专题03 向量的坐标表示及应用5种题型归类（压轴题专项训练）数学沪教版必修第二册

专题03 向量的坐标表示及应用 目录 类型一、平面向量的基本定理 类型二、利用向量线性运算解决参数的范围与最值问题 类型三、向量数量积的坐标运算问题 类型四、线段的定比分点应用问题 类型五、三角形四心的向量表示及应用 类型六、奔驰定理的综合应用 压轴专练 类型一、平面向量的基本定理 解题技巧： 1.平面向量基本定理内容：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2.基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3.对平面向量基本定理的理解 ①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． ②基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． ③是同一平面内所有向量的一组基底， 则当与共线时，；当与共线时，；当时，． ④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量 例1-1．（24-25高一下·上海松江·月考）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，在“赵爽弦图”中，若，，,向量、表示_____ 【答案】 【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算列式，再借助方程思想求解作答. 【详解】因为,所以,， 所以...①，...②， 由①+②得：，即. 故答案为：. 例1-2．（24-25高一下·上海·期中）如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则=____ 【答案】 【分析】结合图形，由向量的加法和减法法则以及基本定理计算即可. 【详解】因为为的中点，所以， 所以． 又因为， 所以，解得， 所以. 故答案为：. 变式1-1．如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则_________. 【答案】/ 【分析】结合图形由向量的减法和三点共线可求； 【详解】， 因为为线段AC上靠近点的三等分点，所以， 所以， 又三点共线，所以， 故答案为：. 变式1-2．在平行四边形中，．    (1)如图1，如果分别是的中点，试用分别表示. (2)如图2，如果是与的交点，是的中点，试用表示. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算结合图形直接表示即可； （2）根据向量的线性运算结合图形直接表示即可. 【详解】（1）因为分别是的中点， 所以， . （2）因为是与的交点，是的中点， 所以， . 变式1-3．（24-25高一下·上海嘉定·期末）在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）． (1)若，用，表示； (2)若点为的外心，求、的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性表示即可用向量表示出. （2）首先求出，然后用向量将表示出来，然后可得到关于的方程组，解方程即可求出的值. 【详解】（1）因为，所以. 因为. 所以. 所以. 所以. （2）取的中点分别为，连接，则. 又， 同理. ， 所以. 所以. 因为， 所以， 同理. 整理得到，解得. 变式1-4．如图，已知的面积为14，D、分别为边AB、BC上的点，且， AE与CD交于P．设存在和使， ，，． （1）求及； （2）用，表示； （3）求的面积． 【答案】（1），；（2）；（3）4． 【分析】（1）用，作为基底表示出向量，，根据向量相等得到方程组，即可解得； （2）根据向量加法运算法则，计算可得； （3）先由，又，再根据可得． 【详解】（1），，， ，， ，， ，， ， 又， ，解得． （2）由（1）知，， ． （3），， ， 又， ． 类型二、利用向量线性运算解决参数的范围与最值问题 解题技巧： 1.基底建模：选取合适的向量基底（如平面内两个不共线向量），将所有未知向量用基底线性表示，建立参数与基底系数的联系。 2.线性运算化简：利用向量的加减、数乘等线性运算，将含参数的向量表达式展开、合并，整理为简洁的线性组合形式。 3.共线条件转化：若涉及向量共线，利用“共线向量则对应坐标成比例”或“存在实数λ使b＝λa(a≠0)”的条件，建立参数方程。 4.坐标化处理：将向量置于平面直角坐标系中，用坐标表示向量，把线性运算转化为代数运算，便于求解参数范围与最值。 5.几何意义分析：结合向量的几何意义（如终点轨迹、线段、区域），将参数问题转化为几何图形中的范围、最值问题（如距离、斜率、面积）。 6.不等式构建：利用向量模长公式、数量积不等式或三角不等式，构建关于参数的不等式，求解取值范围。 7.函数化求解：将目标表达式（如模长、数量积）转化为关于参数的函数，利用函数单调性、导数或基本不等式求解最值。 8.边界验证：分析参数取边界值时的几何或代数意义，验证最值或范围端点是否可达，避免遗漏或误判。 例2-1．在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用向量加法的平行四边形法则，分类讨论，得到取值范围，进而的取值范围，得到答案. 【详解】如图所示，由向量加法的平行四边形法则知， 当点M在边BC上由点B向点C运动时，的值由1增大到2，的值由0增大到1，的取值范围是； 当点M在边CD上由点C向点D运动时，的值恒为2，的值由1增大到2，的取值范围是. 综上，可知的取值范围是. 故选：D.    例2-2．（24-25高一下·上海·月考）等腰梯形中，，，，底边的中点为，动点，分别在腰，（包含端点）上，且．若其中，，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】过分别作的垂线，分别交分别于四点，由，然后可得的范围，继而得到的范围. 【详解】如图，过分别作的垂线，分别交分别于四点， 由已知，，， ， 又，所以， 即，， 又，所以， 又，所以，， 当点从点移动到点的过程中，点从点移动到点， 故此时不断减少，不断增大， 故当点在点，点在点时，取得最大值4， 当点在点，点在点时，取得最小值， ，故． 故答案为：． 变式2-1．（25-26高二上·上海杨浦·开学考试）已知，不共线，，，若平面内任意向量，其中，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【分析】由题意可知，与不共线，假设求出即可得出答案. 【详解】由题意可知，与不共线， 设与共线，因，则，使得， 即， 因为，不共线，结合平面向量基本定理可得，，则， 故实数的取值范围是. 故答案为： 变式2-2．如图，正与正组成“六芒星”，为“六芒星”的中心，为“六芒星”上一点（边界上），且，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】作出辅助线，得到，结合图形确定取最值的点的位置，根据平行关系求出，从而求出结果. 【详解】连结，并记它们的交点为，记的中点为，如图． 由等和线知当点在直线上时，有． 作一系列与平行的直线与“六芒星”相交，记任意与平行的直线与线段相交于点，则的绝对值为与长度的比值，从而当点与点重合时，分别取到最大值与最小值．下面计算的值． 一方面，，所以； 另一方面，，所以． 从而得到． 故答案为：. 变式2-3．在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】由点在线段上，，得， 而点为线段上除端点外的任意一点，则，且， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故选：D 变式2-4．（24-25高一下·上海普陀·期中）如图，在等腰梯形中，，，为线段上的一个动点． (1)若，，，求的值； (2)若，为线段上一点，且，求实数的值； (3)设，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系求得，在中，利用余弦定理可求得；（2）设，由已知可得，进而可得，结合已知可求； （3）设，由已知可得，结合平面向量基本定理可得，计算可求的取值范围. 【详解】（1）因为在等腰梯形中，所以为锐角， 又，所以， 在中，，，由余弦定理可得， 所以； （2）因为，所以，所以， 又因为为线段上一点，所以，又， 所以，解得； （3）因为为线段上的一个动点，所以存在实数，使， ， 又，所以，所以， 由，因为，可得， 所以， 因为，所以. 所以的取值范围为． 类型三、与向量数量积有关的坐标运算问题 解题技巧： 平面向量数量积的几何与坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 (当且仅当时等号成立) 例3-1．（25-26高三上·上海·期末）已知向量，，若与的夹角不超过，则的范围是______． 【答案】 【分析】由题意确定，再通过求其范围，即可求解. 【详解】由题意设，得，且， 因为，在单位圆上取， 因为与的夹角不超过，所以， 所以 ， 又，所以， 所以， 所以， 故的范围是. 故答案为： 例3-2．（25-26高三上·上海·月考）若，，与的夹角是钝角，那么实数m的取值范围是________． 【答案】且 【分析】根据与的夹角为钝角可得且与不共线，分别求解不等式即得. 【详解】由于与的夹角是钝角，则且与不共线 由，可得， 由与共线，可得，即. 故实数m的取值范围是且. 故答案为：且. 例3-3．平面内有向量，，，点为直线上的一个动点． （1）当取最小值时，求的坐标； （2）当点满足（1）的条件和结论时，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）设，利用向量与共线可得，用坐标表示，结合二次函数性质，求最小值，可得； （2）利用向量的夹角公式求解即可 【详解】（1）设，∵在直线上， ∴向量与共线． ∵， ∴，∴，∴． 又∵，， ∴． 故当时，有最小值，此时． （2）由（1）知，，， ∴，， ∴． 变式3-1．（2025·上海嘉定·一模）已知向量，，，为直线上的一个动点，当取最小值时，向量的坐标为_____. 【答案】 【分析】由题意设，根据数量积的坐标表示计算，即可求解. 【详解】因为为直线上的一个动点，所以与共线，设， 所以 ， 所以当时，取最小值，此时. 故答案为： 变式3-2．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系中，已知向量．若，且和的夹角为锐角，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】先求出特定情况下向量的坐标，再根据向量夹角为锐角的条件列出不等式组求解. 【详解】因为，所以，所以，． 因为和的夹角为锐角， 所以且与不共线， 则，解得, 又，即，所以的取值范围是. 故答案为：. 变式3-3．（24-25高一下·上海·月考）如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为α仿射坐标系，在α仿射坐标系中，若则记 (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在α仿射坐标系中，若且与的夹角为,求的值; (3)如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，分别为中点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助仿射坐标系，可得向量的线性表示，然后利用已知单位向量的模和夹角来求解即可； （2）同上利用向量的线性表示求模长和夹角，即可求出基底向量的夹角； （3）建立坐标系，利用向量的坐标运算来求解数量积，再利用正弦定理来表达边角关系，然后通过消元转化为函数求最大值即可. 【详解】（1）由题意得：，又因为分别为Ox、Oy同向的单位向量，, 所以； （2）由可得，， 则 ， 根据与的夹角为,可得：， 解得，即， 所以的值为； （3）依题意设，，且 ，，，因为F为BC为中点， ， 因为E为BD中点，同理可得，所以 ， 由题意可知，，， 则， 在中依据余弦定理得，所以， 代入上式得，． 在中，由正弦定理， 设，则，且， 所以，， ， 为锐角，且，因为，则， 故当时，取最大值， 则． 变式3-4．（24-25高一下·上海·月考）已知，单位向量的夾角为．若向量，则把有序数对叫做向是由表示的“斜坐标”，记． (1)设，若，求的值； (2)若，求在上的投影的“斜坐标”； (3)若，若，求的取值范围． 【答案】(1)5； (2)； (3) 【分析】（1）由向量垂直数量积为0计算可得； （2）先由数量积的定义和运算律以及模长的定义运算，再由投影向量公式可得； （3）由数量积和模长的运算表示出，再结合换元法令，利用函数的单调性求出最值. 【详解】（1）， ，， ， 所以； （2）， ， ， 在上的投影向量为， 即在上的投影斜坐标为； （3）， ， ，又 令，则， 又，在上单调递增， ，即的取值范围为. 类型四、线段的定比分点应用问题 解题技巧： 如果点P是直线上异于点的任一点，设，那么就叫做点P分向量所成的比.设O为平面内另外一点，则有 ①向量法证明 已知，因为，所以.展开可得：.移项合并同类项：，即，两边同时除以()，得到. ②坐标法证明 设，因为，，且，所以可得方程组：，解第一个方程同理，解第二个方程可得 例4．已知点，点为直线上一点，且，求点的坐标. 【答案】 【分析】用向量的减法和线性运算，结合向量坐标运算，即可求解. 【详解】，利用向量的减法运算有： 则. 点的坐标为. 变式4-1．（23-24高二上·上海嘉定·月考）已知，，点在线段延长线上，且，则点P的坐标为__________. 【答案】 【分析】根据向量共线以及向量的线性运算求得点的坐标. 【详解】设是坐标原点， 由于在线段延长线上，且， 所以，则， 所以， 所以点的坐标是. 故答案为：    变式4-2．在中，，，，.则= . 【答案】 【分析】由题得，再利用向量的数量积表示，代入解方程即可. 【详解】如图，已知. 由题得， 则有， 即， 解得. 故. 变式4-3．已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】由题可得，可得，求解即可 【详解】设点为坐标原点， 点在线段的延长线上，且，， 即，． 点的坐标为． 故答案为： 变式4-4．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知点，，若，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】设，表示出、，再根据向量相等得到方程组，解得即可. 【详解】设，则，， 因为，所以，即，解得， 所以. 故答案为： 类型五、三角形四心的向量表示及应用 解题技巧： 1.三角形四心的向量表示 （1）常见内心的向量表示： ①（或） 其中分别是的三边的长 ②，则点的轨迹一定经过三角形的内心 （注：向量()所在直线过内心(是角平分线所在直线)） （2）常用外心的向量表示： ① ② 变形：P为平面ABC内一动点，若 ，则为三角形的外心 （3）常见重心的向量表示： 设是的重心，为平面内任意一点. ① ②，，， ③若，则点的轨迹一定经过三角形的重心. 注：若、、，重心坐标为. 若，则点经过的重心 （4）常见垂心的向量表示 ① 证明：因为，所以，所以，同理可得，，所以O为垂心 ② 2.四心问题的解题策略 （1）破解内心问题，主要是利用了平面向量的共线法，通过构造与角平分线共线的向量，即两个单位向量的和向量。拓展：是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，证明的轨迹一定通过的内心 （2）破解外心问题，关键是运用平面向量的加减法和数量积的运算，结合数量积的运算律从而得到三角形的外心 （3）破解重心问题，关键是利用平面向量加法的几何意义 例5-1．已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G,可得， 又=-，则有=-，即AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上,即可得出结果. 【详解】作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G，则BG=CG(平行四边形对角线互相平分)， ∴， 又，可得=-，∴=-， ∴A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上.∴点O为三角形ABC的重心. 故选：C. 例5-2．已知是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【分析】由已知可得，由此可得出结论. 【详解】因为，则，所以，是的外心. 故选：B. 例5-3．已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足：，则点为三角形的 A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 【答案】D 【分析】在上分别取单位向量，记，则平分，用表示出，代入条件所给等式，用表示出，则可证明三点共线，即平分.同理证得在其它两角的平分线上，由此求得是三角形的内心. 【详解】在，上分别取点使得，则，作菱形，则由所以为的平分线.因为，所以，所以，所以三点共线，即在的平分线上. .同理证得在其它两角的平分线上，由此求得是三角形的内心.，故选D. 例5-4．已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】D 【分析】计算的值，可得出结论. 【详解】因为， ， ，因此，点的轨迹经过的垂心， 故选：D. 变式5-1．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：，则直线AP一定通过的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算结合三角形四心的定义即可得解. 【详解】取线段BC的中点E，则， 动点P满足：， 则，则，所以， 又为两向量的公共起点，所以三点共线， 所以直线一定通过的重心． 故选：C． 变式5-2．已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【分析】设的中点为，两端同时点乘，由可得答案. 【详解】设的中点为， 因为， 所以， 即，两端同时点乘， 所以 ， 所以， 所以点在的垂直平分线上，即经过的外心. 故选：B. 变式5-3．已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过的（　　） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】先根据、分别表示向量、方向上的单位向量，确定，判断与的角平分线所在向量的关系推出选项． 【详解】 ,分别表示向量、方向上的单位向量， 的方向与的角平分线对应的方向相同， 又，， 在向量上移动， 点P的轨迹一定通过的内心 故选：B. 变式5-4．已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（    ） A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心 【答案】C 【分析】结合向量数量积的运算求得正确答案. 【详解】由题意知，中，， 则， 即， 所以， 即， 同理，，； 所以是的垂心. 故选：C 类型六、奔驰定理的应用问题 解题技巧： 1.奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则. 注：若为内一点，且满足，则、、的面积之比等于 证明：如图，令，即满足 ，，，故. 2.三角形四心与奔驰定理的关系 ①是的重心：． 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 ②是的内心： 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得 ③是的外心：． 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 ④是的垂心： 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 例6．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三个内角，以下命题不正确的是（    ） A．若，则O为的重心 B．若，则 C．若，，则 D．若O为的垂心，则 【答案】C 【分析】A若为的中点，连接，由已知得在中线上，同理可得在其它中线上，即可判断；B、C将三角形补成一个以O为重心的三角形，根据向量的线性关系求出相关三角形面积的数量关系，即可得结论；D由垂心的性质、向量数量积的运算律，得到，结合三角形面积公式及角的互补关系得结论. 【详解】A：若为的中点，连接，则，故共线，即在中线上，同理可得在其它两中线上，故O为的重心，正确； B：若，由题设知，即O为的重心， 所以，，，， 则，正确； C：由题设，若， 所以，即O为的重心，则， 而，则，故，， 所以，错误； D：由，则， 同理，， 因为O为的垂心，则， 所以， 同理得：，， 则， 令， 由，则， 同理：， ， 综上，， 由已知可得，正确. 故选：C 变式6-1．在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的 心. 【答案】内 【分析】利用平面向量的线性运算得到，再利用三角形内心的性质求解即可． 【详解】，， ， ， ，分别是，方向上的单位向量， 向量平分，即平分，同理平分， 为的内心， 故答案为：内 变式6-2．设点P在内且为的外心，，如图.若的面积分别为，x，y，则的最大值是________. 【答案】## 【分析】根据奔驰定理可得，等式两边同时平方，结合题意和外心的定义可得，利用基本不等式计算即可求解. 【详解】根据奔驰定理得，，即， 平方得， 又因为点P是的外心，所以，且， 所以， ，解得， 当且仅当时取等号.所以. 故答案为：. 变式6-3．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题不正确的是（    ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 【答案】D 【分析】A选项，，作出辅助线，得到三点共线，同理可得M为的重心；B选项，设内切圆半径为，则，，，代入后得到；C选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，则，，，结合三角函数得到，，进而求出正切值的比；D选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值. 【详解】A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线， 所以M为的重心，A正确； B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； C选项，若M为的垂心，， 则， 如图，⊥，⊥，⊥，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， 同理可得，即，故， ，则， 故， ，则， 故， ， 故， 同理可得， 故，C正确； D选项，若，，M为的外心， 则， 设的外接圆半径为，故， ， 故，，， 所以，D错误. 故选：D 变式6-4．定理：如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用. 已知点在内部，有以下四个推论： ①若为的重心，则； ②若为的外心，则； ③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对. ④若为的垂心，则. 试用“奔驰定理”或其它方法解决下列问题. (1)点在内部，满足，求的值； (2)点为内一点，若，设，求实数和的值； (3)用“奔驰定理”证明推论②. 【答案】(1) (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）根据奔驰定理可求得的值； （2）由奔驰定理得出，进而可得出，即可求得、的值； （3）设的外接圆半径为，，，，利用三角形的面积公式结合“奔驰定理”可证得推论②成立. 【详解】（1）解：因为，根据奔驰定理可得， 因此，. （2）解：根据奔驰定理，得，即， 整理可得， 因为与不共线，所以由平面向量基本定理得，. （3）证明：若为的外心，则可设的外接圆半径为， ，，， 故，同理，， 根据奔驰定理，. 即. 所以. 压轴专练 1.设是平面向量的一个基．已知非零向量，其中，给出下列四个命题：①；②且；③；④；其中真命题的序号是（    ） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】由，夹角和模未知，可判断①④；利用平面向量基本定理，结合相等向量、向量平行的概念可判断②③． 【详解】①根据向量的模的计算公式， 可得， ∵是平面向量的一个基， ∴，夹角和模未知， ∴不一定等于， ∴命题①错误． ②根据向量相等的定义，当且仅当与的模相等且方向相同， 即，即． ∵是平面向量的一个基， ∴，不共线， ∴且，即且， ∴命题②正确． ③根据向量平行的定义，若，则； 若为非零向量，则存在的唯一实数，使得， 即，即． ∵是平面向量的一个基，∴，不共线， ∴且， 即且， ∴. 综上，命题③正确． ④根据向量垂直的定义，， 即0， 即． ∵，夹角和模未知， 故不一定能得到， ∴命题④错误． 故选：B． 2.如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】设且，应用向量加减、数乘的几何意义得，结合向量共线的推论得求参数，即可得. 【详解】设且，则， 又，则， 由共线，则，可得， 所以. 故选：B 3.向量与在上的投影向量均为，，当最大时，则（     ） A． B．6 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据题意设，， 与的夹角为，利用三角形面积公式，结合向量数量积求法，得到，根据的取值范围即可求解. 【详解】设，，所以， 因为，所以，所以可设，， 与的夹角为， 若，， 则知，， 即，，， 则当最大时，最大，即最小，即此时， 当且仅当时成立. 故选：C 4.已知向量，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算结合模长公式整理得，结合余弦函数的有界性分析求解. 【详解】因为，，则， 可得， 因为，则，可得， 所以的取值范围是. 故选：D. 5.已知，，，，则下列结论错误的是（  ） A．若是的重心，则 B．若是的内心，则 C．若是的垂心，则 D．若是的外心，则 【答案】B 【分析】根据三角形各心的性质求出对应的之间的比值，即可得出答案. 【详解】如图，设，直线与直线交于点，因为， 所以，则，即， 过作分别平行于，则，而，，由平行线分线段成比例得， 同理，所以； 若是的重心，则为的中点，所以，故A正确； 若是的内心，则直线平分，而，， 所以分的比，故B不正确； 若是的垂心，如图，则点与点重合，则，故C正确； 若是的外心， 因为，所以线段AB的中垂线的斜率为，且AB的中点为， 所以线段AB的中垂线的方程为，即， 又线段BC的中垂线为， 联立，解得，所以， ，由于，，所以，则，故D正确， 故选：B. 6.瑞典人科赫提出了著名的“雪花”曲线，这是一种分形曲线，它的分形过程是：从一个正三角形(如图①)开始，把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段，这样就得到一个六角形(如图②)，所得六角形共有12条边.再把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段.反复进行这一分形，就会得到一个“雪花”样子的曲线，这样的曲线叫做科赫曲线或“雪花”曲线.已知点O是六角形的对称中心，A，B是六角形的两个顶点，动点P在六角形上(内部以及边界).若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，求的最大值，只需考虑图中以O为起点，6个顶点分别为终点的向量即可，再根据对称可得最小值. 【详解】如图，设，，求的最大值，只需考虑图中以O为起点，6个顶点分别为终点的向量即可，讨论如下： 当点P在A处时，，，故； 当点P在B处时，，，故； 当点P在C处时，，故； 当点P在D处时，，故； 当点P在E处时，，故； 当点P在F处时，，故. 于是的最大值为5. 根据其对称性可知的最小值为，故的取值范围是. 故选：C. 7.已知，，，且，则点M的坐标为______. 【答案】 【分析】设出点M的坐标，将各个点坐标代入中，计算结果. 【详解】由题意得，所以. 设，则， 所以，解得 ， 故点M的坐标为. 故答案为： 8.（24-25高一下·上海·期中）已知平面上四个点，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为_________． 【答案】 【分析】求出向量，根据投影向量的定义求解. 【详解】由题可得，，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 9.（24-25高一下·上海·期中）已知平面向量，，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________． 【答案】; 【分析】依题意可知且与不共线，由向量数量积的坐标表示计算解不等式可得结果. 【详解】由可得，； 若与的夹角为锐角，可知且与不共线， 因此，且； 即可得且， 因此的取值范围为. 10.（24-25高二上·上海·开学考试）设定义域为的函数的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点是C上任意一点，向量，且满足，又设向量，现定义函数在上“可在标准k下线性近似”是指恒成立，其中为常数.给出下列结论： ①A、B、N三点共线； ②直线MN的法向量可以为； ③函数在上“可在标准1下线性近似”； ④函数在上“可在标准k下线性近似”，则. 其中所有正确结论的序号为_______. 【答案】①②④ 【分析】根据题意得到得到①正确，计算得到得到轴，②正确，取，计算得到，③错误，，根据均值不等式得到答案. 【详解】对①，，即，即，故三点共线，①正确； 对②，，，， 故，，故，即轴，即直线的法向量可以为，故②正确； 对③，当，则，当，则，则，， 取，则，故，，故，即，③错误； 对④，函数在上，易知该函数在上单调递增，当，，当，， 则，，故直线方程为：. ， 当且仅当，即时等号成立，故④正确. 故答案为：①②④. 11.（1）已知点，点是直线上一点，且，求点的坐标； （2）已知与的夹角为，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）的坐标为或；（2） 【分析】（1）设点的坐标，由向量的坐标运算求得，由转化得或，解方程可求点的坐标； （2）向量与夹角为锐角等价于且不平行于，解方程和不等式可求的取值范围． 【详解】（1）设点的坐标，由， 得， 因为点是直线上一点，且， 所以或， 即 或， 解得或，所以点的坐标为或； （2）因为与的夹角为， 所以， ， 因为与的夹角为锐角，所以，即， 解得，又当与共线时有，解得，所以， 综上，实数的取值范围是． 12.在中，. （1）如图1，若点为的重心，试用、表示； （2）如图2，若点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（包含、两个端点），且，设，求的取值范围； （3）如图3，若点为外接圆的圆心，设，求的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3）2. 【分析】（1）延长交于，利用向量中线公式求出，再由为的重心，即可表示； （2）以为原点，建立平面直角坐标系，表示出，，， 利用向量的坐标表示得到，利用三角函数求最值即可 （3）由，利用平面向量基本定理得到m、n的关系：利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）延长交于，则是中点，所以 因为点为的重心， 所以； （2）以为原点，建立如图坐标系， 则，， 设， 因为， 所以， 所以 所以 因为，所以， 所以，所以； （3）因为，所以 由可得 即 平方可得 ，即 根据平行四边形法则可知，令，则， 根据基本不等式可得， 所以，解得或 所以，所以，所以的最小值是2. 13.（24-25高一下·上海·期中）如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为. (1)若，求的模长； (2)若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； (3)设，若对恒成立，求 的最大值. 【答案】(1) (2)不正确，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据条件有，再利用模长的计算公式，即可求解； （2）根据条件，利用向量数量积的运算得到，再利用，即可求解； （3）由，转化为对恒成立，求得，再由向量的夹角公式，得到，进而求得其最值，得到答案. 【详解】（1）因为，则，又， 则. （2）不正确，理由如下， 因为，则，又， 则， 若，则，则， 所以“”的充要条件是“”， 故“”的充要条件是“”是不正确的. （3）因为，则， ， ， ， 由，得， 所以， 即对恒成立， 又因为，所以， 解得， 因为，所以满足题意， 所以， 又因为，所以， 所以的最大值为． 14.如图，点分别是矩形的边上的两点，，. (1)若、分别为、的中点，求； (2)若，求的范围； (3)若，连接交的延长线于点为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）解法一，以、作为一组基底表示出，，再根据数量积的运算律求出，，，最后由夹角公式计算可得；解法2，建立平面直角坐标系，利用坐标法计算可得； （2）根据数量积的运算律得到，结合的范围计算可得； （3）建立平面直角坐标系，求出点坐标，设，则，利用两角差的正切公式、锐角三角函数及基本不等式计算可得. 【详解】（1）解法1：因为，， 所以 ， ， ， . 解法2：以点为坐标原点，、所在的直线为轴､轴建立直角坐标系 则，，，， 所以，，， . （2）由，， 故，则， 所以 ， 由，故； （3）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系， 由题意可得，即， 假设存在点，使得最大，由，即有最大， 设，当时，角度为，此时不可能最大，故，所以， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即存在，且. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 向量的坐标表示及应用 目录 类型一、平面向量的基本定理 类型二、利用向量线性运算解决参数的范围与最值问题 类型三、向量数量积的坐标运算问题 类型四、线段的定比分点应用问题 类型五、三角形四心的向量表示及应用 类型六、奔驰定理的综合应用 压轴专练 类型一、平面向量的基本定理 解题技巧： 1.平面向量基本定理内容：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2.基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3.对平面向量基本定理的理解 ①基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． ②基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． ③是同一平面内所有向量的一组基底， 则当与共线时，；当与共线时，；当时，． ④由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量 例1-1．（24-25高一下·上海松江·月考）我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图，在“赵爽弦图”中，若，，,向量、表示_____ 例1-2．（24-25高一下·上海·期中）如图所示，平行四边形的对角线相交于点，为的中点若，则=____ 变式1-1．如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则_________. 变式1-2．在平行四边形中，．    (1)如图1，如果分别是的中点，试用分别表示. (2)如图2，如果是与的交点，是的中点，试用表示. 变式1-3．（24-25高一下·上海嘉定·期末）在中，，，．点为所在平面上一点，满足（、且）． (1)若，用，表示； (2)若点为的外心，求、的值. 变式1-4．如图，已知的面积为14，D、分别为边AB、BC上的点，且， AE与CD交于P．设存在和使， ，，． （1）求及； （2）用，表示； （3）求的面积． 类型二、利用向量线性运算解决参数的范围与最值问题 解题技巧： 1.基底建模：选取合适的向量基底（如平面内两个不共线向量），将所有未知向量用基底线性表示，建立参数与基底系数的联系。 2.线性运算化简：利用向量的加减、数乘等线性运算，将含参数的向量表达式展开、合并，整理为简洁的线性组合形式。 3.共线条件转化：若涉及向量共线，利用“共线向量则对应坐标成比例”或“存在实数λ使b＝λa(a≠0)”的条件，建立参数方程。 4.坐标化处理：将向量置于平面直角坐标系中，用坐标表示向量，把线性运算转化为代数运算，便于求解参数范围与最值。 5.几何意义分析：结合向量的几何意义（如终点轨迹、线段、区域），将参数问题转化为几何图形中的范围、最值问题（如距离、斜率、面积）。 6.不等式构建：利用向量模长公式、数量积不等式或三角不等式，构建关于参数的不等式，求解取值范围。 7.函数化求解：将目标表达式（如模长、数量积）转化为关于参数的函数，利用函数单调性、导数或基本不等式求解最值。 8.边界验证：分析参数取边界值时的几何或代数意义，验证最值或范围端点是否可达，避免遗漏或误判。 例2-1．在正六边形ABCDEF中，点M在边BC和边CD上运动（含端点），设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2-2．（24-25高一下·上海·月考）等腰梯形中，，，，底边的中点为，动点，分别在腰，（包含端点）上，且．若其中，，则的取值范围是______． 变式2-1．（25-26高二上·上海杨浦·开学考试）已知，不共线，，，若平面内任意向量，其中，则实数的取值范围是_______． 变式2-2．如图，正与正组成“六芒星”，为“六芒星”的中心，为“六芒星”上一点（边界上），且，则的取值范围是______． 变式2-3．在中，点在线段上，且满足，点为线段上任意一点（除端点外），若实数，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．9 变式2-4．（24-25高一下·上海普陀·期中）如图，在等腰梯形中，，，为线段上的一个动点． (1)若，，，求的值； (2)若，为线段上一点，且，求实数的值； (3)设，，求的取值范围． 类型三、与向量数量积有关的坐标运算问题 解题技巧： 平面向量数量积的几何与坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 (当且仅当时等号成立) 例3-1．（25-26高三上·上海·期末）已知向量，，若与的夹角不超过，则的范围是______． 例3-2．（25-26高三上·上海·月考）若，，与的夹角是钝角，那么实数m的取值范围是________． 例3-3．平面内有向量，，，点为直线上的一个动点． （1）当取最小值时，求的坐标； （2）当点满足（1）的条件和结论时，求的值． 变式3-1．（2025·上海嘉定·一模）已知向量，，，为直线上的一个动点，当取最小值时，向量的坐标为_____. 变式3-2．（24-25高一下·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系中，已知向量．若，且和的夹角为锐角，则实数的取值范围为_________． 变式3-3．（24-25高一下·上海·月考）如图，设Ox、Oy是平面内相交成的两条射线，分别为Ox、Oy同向的单位向量，定义平面坐标系xOy为α仿射坐标系，在α仿射坐标系中，若则记 (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在α仿射坐标系中，若且与的夹角为,求的值; (3)如图所示，在仿射坐标系中，B、C分别在x轴、y轴正半轴上，分别为中点，求的最大值． 变式3-4．（24-25高一下·上海·月考）已知，单位向量的夾角为．若向量，则把有序数对叫做向是由表示的“斜坐标”，记． (1)设，若，求的值； (2)若，求在上的投影的“斜坐标”； (3)若，若，求的取值范围． 类型四、线段的定比分点应用问题 解题技巧： 如果点P是直线上异于点的任一点，设，那么就叫做点P分向量所成的比.设O为平面内另外一点，则有 ①向量法证明 已知，因为，所以.展开可得：.移项合并同类项：，即，两边同时除以()，得到. ②坐标法证明 设，因为，，且，所以可得方程组：，解第一个方程同理，解第二个方程可得 例4．已知点，点为直线上一点，且，求点的坐标. 变式4-1．（23-24高二上·上海嘉定·月考）已知，，点在线段延长线上，且，则点P的坐标为__________. 变式4-2．在中，，，，.则= . 变式4-3．已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标是_______． 变式4-4．（23-24高一下·上海闵行·期末）已知点，，若，则点的坐标是______． 类型五、三角形四心的向量表示及应用 解题技巧： 1.三角形四心的向量表示 （1）常见内心的向量表示： ①（或） 其中分别是的三边的长 ②，则点的轨迹一定经过三角形的内心 （注：向量()所在直线过内心(是角平分线所在直线)） （2）常用外心的向量表示： ① ② 变形：P为平面ABC内一动点，若 ，则为三角形的外心 （3）常见重心的向量表示： 设是的重心，为平面内任意一点. ① ②，，， ③若，则点的轨迹一定经过三角形的重心. 注：若、、，重心坐标为. 若，则点经过的重心 （4）常见垂心的向量表示 ① 证明：因为，所以，所以，同理可得，，所以O为垂心 ② 2.四心问题的解题策略 （1）破解内心问题，主要是利用了平面向量的共线法，通过构造与角平分线共线的向量，即两个单位向量的和向量。拓展：是平面上一定点，，，是平面上不共线的三个点，动点满足，证明的轨迹一定通过的内心 （2）破解外心问题，关键是运用平面向量的加减法和数量积的运算，结合数量积的运算律从而得到三角形的外心 （3）破解重心问题，关键是利用平面向量加法的几何意义 例5-1．已知O是△ABC所在平面上的一点，若，则点O是△ABC的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 例5-2．已知是所在平面上一点，若，则是的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 例5-3．已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足：，则点为三角形的 A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 例5-4．已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 变式5-1．O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：，则直线AP一定通过的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 变式5-2．已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 变式5-3．已知点O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则点P的轨迹一定通过的（　　） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 变式5-4．已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（    ） A． 外心 B．重心 C．垂心 D．内心 类型六、奔驰定理的应用问题 解题技巧： 1.奔驰定理：设是内一点，的面积分别记作则. 注：若为内一点，且满足，则、、的面积之比等于 证明：如图，令，即满足 ，，，故. 2.三角形四心与奔驰定理的关系 ①是的重心：． 证明：由重心分三角形面积相等及奔驰定理易得 ②是的内心： 证明：，，（为内切圆的半径），所以 ，再由奔驰定理可得 ③是的外心：． 证明：，由同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，所以（为外接圆的半径），同理可得，，所以，再由奔驰定理可得 ④是的垂心： 证明：如图为的垂心，则有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔驰定理可得 例6．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，的面积分别为，则有．设O是锐角内的一点，分别是的三个内角，以下命题不正确的是（    ） A．若，则O为的重心 B．若，则 C．若，，则 D．若O为的垂心，则 变式6-1．在面上有及内一点满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为，，，现有，则为的 心. 变式6-2．设点P在内且为的外心，，如图.若的面积分别为，x，y，则的最大值是________. 变式6-3．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题不正确的是（    ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 变式6-4．定理：如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用. 已知点在内部，有以下四个推论： ①若为的重心，则； ②若为的外心，则； ③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对. ④若为的垂心，则. 试用“奔驰定理”或其它方法解决下列问题. (1)点在内部，满足，求的值； (2)点为内一点，若，设，求实数和的值； (3)用“奔驰定理”证明推论②. 压轴专练 1.设是平面向量的一个基．已知非零向量，其中，给出下列四个命题：①；②且；③；④；其中真命题的序号是（    ） A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 2.如图，在中，已知，，P是线段与的交点，若，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 3.向量与在上的投影向量均为，，当最大时，则（     ） A． B．6 C．12 D．16 4.已知向量，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5.已知，，，，则下列结论错误的是（  ） A．若是的重心，则 B．若是的内心，则 C．若是的垂心，则 D．若是的外心，则 6.瑞典人科赫提出了著名的“雪花”曲线，这是一种分形曲线，它的分形过程是：从一个正三角形(如图①)开始，把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段，这样就得到一个六角形(如图②)，所得六角形共有12条边.再把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段.反复进行这一分形，就会得到一个“雪花”样子的曲线，这样的曲线叫做科赫曲线或“雪花”曲线.已知点O是六角形的对称中心，A，B是六角形的两个顶点，动点P在六角形上(内部以及边界).若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.已知，，，且，则点M的坐标为______. 8.（24-25高一下·上海·期中）已知平面上四个点，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为_________． 9.（24-25高一下·上海·期中）已知平面向量，，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________． 10.（24-25高二上·上海·开学考试）设定义域为的函数的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点是C上任意一点，向量，且满足，又设向量，现定义函数在上“可在标准k下线性近似”是指恒成立，其中为常数.给出下列结论： ①A、B、N三点共线； ②直线MN的法向量可以为； ③函数在上“可在标准1下线性近似”； ④函数在上“可在标准k下线性近似”，则. 其中所有正确结论的序号为_______. 11.（1）已知点，点是直线上一点，且，求点的坐标； （2）已知与的夹角为，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 12.在中，. （1）如图1，若点为的重心，试用、表示； （2）如图2，若点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（包含、两个端点），且，设，求的取值范围； （3）如图3，若点为外接圆的圆心，设，求的最小值. 13.（24-25高一下·上海·期中）如图所示，设是平面内相交成 角的两条数轴，分别是与 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下 ， 则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为. (1)若，求的模长； (2)若，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由； (3)设，若对恒成立，求 的最大值. 14.如图，点分别是矩形的边上的两点，，. (1)若、分别为、的中点，求； (2)若，求的范围； (3)若，连接交的延长线于点为的中点，试探究线段上是否存在一点，使得最大.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $