7.1.1 角的推广（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第三册（人教B版）

该高中数学课件围绕角的推广展开，涵盖角的概念、任意角（正角、负角、零角）、象限角及终边相同的角等核心知识点，通过复习初中静态角概念过渡到动态旋转生成角，搭建从基础到应用的学习支架。 其亮点在于结合知识辨析（如判断终边相同角的表示是否唯一）和典例解析（如求2024°的终边相同角），培养数学思维（推理、运算）与数学语言（集合符号表达）。采用分步讲解与问题驱动，学生能深化概念理解，教师可借助实例提升教学效率。

7.1.1　角的推广 知识 清单破 知识点 1 角的相关概念 1.角的概念 一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角,这两条射线分别称为角的始边和 终边. 第七章 三角函数 高中同步 2.任意角 类型 定义 正角 一条射线绕其端点按照逆时针方向旋转而 成的角 负角 一条射线绕其端点按照顺时针方向旋转而 成的角 零角 当射线没有旋转时,我们也把它看成一个角, 称为零角,其始边与终边重合 　　这样定义的角,由于是旋转生成的,所以也常称为转角. 第七章 三角函数 高中同步 3.角的加法与减法 设α,β是任意两个角,把角α的终边旋转角β(当β是正角时,按逆时针方向旋转;当β是负角时,按 顺时针方向旋转;当β是零角时,不旋转),这时终边对应的角为α+β.角的减法可以转化为角的 加法,即α-β=α+(-β). 第七章 三角函数 高中同步 　　为了方便起见,通常将角放在平面直角坐标系中来讨论,并约定:角的顶点与坐标原点重 合,角的始边落在x轴的正半轴上.这时,角的终边在第几象限,就把这个角称为第几象限角.如 果终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限,此类角称为轴线角. 知识点 2 象限角 第七章 三角函数 高中同步 知识拓展 (1)象限角的集合: ①第一象限角的集合为{x|k·360°<x<k·360°+90°,k∈Z}; ②第二象限角的集合为{x|k·360°+90°<x<k·360°+180°,k∈Z}; ③第三象限角的集合为{x|k·360°+180°<x<k·360°+270°,k∈Z}; ④第四象限角的集合为{x|k·360°+270°<x<k·360°+360°,k∈Z}. (2)轴线角的集合: ①终边落在x轴正半轴上的角α的集合为{α|α=k·360°,k∈Z}; ②终边落在x轴负半轴上的角α的集合为{α|α=k·360°+180°,k∈Z}; ③终边落在y轴正半轴上的角α的集合为{α|α=k·360°+90°,k∈Z}; ④终边落在y轴负半轴上的角α的集合为{α|α=k·360°+270°,k∈Z}; 第七章 三角函数 高中同步 ⑤终边落在x轴上的角α的集合为{α|α=k·180°,k∈Z}; ⑥终边落在y轴上的角α的集合为{α|α=k·180°+90°,k∈Z}; ⑦终边落在坐标轴上的角α的集合为{α|α=k·90°,k∈Z}. 第七章 三角函数 高中同步 　　所有与角α终边相同的角组成一个集合,这个集合可记为S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即集合 S的每一个元素的终边都与α的终边相同,k=0时对应元素为α. 知识点 3 终边相同的角 第七章 三角函数 高中同步 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”. 1.当一个角的始边和终边确定后,这个角就是确定的. (　    ) 2.经过1小时,时针转过30°. (　    ) 3.终边与始边重合的角是零角. (　    ) 4.始边相同的角中,终边相同时,角不一定相等,但相等的角终边一定相同. (　    ) 5.第三象限角一定比第一象限角大. (　    ) 6.第四象限角一定是负角. (　    ) 7.终边相同的角的表示形式唯一. (　    ) 第七章 三角函数 高中同步 答案 1.✕　角的旋转方向和旋转的绝对量不是确定的,所以角也不是确定的. 2.✕　因为时针按顺时针方向旋转,所以时针转过-30°. 3.✕　终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z)角. 4.√    5.✕    240°角为第三象限角,390°角为第一象限角,而390°>240°,故错误. 6.✕    285°角为第四象限角,但不是负角. 7.✕    终边相同的角的表示形式不唯一,如{α|α=k·360°+90°,k∈Z}与{α|α=k·360°-270°,k∈Z} 均表示终边落在y轴正半轴上的角的集合. 第七章 三角函数 高中同步 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 终边相同的角的表示 1.求在某个范围内与已知角终边相同的角的步骤 (1)将已知角表示成α+k·360°(k∈Z)的形式,其中0°≤α<360°; (2)采用赋值法或不等式法求解,确定k的值; (3)写出符合条件的角. 第七章 三角函数 高中同步 2.求终边在某条射线或直线上的角的集合的策略 (1)若所求角的终边在某条射线上,则角之间相差360°的整数倍,所求角的集合为{β| β=α+k·360°,k∈Z}(α为终边在该射线上的角,一般令0°≤α<360°); (2)若所求角的终边在某条直线上,则角之间相差180°的整数倍,所求角的集合为{β| β=α+k·180°,k∈Z}(α为终边在该直线上的角,一般令0°≤α<180°). 第七章 三角函数 高中同步 典例1 已知α=2 024°. (1)把α写成k ·360°+β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式; (2)求θ,使θ与α的终边相同,且-360°≤θ<720°. 第七章 三角函数 高中同步 解析    (1)2 024÷360=5……224, ∴k=5,β=224°,∴α=5×360°+224°. (2)由题意及(1)知θ=n·360°+224°(n∈Z). 由-360°≤n·360°+224°<720°,且n∈Z, 得n=-1,0,1. ∴角θ的值为-136°,224°,584°. 第七章 三角函数 高中同步 解析    易知终边落在射线y= x(x≥0)上的角的集合为{α|α=60°+k·360°,k∈Z}, 终边落在射线y= x(x≤0)上的角的集合为{α|α=240°+k·360°,k∈Z}, 所以终边落在直线y= x上的角的集合 为{α|α=60°+k·360°,k∈Z}∪{α|α=240°+k·360°,k∈Z}={α|α=60°+2k·180°,k∈Z}∪{α|α=60°+(2k +1)·180°,k∈Z}={α|α=60°+n·180°,n∈Z}. 典例2　求终边落在直线y= x上的角的集合. 第七章 三角函数 高中同步 讲解分析 　　区域角是指终边在坐标系的某个区域内的角.表示时可分为三步: (1)按逆时针方向找到区域的起始和终止边界; (2)由小到大分别标出起始和终止边界对应的在-360°到360°范围内的角α和β,并将该范围内 的区域角表示为{x|α<x<β}(不含边界)或{x|α≤x≤β}(含边界),其中β-α<360°; (3)起始、终止边界对应的角α,β再加上360°的整数倍,即得区域角的范围. 疑难 2 区域角的表示 第七章 三角函数 高中同步 典例 已知角α 的终边落在如图所示的阴影区域内(包括边界),求角α的集合.   图(1)       图(2) 第七章 三角函数 高中同步 解析    题图(1)中,若角α的终边落在射线OA上,则α=30°+k·360°,k∈Z. 若角α的终边落在射线OB上,则α=135°+k·360°,k∈Z. 所以角α的终边落在阴影区域内(包括边界)时,有30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z. 故角α的集合为{α|30°+k·360°≤α≤135°+k·360°,k∈Z}. 题图(2)中,当角α的终边落在x轴上方的阴影区域内(包括边界)时,角α 的集合为{α|90°+k·360° ≤α≤135°+k·360°,k∈Z},记为集合A; 当角α的终边落在x轴下方的阴影区域内(包括边界)时,角α 的集合为{α|270°+k·360°≤α≤315 °+k·360°,k∈Z},记为集合B. 所以终边落在阴影区域内(包括边界)的角α 的集合为A∪B={α|90°+2k·180°≤α≤135°+2k·180 °,k∈Z}∪{α|90°+(2k+1)·180°≤α≤135°+(2k+1)·180°,k∈Z}={α|90°+n·180°≤α≤135°+n·180°, n∈Z}. 第七章 三角函数 高中同步 1.角α所在象限的判断方法 　　根据终边相同的角的概念,把角α转化到0°~360°范围内,则转化后的角的终边落在第几 象限内,角α就是第几象限角. 讲解分析 疑难 3 象象限角的判断 第七章 三角函数 高中同步 2.角nα(n≠0)所在象限的判断方法 　　由角α的范围求出角nα 的范围,再利用终边相同的角所在象限的判断方法进行判断即 可. 　　注意:不要忽略nα为轴线角的情况. 第七章 三角函数 高中同步 3.角 (n≠0)所在象限的判断方法 (1)分类讨论法:根据角α所在象限,写出角α的范围(用含有整数k的式子表示),由此求出角 的 范围,然后对整数k进行分类讨论,从而确定角 的终边所在的象限. (2)几何法:先把各象限分为n等份,再从x 轴正半轴的上方起,按逆时针方向依次将各区域标上 一、二、三、四,一、二、三、四,……,则角α原来是第几象限角,标号为几的区域即为角  的终边所在区域. 　　说明:当n≥4时,角 的终边在四个象限内都有分布,研究的价值不大,所以一般只讨论n= 2,n=3的情形. 第七章 三角函数 高中同步 典例 若α是第一象限角,求下列角是第几象限角. (1)2α;(2) ;(3) . 第七章 三角函数 高中同步 解析    ∵α是第一象限角, ∴k·360°<α<k·360°+90°(k∈Z).(*) (1)k·720°<2α<k·720°+180°(k∈Z). 故2α是第一或第二象限角,或是终边在y轴正半轴上的角. (2)解法一:由(*)式得, k·180°< <k·180°+45°(k∈Z). ①当k为偶数时,令k=2n(n∈Z), 得n·360°< <n·360°+45°(n∈Z), 这表明 是第一象限角. ②当k为奇数时,令k=2n+1(n∈Z), 第七章 三角函数 高中同步 得n·360°+180°< <n·360°+225°(n∈Z),这表明 是第三象限角. 综上, 是第一或第三象限角. 解法二:如图1,将各象限分成两等份,再从x轴正半轴的上方起,按逆时针方向依次在各区域内 标上一、二、三、四,则标有一的区域(阴影部分,不包括边界)即 的终边所在的区域,故 是 第一或第三象限角.   图1 第七章 三角函数 高中同步 (3)解法一:由(*)式得, k·120°< <k·120°+30°(k∈Z). ①当k=3n(n∈Z)时,n·360°< <n·360°+30°(n∈Z),这表明 是第一象限角. ②当k=3n+1(n∈Z)时,n·360°+120°< <n·360°+150°(n∈Z),这表明 是第二象限角. ③当k=3n+2(n∈Z)时,n·360°+240°< <n·360°+270°(n∈Z),这表明 是第三象限角. 综上, 是第一或第二或第三象限角. 解法二:如图2,将各象限分成3等份,再从x轴正半轴的上方起,按逆时针方向依次在各区域内 标上一、二、三、四,则标有一的区域(阴影部分,不包括边界)即 的终边所在的区域,故 是 第一或第二或第三象限角. 第七章 三角函数 高中同步   图2 第七章 三角函数 高中同步 $