  . 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角为锐角,则x1x2+y1y2>0,反之,若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2) 满足x1x2+y1y2>0,则它们的夹角为锐角. (　    ) 2.向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2)的夹角公式cos<a,b>= 的使用条件是a≠0且b≠0.  (　    ) 3.在直角△ABC中, =(1,1), =(-4,m),则m=4. (　    ) 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 答案 1.✕　当a与b的夹角θ为0°时,cos θ=1,此时a·b=x1x2+y1y2>0,但它们的夹角不是锐角. 2.√    3.✕　在直角△ABC中,若∠B为直角,则m=4,否则一定得不到m=4. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 讲解分析 疑难 情境破 疑难 平面向量数量积的坐标运算及其应用 1.进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径: 一是先将各向量用坐标表示,再进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再 依据已知计算. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 2.与向量有关的最值问题常转化为函数的最值问题来解决,特别是二次函数与三角函数,借助 向量数量积的坐标运算构造函数,再利用函数的性质求出最值. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 3.对于以平面图形为背景的向量数量积运算的题目,只需把握图形的特征,建立适当的平面直 角坐标系并写出相应点的坐标即可求解. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 典例1 已知a=(3,2),b=(1,-1),则(a-b)·(2a+b)=　　　    . 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 解析    解法一:易得a-b=(2,3),2a+b=(7,3),所以(a-b)·(2a+b)=2×7+3×3=23. 解法二:易得|a|= = ,|b|= = ,a·b=3×1+2×(-1)=1,所以(a-b)·(2a+b)=2a2-a·b- b2=2×13-1-2=23. 答案    23 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 典例2　在边长为1的正方形ABCD中,M为BC边的中点,点E在线段AB(包括端点)上运动,则  · 的取值范围是　　　    . 思路点拨    建立适当的平面直角坐标系,借助向量数量积的坐标运算构造函数,再利用函数 性质求出取值范围. 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 解析    建立平面直角坐标系,如图,设E(x,0),0≤x≤1.   由题意得M ,C(1,1), 所以 = , =(1-x,1), 所以 · = ·(1-x,1)=(1-x)2+ . 因为0≤x≤1,所以 ≤(1-x)2+ ≤ , 即 · 的取值范围是 . 第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 答案      第八章 向量的数量积与三角恒等变换 高中同步 $