6.2.3组合 同步练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2.3组合 知识归纳与试题检测(学生版) 【1】问题式教材知识归纳 1.组合的概念：一般地，从n个不同对象中取出个对象_____________，称为从n个不同对象中取出m个对象的_________. 2．如何理解组合定义中“作为一组”？ 3.组合对元素有何要求？ 4．组合是有放回抽取还是无放回抽取？ 5．如何理解组合的定义？ 6．组合与排列的区别与联系是什么？ 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 2．下列问题中不是组合问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线 C．集合的含有三个元素的子集有多少个 D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 3．下列问题中，组合问题的个数是（    ） ①从全班50人中选出5人组成班委会； ②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员； ③从1，2，3，…，9中任取出两个数求积； ④从1，2，3，…，9中任取出两个数求差或商. A．1 B．2 C．3 D．4 4．从10个不同的非零的数中任取2个数，求其和、差、积、商这四个问题中，属于组合的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．给出三个事件：①10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种不同的分法？②从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列构成一个三位数，这样的三位数共有多少个？③10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？其中是组合问题的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 二、多选题 7．下列问题是组合问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段 C．集合含有三个元素的子集有多少个 D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 8．下列问题中，属于组合问题的是（    ） A．10支战队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少次比赛 B．10支战队以单循环进行比赛，这次比赛的冠、亚军获得者有多少种可能 C．从10名员工中选出3名参加同一种的娱乐活动，有多少种选派方法 D．从10名员工中选出3名分别参加不同的娱乐活动，有多少种选派方法 9．给出下面几个问题，其中是组合问题的有（    ） A．由1，2，3，4构成的含有2个元素的集合个数 B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数 C．由1，2，3组成两位数的不同方法数 D．由1，2，3组成的无重复数字的两位数的个数 三、填空题 10．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，请列举出由其中每3点为顶点的所有三角形________． 11．下列问题中，属于组合问题的是________．（填序号） ①从1，3，5，9中任取两个数相加，所得不同的和； ②平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数； ③从甲、乙、丙三名同学中选两人参加不同的两项活动． 12．“从2，3，4，5四个数中任取2个数作为对数式的底数与真数，得到的对数的个数有多少”是________问题．（用“排列”或“组合”填空） 四、解答题 13．（1）写出从，，，，五个元素中任取两个不同元素的所有组合； （2）写出从，，，，五个元素中任取两个不同元素的所有排列． 14．判断下列问题是排列问题还是组合问题． (1)设集合，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？ (2)某高铁线上有5个车站，则这条高铁线上共需准备多少种二等座车票？有多少种不同的二等座火车票价？（往返票价一致） (3)从2，3，5，7，9中任取两个不同的数做乘法，其结果有多少种？若任取两个不同的数做除法，其结果有多少种？ 15．写出从A，B，C，D，E 5个元素中，依次取3个元素的所有组合. 16．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，试设计一种选取方案，它是一个排列问题，还是一个组合问题？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.3组合 知识归纳与试题检测(详解版) 【1】问题式教材知识归纳 1.组合的概念：一般地，从n个不同对象中取出个对象_____________，称为从n个不同对象中取出m个对象的_________. 【答案】 并成一组 一个组合 2．如何理解组合定义中“作为一组”？ 【答案】“作为一组”是指取出的m个不同的元素没有位置（顺序）的要求． 3.组合对元素有何要求？ 【答案】组合要求元素是互不相同的，即从个不同元素中取出个元素. 4．组合是有放回抽取还是无放回抽取？ 【答案】组合是从个不同元素中取出个元素并成一组，不考虑元素的顺序。 因为是从个不同元素中选取，所以是无放回抽取. 5．如何理解组合的定义？ 【答案】（1）取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的本质． （2）只要两组合中的元素完全相同，则无论元素的顺序如何，都是相同的组合． 6．组合与排列的区别与联系是什么？ 【答案】组合与排列的共同点是都要“从n个不同元素中取出个元素”，但是排列是需要把这m个元素进行排序，而组合则不需要排序，只需要选出来即可．在解决实际问题的过程中，就是以此来区分是排列问题还是组合问题的． 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【答案】C 【知识点】排列的意义理解、组合意义理解 【分析】根据排列和组合的概念可确定选项. 【详解】A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. C. 从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题. D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. 故选：C. 2．下列问题中不是组合问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有9个不同点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线 C．集合的含有三个元素的子集有多少个 D．从高二（6）班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 【答案】D 【知识点】组合意义理解 【分析】根据组合的性质逐一判断即可. 【详解】因为两人握手没有顺序之分，所以选项A问题是组合问题； 因为两点组成直线没有顺序之分，所以选项B问题是组合问题； 因为集合元素具有无序性，所以选项C问题是组合问题； 因为这2名学生参加的节目有顺序之分，所以选项D问题不是组合问题， 故选：D 3．下列问题中，组合问题的个数是（    ） ①从全班50人中选出5人组成班委会； ②从全班50人中选出5人分别担任班长、副班长、团支部书记、学习委员、生活委员； ③从1，2，3，…，9中任取出两个数求积； ④从1，2，3，…，9中任取出两个数求差或商. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】组合意义理解、排列的意义理解 【分析】根据组合的定义逐一分析即可得出答案. 【详解】解：对于①，从50人中选出5人组成班委会，不考虑顺序是组合问题.②为排列问题.对于③，从1，2，3，…，9中任取两个数求积是组合问题.因为乘法满足交换律，而减法和除法不满足，故④为排列问题. 所以组合问题的个数是2个. 故选：B. 4．从10个不同的非零的数中任取2个数，求其和、差、积、商这四个问题中，属于组合的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】组合意义理解 【分析】根据加法、减法、乘法、除法的运算律确定正确答案. 【详解】因为减法和除法运算中交换两个数的位置对计算结果有影响， 而加法和乘法运算满足交换律，交换两个数的位置对计算结果没有影响. 所以属于组合的有和、积，共2个. 故选：B 5．给出三个事件：①10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多少种不同的分法？②从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列构成一个三位数，这样的三位数共有多少个？③10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？其中是组合问题的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】组合意义理解、排列的意义理解 【分析】根据排列问题与顺序有关，而组合问题与顺序无关，对每一个选项进行分析其是否与顺序有关，从而可得答案. 【详解】①10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，与顺序无关，所以为组合问题. ②从1，2，3，…，9九个数字中任取3个，由小到大排列构成一个三位数 只需选出3个数字，选出后顺序固定，不需要排序，所以为组合问题. ③10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，因为两人之间只握手一次即可， 所以该问题与顺序无关，是组合问题. 所以①②③均与顺序无关，所以都是组合问题. 故选：D 6．给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 【答案】C 【知识点】组合意义理解 【分析】根据组合的定义分别判断即可. 【详解】对于①，集合的元素与顺序无关，故①是组合问题； 对于②，从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动与顺序有关，故②是排列问题； 对于③，从7本不同的书中选出5本给某一个同学，与顺序无关，故③是组合问题； 对于④，因为飞机有起始站与终点站，故四个城市之间需要准备的飞机票的种数与顺序有关，故④是排列问题； 对于⑤，因为书是相同的，所以问题就等价于从5人中选出3人，故⑤是组合问题． 故选：C． 二、多选题 7．下列问题是组合问题的是（    ） A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段 C．集合含有三个元素的子集有多少个 D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 【答案】ABC 【知识点】组合意义理解、排列的意义理解 【分析】利用组合和排列的定义判断. 【详解】A. 10个朋友聚会，每两人握手一次，与次序无关，故是组合问题； B.平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点，与次序无关，故是组合问题； C. 集合含有三个元素的子集，与次序无关，故是组合问题； D.选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱节目、乙参加独舞节目”与“乙参加独唱节目、甲参加独舞节目”是两个不同的选法，与次序无关，因此是排列问题，不是组合问题． 故选：ABC 8．下列问题中，属于组合问题的是（    ） A．10支战队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少次比赛 B．10支战队以单循环进行比赛，这次比赛的冠、亚军获得者有多少种可能 C．从10名员工中选出3名参加同一种的娱乐活动，有多少种选派方法 D．从10名员工中选出3名分别参加不同的娱乐活动，有多少种选派方法 【答案】AC 【知识点】排列（数）与组合（数）的区别、组合意义理解 【分析】区分一个具体问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无顺序.有顺序就是排列问题；无顺序就是组合问题,. 【详解】A是组合问题，因为每两个队进行一次比赛，并没有谁先谁后，没有顺序的区别.； B是排列问题，因为甲队获得冠军、乙队获得亚军和甲队获得亚军、乙队获得冠军是不一样的，存在顺序区别； C是组合问题，因为3名员工参加相同的活动，没有顺序区别； D是排列问题，因为选的3名员工参加的活动不相同，存在顺序区别， .故选：AC. 9．给出下面几个问题，其中是组合问题的有（    ） A．由1，2，3，4构成的含有2个元素的集合个数 B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数 C．由1，2，3组成两位数的不同方法数 D．由1，2，3组成的无重复数字的两位数的个数 【答案】AB 【知识点】排列（数）与组合（数）的区别、组合意义理解 【分析】要判断是不是组合问题，关键是注意区分组合问题与排列问题，只选不排为组合，既选又排为排列，即看问题中需不需要考虑顺序，而对于一些没有明显的表明排序的字词时，我们可以改变所选元素的顺序，如果得到的新组合与旧组合在问题中是两个不同的组合，则是排列问题，反之，如果新组合与旧组合在问题中是一样的组合，则为组合问题. 【详解】A选项中集合的元素可以是无序的，即：集合与集合是相同的集合，故A选项为组合问题； B选项中五个队单循环比赛，即每个队伍只与不同的队比赛一次， 例如：1队2队，1队3队，1队4队，1队5队，2队3队，2队4队，2队5队，3队4队，3队5队，4队5队，故B选项为组合问题； C选项中如选1，2两个数字，则有两位数12，或者两位数21，很明显21和12是满足要求的两个不同的组合，为排列问题； 如选重复数字组成的两位数，11、22、33，则不需要考虑顺序，为组合问题，故C选项中既有排列也有组合； D选项与C选项类似，故D选项为排列问题. 故选：AB. 三、填空题 10．已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，请列举出由其中每3点为顶点的所有三角形________． 【答案】△ABC，△ABD，△ACD，△BCD 【知识点】组合意义理解 【分析】根据题意从4个点中任取3个点即可 【详解】由于与顺序无关，所以是组合问题， 所以共有4个：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD． 故答案为：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD 11．下列问题中，属于组合问题的是________．（填序号） ①从1，3，5，9中任取两个数相加，所得不同的和； ②平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段的条数； ③从甲、乙、丙三名同学中选两人参加不同的两项活动． 【答案】①② 【知识点】排列的意义理解、组合意义理解 【分析】根据排列、组合的定义逐个分析判断. 【详解】对于①，两个数的和与顺序无关，故是组合问题； 对于②，两点为端点的线段与顺序无关，故是组合问题； 对于③，选出的同学参加不同的活动，与顺序有关，故是排列问题． 故答案为：①②． 12．“从2，3，4，5四个数中任取2个数作为对数式的底数与真数，得到的对数的个数有多少”是________问题．（用“排列”或“组合”填空） 【答案】排列 【知识点】排列的意义理解、组合意义理解 【分析】根据排列、组合的定义结合题意分析判断. 【详解】对数式的值，与a，b取值顺序有关，属于排列问题． 故答案为：排列． 四、解答题 13．（1）写出从，，，，五个元素中任取两个不同元素的所有组合； （2）写出从，，，，五个元素中任取两个不同元素的所有排列． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【知识点】组合意义理解、排列的意义理解 【分析】（1）利用组合的定义即可得出； （2）利用排列的定义即可得出； 【详解】（1）从个元素，，，，中任取两个不同元素的所有组合有： ，，，，，，，，，； （2）从个元素，，，，中任取两个不同元素的所有排列有： ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，. 14．判断下列问题是排列问题还是组合问题． (1)设集合，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？ (2)某高铁线上有5个车站，则这条高铁线上共需准备多少种二等座车票？有多少种不同的二等座火车票价？（往返票价一致） (3)从2，3，5，7，9中任取两个不同的数做乘法，其结果有多少种？若任取两个不同的数做除法，其结果有多少种？ 【答案】(1)组合问题 (2)车牌属于排列问题，票价属于组合问题 (3)做乘法属于组合问题，做除法属于排列问题 【知识点】组合意义理解、排列的意义理解 【分析】（1）从集合中元素的性质得到答案； （2）分析有无顺序问题，从而作出判断； （3）乘法满足交换律，除法不满足交换律，从而作出判断. 【详解】（1）子集中元素具有无序性，故属于组合问题； （2）二等座车票上出发地和目的地有顺序，故属于排列问题， 二等座火车票价（往返票价一致），无顺序问题，为组合问题 （3）因为互质，所以两两之间的积与商都不一致， 而乘法满足交换律，故做乘法属于组合问题， 除法不满足交换律，故做除法属于排列问题. 15．写出从A，B，C，D，E 5个元素中，依次取3个元素的所有组合. 【答案】ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE. 【知识点】组合意义理解 【分析】根据条件按含A，不含A含B，不含A、B三类写出含三个元素的组合即可. 【详解】含A的三个元素有：ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE， 不含A含B的三个元素有：BCD、BCE、BDE， 不含A、B的三个元素有：CDE， 所以取3个元素的所有组合是ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE. 16．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，试设计一种选取方案，它是一个排列问题，还是一个组合问题？ 【答案】答案见解析 【知识点】实际问题中的组合计数问题、组合意义理解 【分析】分两类，一类是从A类中选1门，再从B类中选2门；另一类是从A类中选2门，再从B类中选取1门，组合在一起 【详解】解：分两类，每一类又分两步分别完成： 第1类：A类选修课3门中选1门，再从B类选修课4门中选2门，将它们合在一起，即为一种方案，它是一个组合问题. 第2类：A类选修课3门中选2门，再从B类选修课4门中选1门，将它们合在一起，即为一种方案，它是一个组合问题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $