专题01 复数及其运算5种题型归类（压轴题专项训练）数学沪教版必修第二册

专题01 复数及其运算 目录 类型一、与复数相关的综合运算问题 类型二、与复数模有关的范围或最值问题 类型三、复数范围内方程的根 类型四、复数的三角表示问题 类型五、与复数有关的新定义问题 压轴专练 类型一、与复数相关的综合运算问题 解题技巧： 1.复数的加法法则和复数的减法法则 ①运算法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，两个复数的和仍然是一个确定的复数. ②加法运算律：对任意z 1，z 2，z 3∈c，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）. ③运算法则：复数的减法是加法的逆运算；设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di是任意两个复数，则（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，两个复数的差是一个确定的复数. 2.复数的乘法运算 ①复数的乘法法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z 1·z 2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i. ②复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C，有 交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1 乘法对加法的分配律 z 1（z 2＋z 3）＝z 1 z 2＋z 1 z 3 结合律 （z 1·z 2）·z 3＝z 1·（z 2·z 3） 3.复数的除法运算 设z 1＝a＋bi，,z 2＝c＋di（c＋di≠0）），则 复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi. 4.复数的乘方 对于一些复杂的复数运算,可以利用 的幂次的性质,如 , , , ,以及一些常见的运算技巧来简化计算 例1-1．（25-26高二上·上海·期末）设，则“”是“是实数”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】C 【分析】根据复数与共轭复数及充分必要条件的定义判断即可. 【详解】设复数，则它的共轭复数. 若，则，化简得，所以，此时，是实数. 所以“”能推出“是实数”，充分性成立. 若是实数，则，此时，，所以. 所以 “是实数”能推出“”，必要性成立. 故“”是“是实数”的充分必要条件. 故选：C. 例1-2．已知复数，，其中i是复数单位. (1)若，求实数a的值； (2)若是纯虚数，a是正实数，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用复数的乘法法则及复数相等的条件列式求解即可. （2）利用除法运算化简，根据纯虚数的概念知，则然后根据的周期性求和即可. 【详解】（1）因为，，， 所以，即， 所以，解得实数a的值为2. （2）由题意得， 因为是纯虚数，所以，解得或， 又因为a是正实数，所以，所以， 所以 变式1-1．设，则是的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】由“”不能推出“”， “”能推出“”，据此可判断选项. 【详解】令，则，但，故“”不能推出“”. 设，由得， ， 故“”能推出“”. 综上得，是的必要非充分条件. 故选：B. 变式1-2．（23-24高一下·上海·期末）已知复数和复数满足：，则______． 【答案】 【分析】设，根据题意结合共轭复数的概念可得和，进而可得，再结合复数的乘法运算求解即可. 【详解】设，则， 因为，可得； 且，可得， 由，可得， 由，可得， 则， ， 可得， ， 所以. 故答案为：. 变式1-3．已知复数，，其中是实数. (1)若，求实数的值； (2)若是纯虚数，求. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）根据给定的条件，利用复数乘方运算及复数相等求出的值. （2）利用复数除法结合纯虚数的定义，求出，再利用乘方的周期性求解作答. 【详解】（1）复数，则，又a是实数， 因此，解得， 所以实数a的值是. （2）复数，，， 则， 因为是纯虚数，于是，解得， 因此，又，，，， 则，，，，， 即有，， 所以. 变式1-4．已知复数，，，分别记作，，，即，，，求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)详见解析； (2)详见解析； (3)详见解析 【分析】利用复数四则运算规则即可证明（1）（2）（3） 【详解】（1）， ， 则. （2） ， ， 则. （3） ， ， 则. 类型二、与复数模有关的范围或最值问题 解题技巧： 1.向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 2.()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 3.对于一些与复数模的不等式相关的问题,同样通过代入复数的实部和虚部,转化为平面区域问题进行求解,确定其表示的图形。 例2-1．（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，则的最小值是_____ 【答案】5 【分析】设，，由条件可得，设复数在复平面上的对应点为，则点在直线上，结合条件可得等于到点和点的距离和，结合结论两点之间线段最短可求结论. 【详解】设，， 则，， 因为，所以， 所以，故， 设复数在复平面上的对应点为，则点在直线上， 又， 所以， 所以等于到点和点的距离和， 因为，当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 由已知线段的方程为，， 联立，可得， 所以当的坐标为，取最小值，最小值为， 所以当时，取最小值，最小值为， 故答案为：. 例2-2．（24-25高一下·上海·期中）已知、，若不等式的解集为，则（为虚数单位）的取值范围是________． 【答案】 【分析】先根据不等式的解集得到、的关系，再根据复数模的计算公式求解的取值范围． 【详解】根据题意，已知、，若不等式的解集为， 则在上，函数图像上的点要在函数上面. 分情况讨论， 当时，在上，时，，而，则直线上的点不可能一直在曲线上方，不合题意. 当，不等式的解集不为，不合题意， 所以若不等式的解集为，必有. 根据图像知道，在1处刚好取等即可，则， 可得． 令，这是一个二次函数，函数图象开口向上． 当时，． 所以， 综上所得， 的取值范围是． 故答案为：．    变式2-1．（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】设，由已知得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆，利用圆心到原点的距离加减半径可得答案. 【详解】设，由得， 可得在复平面的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以，即. 故答案为：. 变式2-2．（24-25高一下·上海·期末）若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】C 【分析】由题可得， ，然后由基本不等式结合题意可判断选项正误. 【详解】， 则 ， 则. 由基本不等式，. 当，且时，等号成立，则. 故选：C 变式2-3．（24-25高一下·上海·期末）设复数满足，则（i为虚数单位）的最大值为_______. 【答案】 【分析】根据题意得的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，表示点到的距离，结合几何意义求得结果； 【详解】设，因为即， 所以的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆， 所以， 其表示上述圆上的点到的距离， 所以其最大值为圆心到的距离加半径， 所以最大值为； 故答案为：. 变式2-4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）如果复数满足，那么的最大值是___________. 【答案】 【分析】首先将看作是点到两点距离之和为3，然后判断点的轨迹，然后将看作是点到点的距离，最后根据图象即可计算的最大值. 【详解】复数满足， 将其可以看作是点到两点距离之和为3. 因为，所以点的轨迹为线段. 而表示的是点到点的距离， 要求其距离的最大值，则根据图象可知点到点的距离最大， 即. 故答案为：. 类型三、复数范围内方程的根 解题技巧： 1.对于实系数一元二次方程 ,当判别式 时,方程的根为 。 2.利用复数相等的条件来求解方程,若方程中含有复数系数,根据方程的根代入方程后实部与虚部分别为零列出方程组求解。 3.对于一些涉及复数方程根的性质的题目,如根与系数的关系(韦达定理), , 在复数范围内仍然成立,合理运用这些性质解题。 例3-1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知关于的方程的两个根分别是、，若，则实数的值为_________． 【答案】或 【分析】根据韦达定理即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得， 当时，则、均是实数， 又因为，则， 即，解得，符合题意； 当时，、均为虚数， 又，则，即， 解得，符合题意； 则实数的值为或. 故答案为：或. 例3-2．（24-25高一下·上海·期末）已知是关于的方程的两个虚根； (1)若（为虚数单位），求实数的值； (2)若满足，求实数的值. 【答案】(1)4 (2)5 【分析】（1）根据实系数一元二次方程的根互为共轭复数及根与系数的关系求解. （2）根据实系数一元二次方程的根互为共轭复数及根与系数的关系求解. 【详解】（1）因为是关于的方程的两个虚根， 当时，. 所以. （2）设，则， 由. 又因为，所以， 所以. 所以分别对应复数和. 所以. 变式3-1．（24-25高一下·上海金山·期末）已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 【答案】1 【分析】根据复数模求出复数，再由根与系数的关系求解即可. 【详解】设， 则，解得， 所以或， 由题意可知，. 故答案为：1 变式3-2．（25-26高三上·上海金山·月考）设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（   ） A．0 B．-1 C．-2 D．1 【答案】A 【分析】由题意，设，则，根据复数的运算法则，可得，，根据是实数，结合复数的除法法则，化简可得，化简整理，代入所求，即可得答案. 【详解】由题意，设，则， ∴，， ∵是实数， ∴，即， ∴，， ∴，即， ∴， 故选：A 变式3-3．（24-25高一下·上海·期末）已知，复数是实系数一元二次方程的一个根. (1)求和的值； (2)若，，为纯虚数，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实系数一元二次方程根的特征结合韦达定理计算求参； （2）应用复数乘法计算结合纯虚数定义计算求参. 【详解】（1）由复数是实系数一元二次方程的一个根， 得该方程的另一个实根为，因此， 所以. （2）依题意，， 由为纯虚数，得，解得 变式3-4.（24-25高一下·上海·月考）设复数满足： (1)若，求与． (2)若是实系数一元二次方程的两个根，求实数的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先设，代入运算即可； （2）由题意可设，则，代入运算即可. 【详解】（1）设，由得到， 因为， 则， 整理得， 可得，解得或， 所以或； （2）若，是实系数一元二次方程的两个虚根， 则，且，互为共轭复数， 设，则，可得，， 因为，即 解得或， 所以或. 类型四、复数的三角表示问题 解题技巧： 1.复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式. 2.牢记欧拉公式 ,当 时, (被誉为数学中最优美的公式之一)。 3.利用欧拉公式进行复数的指数形式与三角形式的转换,在进行复数运算时,若遇到指数形式的复数,可以根据欧拉公式将其转化为三角形式,然后利用三角函数的性质进行计算。 4.在解决一些涉及到复数的辐角、模以及三角函数关系的问题时,合理运用欧拉公式及其相关性质,将问题转化为熟悉的三角函数问题进行求解。 5.（1）复数三角形式的乘法：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. r 1(cosθ1＋isinθ1)·r 2(cosθ2＋isinθ2)＝r 1 r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. （2）复数三角形式的除法：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 例4-1．（24-25高一上·上海·课后作业）计算：____________． 【答案】 【分析】利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则求解即可. 【详解】 ． 故答案为：. 例4-2．计算，并将结果用复数的代数形式表示： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】利用三角形式的复数乘法、除法、乘方运算法则，并结合特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】（1） . （2） . （3） （4） . （5） . 变式4-1．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】D 【分析】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【详解】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D 变式4-2．若是纯虚数（其中是虚数单位），则正整数的最小值为________. 【答案】 【分析】求得，根据复数的概念可得出的表达式，即可求得正整数的最小值. 【详解】因为 因为为纯虚数，则，可得， 可得，又因为，当时，正整数取最小值. 故答案为：. 变式4-3．设i为虚数单位，n为正整数，． (1)观察，，，…猜测：（直接写出结果）； (2)若复数，利用（1）的结论计算． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察规律即可得； （2）由特殊角三角函数得，结合（1）的结论及诱导公式化简求值即可. 【详解】（1）由观察得； （2）， 由（1）得 变式4-4．已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中r是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程（为正整数）有个不同的复数根. (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题设中的欧拉公式可求. （2）设，根据欧拉公式结合方程可求，故可得方程的解集. 【详解】（1）依题意，， 所以 . （2）设， 则， 故，故 故，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 类型五、与复数有关的新定义问题 解题技巧： 1.读懂定义：仔细阅读题目给出的新定义，明确其在复数范畴内的运算规则、对象范围与核心逻辑，将陌生定义“翻译”为熟悉的复数运算语言 2.复数标准化：将题目中的复数统一化为代数形式(a+bi)或三角形式，便于后续按新定义运算。 3.按定义运算：严格依据新定义的规则进行运算，注意区分与常规复数运算（如加减乘除、共轭、模长）的差异，避免惯性思维导致错误。 4.实虚分离：运算后将结果整理为实部与虚部分离的形式，利用“复数相等则实部、虚部分别相等”的充要条件建立方程或方程组。 5.几何意义辅助：结合复数的几何意义（复平面上的点、向量），理解新定义的几何内涵，辅助判断运算结果的合理性。 6.参数求解：若涉及参数，通过复数相等的条件、模长公式或共轭性质，列方程求解参数的取值或范围。 7.特例验证：选取简单的特殊复数（如纯实数、纯虚数）代入新定义运算，验证规则是否成立，辅助理解定义本质。 8.性质迁移：尝试将新定义运算与复数的基本性质（如交换律、结合律、共轭性质）进行对比，判断新运算是否满足相关性质，拓展解题思路。 例5-1．已知是定义在复数集上的次实系数多项式（是正整数），给出下列两个命题： ①如果虚数是的根，即，那么也是的根，即； ②可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积； 则下列说法正确的是（    ） A．命题①②都是真命题 B．命题①②都是假命题 C．命题①是真命题，命题②是假命题 D．命题①是假命题，命题②是真命题 【答案】A 【分析】由已知根据复数的运算及共轭复数的概念即可证明①；结合①可知的虚数根成对出现，且互为共轭复数，即可判断②. 【详解】因为是的根，所以， 所以， 于是， 即， 所以是的根，，故①正确; 由①可知，若虚数满足，则也满足， 所以的虚数根成对出现，且互为共轭复数， 所以可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积，故②正确. 故选：. 例5-2．（24-25高一下·上海·期中）已知，为虚数单位．定义，． (1)计算，； (2)求集合在复平面上对应的区域的面积； (3)若，求的最大值，并求当取得最大值时的值． 【答案】(1)， (2) (3)，此时 【分析】（1）根据所给定义计算可得； （2）设，即可得到，从而确定集合在复平面上对应的区域，即可求出相应的面积； （3）设，即可得到，确定在复平面的轨迹，即可求出的最大值以及此时的. 【详解】（1）因为，， 所以，； （2）设，则， 所以，， 由且，即，即， 所以集合在复平面上对应的区域如下图阴影部分所示（不包含、轴部分）， 所以集合在复平面上对应的区域的面积. （3）设，则， 又，即， 所以当时，当时，当时， 当时， 所以复数在复平面内所对应的轨迹如下所示： 其中，，，， 所以当时取得最大值，且，此时 变式5-1．定义运算，则符合条件的复数在复平面内对应的点在第_______象限． 【答案】二 【分析】由运算新定义得再由复数的除法运算、共轭复数的概念求，进而判断其所在象限. 【详解】由题意，将化简，得 则， 所以，故复数在复平面内对应的点在第二象限． 故答案为：二 变式5-2．阅读以下材料，判断下列命题的真假 在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢.在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可.我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面x轴上方的复数为正，在x轴下方的复数为负，在x轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用[z]来表示这个复数的“大小” 例如，，，. ①在复平面上的复数的大小一定大于在它正下方的复数大小； ②在复平面内做一条直线，对应的点在该直线上，则的最小值为； ③复数； ④在复平面上表现为一个半圆； ⑤无法在复平面上找到满足方程的点. 其中，正确的序号为__________ 【答案】①②⑤ 【分析】根据题设中的定义，逐一对各个命题分析判断即可得出结果. 【详解】对于①，设，如图，不妨设复数对应点在直线上运动，满足题意； 当在轴上时，不妨设在处，，则在它正下方的复数“大小”为负数， 当在轴上方时，不妨设在处， 当它正下方的复数也在轴上方时，不妨设对应点为，显然有，满足题意； 当它正下方的复数在轴下方时，此时，而其正下方的复数的“大小”为负数，满足题意； 当在轴下方时，不妨设在处，显然有， 此时，显然有，满足题意； 综上，在复平面上面的复数值大小一定大于在它正下方的复数大小，所以①正确； 对于②，在直线上任取一点，其对应复数为， 则，又可看成直线上的点到原点的距离， 所以，故②正确； 对于③，取，则， 又，，所以， 显然，，所以③不正确； 对于④，设，因为，所以，当时，， 当时，，故在复平面上表现为一个半圆，但不含点，所以④错误； 对于⑤，由题知表示实数，所以，故⑤正确， 故答案为：①②⑤. 变式5-3．对于任意的复数，定义运算． (1)集合，，，均为整数，试用列举法写出集合； (2)若，为纯虚数，求的最小值； (3)直线上是否存在整点（坐标，均为整数的点），使复数经运算后，对应的点也在直线上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，和 【分析】（1）由题意可得，再由，，可求出复数，从而可求得集合； （2）由为纯虚数，得，求出，然后化简可求出其最小值； （3）由题意得，再由，分和两种情况分析求解即可. 【详解】（1）由题意得，且，， 所以，或，或，或，或， 所以，或，或，或，或， 所以，或， 或，或，或， 所以； （2）若，则 若为纯虚数，则，所以，得， 所以， 所以当或时，． （3）对应点坐标为， 由题意，得 所以，而， ①当，时，得不成立； ②当，时，得，所以成立， 此时或， 故满足条件的整点为和． 变式5-4．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知集合{（其中是虚数单位）}，定义：，. (1)计算的值； (2)记，若，且满足，求的最大值； (3)若，且满足，，记，求证：当时，函数必存在唯一的零点，且当时，. 【答案】(1)2 (2)4 (3)证明见解析 【分析】（1）结合所给定义计算即可得； （2）设出的实部与虚部，结合绝对值三角不等式放缩即可得解； （3）设，结合函数单调性与零点的存在性定理，分、与进行讨论即可证明函数必存在唯一的零点，并可得的范围，从而可结合模长定义计算得到结果. 【详解】（1）. （2）设， 由，得， 所以 ， 当，时等号成立，所以的最大值为4. （3）由条件可知， 所以，设， 当时，和是单调递增函数， 则在上单调递增， 又，， 所以在上有唯一的零点，即在上有唯一的零点， 当时，是单调递增函数， 得，先增后减，且， 因此，即在上没有零点， 当时，是单调递增函数， 则，而， 因此，即在上没有零点， 综上，当时, 必存在唯一的零点， 当时，， 且得， 所以, 其中， 此时是单调递增函数，所以， 从而， 所以当时，. 压轴专练 1.定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】设复数的平方根为，然后平方后根据复数相等即可得出结论. 【详解】设复数的平方根为，则， 化简，所以，，解得 ，或，，即复数的平方根为或， 故选：C 2.已知z均为复数，则下列命题不正确的是（　　） A．若，则z为实数 B．若，则z为纯虚数 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】依题意由可知若可得，即A正确；若，可得，，即B正确；由可得，则z的取值有无数个；由可知，或，可得D正确. 【详解】由题意，设复数， 对于A，由，即，解得，所以复数z为实数，所以A正确； 对于B，复数，因为，可得，，所以复数z为纯虚数，所以B正确； 对于C，令，由整理得，则z的取值有无数个，所以C不正确； 对于D，由，可得，即， 解得或，所以，所以D正确. 故选：C. 3.在复数范围内，下列命题是真命题的为（    ） A．若，则是纯虚数 B．若，则是纯虚数 C．若，则且 D．若、为虚数，则 【答案】D 【分析】利用特殊值法可判断ABC选项；利用共轭复数的定义结合复数的乘法、复数的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，取，则，所以，，此时，不是纯虚数，A错； 对于B选项，取，则成立，但不是纯虚数，B错； 对于C选项，取，，则，但且，C错； 对于D选项，若、为虚数，设，， 则，， 所以， ，D对. 故选：D. 4.（25-26高二上·上海·月考）瑞士数学家欧拉发现了公式：，其中为虚数单位，.据此可知，下列说法中错误的是（    ） A．为纯虚数. B．的共轭复数为 C．的模长等于 D．对应的点位于第三象限 【答案】D 【分析】根据给定的欧拉公式写出各项对应的复数的代数形式，结合纯虚数、共轭复数、模长等复数的几何意义判断正误. 【详解】A：由题意为纯虚数，正确； B：由题意，则的共轭复数为，正确； C：由题意，模为，正确； D：由题意得，则其对应的点为， ，则，， 对应的点位于第二象限，错误； 故选：D. 5.已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （    ） A． B．若，则的最大值为 C．若，则复平面内对应的点位于第一象限 D．若是关于的方程的一个根，则 【答案】B 【分析】设出复数的代数形式计算判断A；利用复数的几何意义判断B；求出复数判断C；利用复数相等求出判断D. 【详解】对于A，设，则，，A错误； 对于B，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上， 可看作该单位圆上的点到点的距离，因为圆心到的距离为， 则该单位圆上的点到点的距离最大值为，B正确； 对于C，，则复平面内对应的点位于第二象限，C错误； 对于D，依题意，，整理得， 而，因此，解得，D错误． 故选：B. 6.已知复数、在复平面内对应的点分别为、，（为坐标原点），且，则对任意，下列选项中为定值的是（    ） A． B． C．的周长 D．的面积 【答案】A 【分析】由已知可得出，求出方程的虚根，结合复数模的性质可得出结论. 【详解】因为复数、在复平面内对应的点分别为、，（为坐标原点），则， 由可得， 对于方程，则， 解方程可得， 所以，，所以，， 中，由于不是定值，则的面积、均不为定值， 故选：A. 7.设复数满足与均为实数（为虚数单位），则的值为____________. 【答案】 【分析】设，利用已知求得，进而计算即可求得. 【详解】设，所以， ， 又因为与均为实数，所以，解得， 所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 8.（24-25高一下·上海·期中）设且，满足，则的取值范围为__． 【答案】 【分析】设，利用条件推得，将表示后转化为圆上的点到原点的距离即可. 【详解】设， 由可得，故得. 由，可得， 即复数对应的点在以点为圆心，半径为2的圆上. 所以， 代表点到原点距离的倍， 由图知点到原点距离的取值范围为， 即的取值范围为. 故答案为：. 9.（24-25高一下·上海·期末）已知复数，若，则实数的取值范围为___________． 【答案】； 【分析】利用复数相等的概念结合二次函数和三角函数的有界性求解即可. 【详解】因为 所以 所以 所以 又因为 所以 即 令 则 由二次函数的性质知： 该函数对称轴为： 所以当时，该函数取最大值为6， 当时，该函数取最小值 故答案为：. 10.满足（i为虚数单位）的最小自然数为______. 【答案】3 【分析】根据复数的乘方及除法运算化简方程左边，分类讨论可知方程的最小自然数根，即可得解. 【详解】∵，， ∴ =， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式，满足题意. 故答案为：3. 11.若复数，为虚数单位． (1)当复数为纯虚数时，求实数的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数为纯虚数，利用复数的概念，列出方程组，求得的值； （2）当时，得到，根据题意，得到是方程的一个根，结合方程根与系数的关系，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：由复数， 因为复数为纯虚数，则满足，解得. （2）解：当时，可得， 由复数是方程的一个根，则是方程的一个根， 解方程的两个根为和， 则，即，解得. 12.已知复数，（，i是虚数单位） (1)若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数a的取值范围； (2)若是实系数一元二次方程的根，且是实数，记，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先利用复数减法运算化简复数，再结合复数对应的点所在象限列不等式即可求解； （2）根据韦达定理求得，然后利用复数运算法则化简得，利用该复数为实数列方程得，从而代入化简得，最后利用复数模的运算求解即可. 【详解】（1）因为复数，，所以， 其对应的点为，由题意，解得， 即实数a的取值范围为； （2）当时，1是方程的根，则， 若为实数，则，此时,不合题意； 当时，由题意知的两根为，， 所以，所以，所以， 因为为实数， 所以，即， 所以， 所以. 13.已知关于的实系数一元二次方程 (1)若，求方程的两个根； (2)若方程有两虚根，，求的值； (3)若方程的两根为，其在复平面上所对应的点分别为，点关于轴的对称点为（不同于点），如果，求的取值范围. 【答案】(1)、 (2) (3) 【分析】（1）利用求根公式计算可得； （2）由求出的取值范围，依题意可得、互为共轭复数，则，即可求出的值； （3）分和两种情况讨论，结合求根公式及数量积的坐标表示，即可得到不等式，解得即可. 【详解】（1）当时方程为，则， 所以方程的根为、 （2）因为方程有两虚根，所以， 解得， 此时方程有两个共轭复根、，故，又，所以， 所以，解得或（舍去）. （3）若，即或时， 此时，， 则，，， 显然， 所以， 则 ， 即，解得或， 所以或； 若，即时， 设，（）， 则，，， 所以，， 所以，即，又，， 所以，解得或，所以； 综上可得的取值范围为. 14.已知复数，，其中为虚数单位，． (1)当、是实系数一元二次方程的两个虚根时，求实数、的值． (2)求的值域． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）由题意可知，列方程即可求得，从而可求得、的值； （2）由复数模的定义，结合三角函数值域的求法即可求解. 【详解】（1）复数，， 是实系数一元二次方程的两个虚根， 所以，即， 所以，所以， ， . （2） . ，， 即. 15.分式线性变换又称为莫比乌斯变换，它是定义在复数集中形如的变换，其中w称为z的“像”，z称为w的“原像”． (1)若，求i的“像”以及“原像”； (2)若，，求证：的充要条件是； (3)若，，z满足，求z的“像”在复平面上所构成图形的面积． 【答案】(1)；； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）先整理，再分别令，，求解即可； （2）先整理，设，且，整理可得，其虚部为，进而结合复数的几何意义证明即可； （3）先整理，设，且，代入可得，根据求解即可. 【详解】（1）由题，，当时，； 当时，，解得. （2）证明：由题，，设，且， 则， 则， 因为， 当，则，即，所以； 当，则，即，所以，则， 所以的充要条件是. （3）由题，，设，且， 则，解得， 因为，所以，即， 所以z的“像”在复平面上所构成的图形为以原点为圆心，半径为1的圆内， 其面积为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 复数及其运算 目录 类型一、与复数相关的综合运算问题 类型二、与复数模有关的范围或最值问题 类型三、复数范围内方程的根 类型四、复数的三角表示问题 类型五、与复数有关的新定义问题 压轴专练 类型一、与复数相关的综合运算问题 解题技巧： 1.复数的加法法则和复数的减法法则 ①运算法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R）是任意两个复数，那么（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i，两个复数的和仍然是一个确定的复数. ②加法运算律：对任意z 1，z 2，z 3∈c，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，（z 1＋z 2）＋z 3＝z 1＋（z 2＋z 3）. ③运算法则：复数的减法是加法的逆运算；设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di是任意两个复数，则（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i，两个复数的差是一个确定的复数. 2.复数的乘法运算 ①复数的乘法法则：设z 1＝a＋bi，z 2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则z 1·z 2＝（a＋bi）（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i. ②复数乘法的运算律 对任意复数z 1，z 2，z 3∈C，有 交换律 z 1·z 2＝z 2·z 1 乘法对加法的分配律 z 1（z 2＋z 3）＝z 1 z 2＋z 1 z 3 结合律 （z 1·z 2）·z 3＝z 1·（z 2·z 3） 3.复数的除法运算 设z 1＝a＋bi，,z 2＝c＋di（c＋di≠0）），则 复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi. 4.复数的乘方 对于一些复杂的复数运算,可以利用 的幂次的性质,如 , , , ,以及一些常见的运算技巧来简化计算 例1-1．（25-26高二上·上海·期末）设，则“”是“是实数”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 例1-2．已知复数，，其中i是复数单位. (1)若，求实数a的值； (2)若是纯虚数，a是正实数，求的值. 变式1-1．设，则是的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 变式1-2．（23-24高一下·上海·期末）已知复数和复数满足：，则______． 变式1-3．已知复数，，其中是实数. (1)若，求实数的值； (2)若是纯虚数，求. 变式1-4．已知复数，，，分别记作，，，即，，，求证： (1)； (2)； (3)． 类型二、与复数模有关的范围或最值问题 解题技巧： 1.向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离；特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值). 2.()的几何意义 在复平面内,设复数，（）对应的点分别是，,则.又复数.则,故，即表示复数在复平面内对应的点之间的距离. 3.对于一些与复数模的不等式相关的问题,同样通过代入复数的实部和虚部,转化为平面区域问题进行求解,确定其表示的图形。 例2-1．（24-25高一下·上海·期末）若复数满足，则的最小值是_____ 例2-2．（24-25高一下·上海·期中）已知、，若不等式的解集为，则（为虚数单位）的取值范围是________． 变式2-1．（24-25高一下·上海杨浦·期末）已知是虚数单位，若，且，则的取值范围为_________． 变式2-2．（24-25高一下·上海·期末）若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 变式2-3．（24-25高一下·上海·期末）设复数满足，则（i为虚数单位）的最大值为_______. 变式2-4．（24-25高一下·上海浦东新·期末）如果复数满足，那么的最大值是___________. 类型三、复数范围内方程的根 解题技巧： 1.对于实系数一元二次方程 ,当判别式 时,方程的根为 。 2.利用复数相等的条件来求解方程,若方程中含有复数系数,根据方程的根代入方程后实部与虚部分别为零列出方程组求解。 3.对于一些涉及复数方程根的性质的题目,如根与系数的关系(韦达定理), , 在复数范围内仍然成立,合理运用这些性质解题。 例3-1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知关于的方程的两个根分别是、，若，则实数的值为_________． 例3-2．（24-25高一下·上海·期末）已知是关于的方程的两个虚根； (1)若（为虚数单位），求实数的值； (2)若满足，求实数的值. 变式3-1．（24-25高一下·上海金山·期末）已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 变式3-2．（25-26高三上·上海金山·月考）设是实系数一元二次方程的两个根，若是虚数，是实数，则（   ） A．0 B．-1 C．-2 D．1 变式3-3．（24-25高一下·上海·期末）已知，复数是实系数一元二次方程的一个根. (1)求和的值； (2)若，，为纯虚数，求的值. 变式3-4.（24-25高一下·上海·月考）设复数满足： (1)若，求与． (2)若是实系数一元二次方程的两个根，求实数的值． 类型四、复数的三角表示问题 解题技巧： 1.复数的三角形式：一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式. 2.牢记欧拉公式 ,当 时, (被誉为数学中最优美的公式之一)。 3.利用欧拉公式进行复数的指数形式与三角形式的转换,在进行复数运算时,若遇到指数形式的复数,可以根据欧拉公式将其转化为三角形式,然后利用三角函数的性质进行计算。 4.在解决一些涉及到复数的辐角、模以及三角函数关系的问题时,合理运用欧拉公式及其相关性质,将问题转化为熟悉的三角函数问题进行求解。 5.（1）复数三角形式的乘法：两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. r 1(cosθ1＋isinθ1)·r 2(cosθ2＋isinθ2)＝r 1 r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. （2）复数三角形式的除法：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 例4-1．（24-25高一上·上海·课后作业）计算：____________． 例4-2．计算，并将结果用复数的代数形式表示： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 变式4-1．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 变式4-2．若是纯虚数（其中是虚数单位），则正整数的最小值为________. 变式4-3．设i为虚数单位，n为正整数，． (1)观察，，，…猜测：（直接写出结果）； (2)若复数，利用（1）的结论计算． 变式4-4．已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中r是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式. ②被称为欧拉公式，是复数的指数形式. ③方程（为正整数）有个不同的复数根. (1)设，求； (2)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 类型五、与复数有关的新定义问题 解题技巧： 1.读懂定义：仔细阅读题目给出的新定义，明确其在复数范畴内的运算规则、对象范围与核心逻辑，将陌生定义“翻译”为熟悉的复数运算语言 2.复数标准化：将题目中的复数统一化为代数形式(a+bi)或三角形式，便于后续按新定义运算。 3.按定义运算：严格依据新定义的规则进行运算，注意区分与常规复数运算（如加减乘除、共轭、模长）的差异，避免惯性思维导致错误。 4.实虚分离：运算后将结果整理为实部与虚部分离的形式，利用“复数相等则实部、虚部分别相等”的充要条件建立方程或方程组。 5.几何意义辅助：结合复数的几何意义（复平面上的点、向量），理解新定义的几何内涵，辅助判断运算结果的合理性。 6.参数求解：若涉及参数，通过复数相等的条件、模长公式或共轭性质，列方程求解参数的取值或范围。 7.特例验证：选取简单的特殊复数（如纯实数、纯虚数）代入新定义运算，验证规则是否成立，辅助理解定义本质。 8.性质迁移：尝试将新定义运算与复数的基本性质（如交换律、结合律、共轭性质）进行对比，判断新运算是否满足相关性质，拓展解题思路。 例5-1．已知是定义在复数集上的次实系数多项式（是正整数），给出下列两个命题： ①如果虚数是的根，即，那么也是的根，即； ②可以因式分解成若干一次或二次实系数多项式的乘积； 则下列说法正确的是（    ） A．命题①②都是真命题 B．命题①②都是假命题 C．命题①是真命题，命题②是假命题 D．命题①是假命题，命题②是真命题 例5-2．（24-25高一下·上海·期中）已知，为虚数单位．定义，． (1)计算，； (2)求集合在复平面上对应的区域的面积； (3)若，求的最大值，并求当取得最大值时的值． 变式5-1．定义运算，则符合条件的复数在复平面内对应的点在第_______象限． 变式5-2．阅读以下材料，判断下列命题的真假 在复数域内，大小成为了没有意义的量，那么我们能否赋予它一个定义呢.在实数域内，我们通常用绝对值来描述大小，而复数域中也相应的有复数的模长来代替绝对值，于是，我们只需定义复数的正负即可.我们规定复数的“长度”即为模长，规定在复平面x轴上方的复数为正，在x轴下方的复数为负，在x轴上的复数即为实数大小.“大小”用符号+“长度”表示，我们用[z]来表示这个复数的“大小” 例如，，，. ①在复平面上的复数的大小一定大于在它正下方的复数大小； ②在复平面内做一条直线，对应的点在该直线上，则的最小值为； ③复数； ④在复平面上表现为一个半圆； ⑤无法在复平面上找到满足方程的点. 其中，正确的序号为__________ 变式5-3．对于任意的复数，定义运算． (1)集合，，，均为整数，试用列举法写出集合； (2)若，为纯虚数，求的最小值； (3)直线上是否存在整点（坐标，均为整数的点），使复数经运算后，对应的点也在直线上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由． 变式5-4．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知集合{（其中是虚数单位）}，定义：，. (1)计算的值； (2)记，若，且满足，求的最大值； (3)若，且满足，，记，求证：当时，函数必存在唯一的零点，且当时，. 压轴专练 1.定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（    ） A．， B．， C．， D．， 2.已知z均为复数，则下列命题不正确的是（　　） A．若，则z为实数 B．若，则z为纯虚数 C．若，则 D．若，则 3.在复数范围内，下列命题是真命题的为（    ） A．若，则是纯虚数 B．若，则是纯虚数 C．若，则且 D．若、为虚数，则 4.（25-26高二上·上海·月考）瑞士数学家欧拉发现了公式：，其中为虚数单位，.据此可知，下列说法中错误的是（    ） A．为纯虚数. B．的共轭复数为 C．的模长等于 D．对应的点位于第三象限 5.已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （    ） A． B．若，则的最大值为 C．若，则复平面内对应的点位于第一象限 D．若是关于的方程的一个根，则 6.已知复数、在复平面内对应的点分别为、，（为坐标原点），且，则对任意，下列选项中为定值的是（    ） A． B． C．的周长 D．的面积 7.设复数满足与均为实数（为虚数单位），则的值为____________. 8.（24-25高一下·上海·期中）设且，满足，则的取值范围为__． 9.（24-25高一下·上海·期末）已知复数，若，则实数的取值范围为___________． 10.满足（i为虚数单位）的最小自然数为______. 11.若复数，为虚数单位． (1)当复数为纯虚数时，求实数的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数的值． 12.已知复数，（，i是虚数单位） (1)若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数a的取值范围； (2)若是实系数一元二次方程的根，且是实数，记，求的值. 13.已知关于的实系数一元二次方程 (1)若，求方程的两个根； (2)若方程有两虚根，，求的值； (3)若方程的两根为，其在复平面上所对应的点分别为，点关于轴的对称点为（不同于点），如果，求的取值范围. 14.已知复数，，其中为虚数单位，． (1)当、是实系数一元二次方程的两个虚根时，求实数、的值． (2)求的值域． 15.分式线性变换又称为莫比乌斯变换，它是定义在复数集中形如的变换，其中w称为z的“像”，z称为w的“原像”． (1)若，求i的“像”以及“原像”； (2)若，，求证：的充要条件是； (3)若，，z满足，求z的“像”在复平面上所构成图形的面积． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $