第03讲 导数与函数的单调性（七大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高二数学春季讲义（人教A版选择性必修第二册）

本高中数学讲义聚焦“导数与函数的单调性”核心知识点，系统梳理导数正负与函数增减性的关系、单调区间确定步骤、二阶导应用及参数问题，构建从基础概念到比较大小、解不等式应用的完整学习支架。 资料通过分层题型设计，从不含参到含参单调性判断，结合各地考题实例，培养学生用数学思维分析问题，借助图表直观呈现导数与函数图象关系，提升数学眼光。课中助力教师系统授课，课后学生可通过变式练习查漏补缺，强化应用意识。

第03讲 导数与函数的单调性 【人教A版】 模块一 利用导数研究函数的单调性 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时， 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 2．确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3．利用二阶导判断单调性 在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是也有些问题“一次求导”不能求出原函数的单调性，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，再判断原函数的单调性，才能解决问题. 4．根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【题型1 判断不含参函数的单调性】 【例1】（24-25高二下·全国·课后作业）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二下·安徽亳州·期末）下列函数在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高二下·全国·课堂例题）利用导数判断下列函数的单调性： (1)； (2)； (3)． 【变式1.3】（24-25高二下·北京·期中）已知曲线在点处的切线为. (1)求切线的方程； (2)讨论函数的单调性. 【题型2 判断含参函数的单调性】 【例2】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性. 【变式2.1】（24-25高二下·广东·月考）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【变式2.2】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·月考）已知函数. (1)试讨论的单调性； (2)当时，求的单调区间. 【变式2.3】（24-25高二下·江西·期末）已知函数，． (1)已知曲线在点处的切线斜率为，求a； (2)讨论的单调性． 【题型3 利用导数求函数的单调区间】 【例3】（24-25高二下·福建莆田·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二下·江西吉安·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二下·天津·月考）已知函数， (1)当时，求曲线在点的切线方程； (2)当时，求的单调区间； 【变式3.3】（24-25高二下·广东佛山·月考）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. (1)求a的值； (2)求函数的单调区间. 【题型4 由函数的单调性求参数】 【例4】（24-25高二下·吉林长春·月考）已知函数 在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二下·辽宁鞍山·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二下·江西南昌·期中）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若在上是增函数，求实数的取值范围． 【变式4.3】（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）已知函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若在区间上单调递减，求a的取值范围． 【题型5 函数与导函数图象之间的关系】 【例5】（24-25高二上·江苏南京·期末）若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的增区间为（   ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高二下·江西·期末）若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高二下·广东·月考）设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ）    A．和 B． C．和 D．和 【变式5.3】（24-25高二下·四川成都·期中）可导函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递减 模块二 导数中函数单调性的应用 1．导数中函数单调性的应用 (1)比较大小：利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. (2)解不等式：与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 【题型6 函数单调性的应用——比较大小】 【例6】（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高二下·广西河池·月考）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高二下·湖南衡阳·期末）定义在上的函数的导函数为，且满足，，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高二下·山东聊城·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【题型7 函数单调性的应用——解不等式】 【例7】（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二下·北京·期末）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【变式7.2】（24-25高二下·云南玉溪·期中）已知函数的图象在处的切线与直线平行，其中为常数. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 【变式7.3】（2025·辽宁·一模）已知函数，曲线在处的切线斜率为2. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 一、单选题 1．（24-25高二下·福建泉州·月考）函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·全国·课后作业）设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   4．（25-26高二下·全国·课后作业）已知函数在区间上均有，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·宁夏·期中）已知，（为自然对数的底数），，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·安徽合肥·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·山东潍坊·期中）设函数是定义在上的奇函数，为其导函数.当时，，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·江西新余·期末）下列函数在上是单调函数的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·江苏苏州·期末）设函数，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·广东东莞·期末）已知为上的偶函数，，为的导函数，且当时，，则（    ） A．当时， B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高二下·广东肇庆·月考）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是___________． 13．（24-25高二下·福建·期中）已知，，，则，，的大小关系为___________．（用“＞”连接） 14．（24-25高二下·江西鹰潭·期中）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是___________． 四、解答题 15．（24-25高二下·河南焦作·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递减，求的取值范围. 16．（2025高二下·全国·专题练习）已知且，且，且，比较，，大小. 17．（24-25高二下·北京海淀·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 18．（24-25高二下·四川资阳·月考）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 19．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若是增函数，求的取值范围； (3)当时，，求的取值范围． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 导数与函数的单调性 【人教A版】 模块一 利用导数研究函数的单调性 1．函数单调性和导数的关系 (1)函数的单调性与导函数f'(x)的正负之间的关系 ①单调递增：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)>0，那么函数y=f(x)在区间(a, b) 上单调递增； ②单调递减：在某个区间(a,b)上，如果f'(x)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. ③如果在某个区间(a,b)内恒有f'(x)=0，那么函数y=f(x)在这个区间上是一个常数函数. (2)函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时， 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些. 常见的对应情况如下表所示. 图象 f'(x)变化规律 f'(x)>0 且越来越大 f'(x)>0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越小 f'(x)<0 且越来越大 函数值变化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 2．确定函数单调区间的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求f'(x)； (3)解不等式f'(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4)解不等式f'(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间. 3．利用二阶导判断单调性 在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是也有些问题“一次求导”不能求出原函数的单调性，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，再判断原函数的单调性，才能解决问题. 4．根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f'(x)≥0(f'(x)≤0)，且在(a,b)内的任一非空子区间上，f'(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解. (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题. 【题型1 判断不含参函数的单调性】 【例1】（24-25高二下·全国·课后作业）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对A，根据解析式判断单调性得解；对B，C，D，求导，利用判断导数正负得解. 【解答过程】对于A，的定义域为，在上单调递增，在上单调递增，不满足在上单调递增，故A错误. 对于B，在上单调递减，不满足在上单调递增，故B错误. 对于C，，满足在上单调递增，故C正确. 对于D，在上单调递减，在上单调递增，不满足在上单调递增，故D错误. 故选：C. 【变式1.1】（24-25高二下·安徽亳州·期末）下列函数在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出导函数，在给定的区间判断导数的正负，从而判断函数的单调性，逐项排除可得答案. 【解答过程】A选项：，时， 所以恒成立，则在区间上单调递增，A错误； B选项：，时， 所以恒成立，则在区间上单调递增，B错误； C选项，， 当时，，所以，是单调递增函数，C错误； D选项，， 时，则恒成立， 所以在区间上单调递减，D正确. 故选：D. 【变式1.2】（24-25高二下·全国·课堂例题）利用导数判断下列函数的单调性： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)在上单调递增． (2)在上单调递增 (3)在上单调递减． 【解题思路】求出导函数以后，根据导函数值的正负情况判断函数的增减区间即可. 【解答过程】（1）因为，，所以， 所以函数在上单调递增． （2）因为，， 所以， 所以在上单调递增． （3）因为，， 所以， 所以在上单调递减． 【变式1.3】（24-25高二下·北京·期中）已知曲线在点处的切线为. (1)求切线的方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在和上单调递增. 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得切线方程； （2）由导函数符号解不等式即可判断得出函数的单调性. 【解答过程】（1）易知，则其斜率为； 又，所以切线方程为， 即切线的方程为. （2）令， 解得，即可得在上单调递减， 令， 解得或，即可得在和上单调递增； 综上可得，在上单调递减，在和上单调递增. 【题型2 判断含参函数的单调性】 【例2】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）先求的导数，再利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线的点斜式方程求解即可. （2）对分类讨论，确定导数符号，得出单调性. 【解答过程】（1）当时，，求导得， 则，又，所以切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得， 当时，有恒成立，函数在单调递减； 当时，由，得，函数在上单调递减； 由，得，函数在上单调递增， 所以当时，函数在单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【变式2.1】（24-25高二下·广东·月考）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）对函数求导，分类讨论当，，，四种情况，通过确定导函数的正负即可判断出函数的单调性. 【解答过程】（1）当时，，，则切点坐标为． 又因为，， 所以在处的切线方程为． （2）由函数求导可得 ． 定义域为， 则①当时，由得， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在单调递增，在上单调递减； ②当时，，在上单调递增； ③当时，由得， 当或时，， 当时，， 故在上单调递增，在单调递增，在单调递减； ④当时，由得， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在递增，上递减，递增； 当时，在上递增； 当时，在递增，递减，递增； 当时，在递减，递增． 【变式2.2】（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·月考）已知函数. (1)试讨论的单调性； (2)当时，求的单调区间. 【答案】(1)答案见解析 (2)单调增区间 【解题思路】（1）求出导函数，按的不同取值分类讨论的符号即可； （2）利用导数的符号判断单调区间即可. 【解答过程】（1）由可得 ，， 令，解得或， ①当时，在小于0，即，单调递减， 在大于0，即，单调递增， ②当时，在，大于0，即，单调递增， 在小于0，即，单调递减， ③当时，在恒成立，即恒成立，当且仅当时等号成立， 所以在单调递增， ④当时，在，大于0，即，单调递增， 在小于0，即，单调递减， 综上所述，当时，在单调递减，在单调递增， 当时，在单调递减，在，单调递增， 当时，在单调递增， 当时，在单调递减，在，单调递增. （2）当时， ，，， 令，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 又因为，所以当时恒成立，即恒成立， 所以在上单调递增， 所以的单调增区间为. 【变式2.3】（24-25高二下·江西·期末）已知函数，． (1)已知曲线在点处的切线斜率为，求a； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）利用导数值为切线斜率，即可求参数； （2）利用分类讨论思想，即可判断导数正负，从而可得函数单调区间. 【解答过程】（1）求导得：． 由题意得，所以． （2）的定义域为． 当时， 令，解得，此时在上单调递增， 令，解得，此时在上单调递减． 当时，令，解得或1． ①当，即时， 令，解得或，令，解得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； ②当，即时， 在上恒成立，所以在上单调递增； ③当，即时， 令，解得或，令，解得， 此时在和上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 【题型3 利用导数求函数的单调区间】 【例3】（24-25高二下·福建莆田·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导，即可求解. 【解答过程】由，得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 故选：B. 【变式3.1】（24-25高二下·江西吉安·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对函数求导，令，求解即可. 【解答过程】定义域为，由题意得， 令，解得， 所以函数的递减区间为， 故选：D. 【变式3.2】（24-25高二下·天津·月考）已知函数， (1)当时，求曲线在点的切线方程； (2)当时，求的单调区间； 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为， 【解题思路】（1）求出，求导，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求定义域，求导，对导函数因式分解，解不等式，求出单调区间. 【解答过程】（1）时，，， ，， 故曲线在点的切线方程为，即； （2）的定义域为R， ， 时，，令得， 令得或， 故的单调递增区间为，单调递减区间为，. 【变式3.3】（24-25高二下·广东佛山·月考）已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. (1)求a的值； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为. 【解题思路】（1）对函数求导，由导数的几何意义得切线的斜率，利用两直线平行，斜率相等即可求得a的值； （2）对函数求导，利用导数研究函数的单调性即可求解. 【解答过程】（1）函数，则， 则，而直线的斜率为， 因为曲线在点处的切线与直线平行， 则，解得， （2）由（1）可知，所以，定义域为， ， 令，即，化简可得，解得， 当时，函数单调递增。由，即，解得或， 所以的单调递增区间为和， 当时，函数单调递减，由，即，解得， 所以的单调递减区间为； 综上， 的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【题型4 由函数的单调性求参数】 【例4】（24-25高二下·吉林长春·月考）已知函数 在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对函数求导并根据其单调区间得出不等式，求得相应最小值可得结果. 【解答过程】由题意可知， 因为函数在上存在单调递减区间， 则在上有解，可得，所以． 令，则， 显然，可知函数单调递增，则， 即，所以实数的取值范围是． 故选：C. 【变式4.1】（24-25高二下·辽宁鞍山·期中）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题可得在上恒成立，即，据此可得答案. 【解答过程】， 因在上单调递减，则在上恒成立，又， 则在上恒成立. 由于开口向上，且在上只可能有最小值， 则要使在上恒成立，只需. 注意到时，，当时，， 则，满足题意； 当时，在上单调递减，则 ，则，满足题意. 综上可得满足题意.意. 故选：C. 【变式4.2】（24-25高二下·江西南昌·期中）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若在上是增函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为； (2). 【解题思路】（1）求导，利用求得，根据导函数值的正负求单调区间； （2）利用导函数表示函数的单调性，分离参数，利用函数的最值求参数的取值范围. 【解答过程】（1）由求导可得， 则，解得. 将代入得，， 令，得或；令，得. 所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是． （2）因为在上是增函数，所以在上恒成立， 分离参数可得， 当时，是增函数，所以，当时，取最小值为， 所以，则实数的取值范围是． 【变式4.3】（24-25高二下·辽宁沈阳·期末）已知函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若在区间上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）当时，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解； （2）根据题意，转化为时，恒成立，设，求得，得到函数的单调性，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】（1）解：当时，可得，则， 所以，所以的图象在处的切线方程为， 即． （2）解：由函数，可得， 因为在区间上单调递减，所以当时，恒成立， 设，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 【题型5 函数与导函数图象之间的关系】 【例5】（24-25高二上·江苏南京·期末）若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由的图象，分类讨论，求得的符号，得到函数的递增区间，即可求解. 【解答过程】由函数的图象，可得： 当时，可得，所以，单调递减； 当时，可得，所以，单调递增； 当时，可得，所以，单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 【变式5.1】（24-25高二下·江西·期末）若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】结合图象，利用导数与函数单调性间的关系，得和时，的取值范围，即可求解. 【解答过程】由图可知的减区间为，，增区间为， 所以当时，，当时，， 又由图知，当时，，当时，， 所以的解集为， 故选：B. 【变式5.2】（24-25高二下·广东·月考）设函数的导函数为，若的图象如图所示，则的单调递减区间为（    ）    A．和 B． C．和 D．和 【答案】A 【解题思路】根据导数正负与单调性关系，结合图像逐个判断. 【解答过程】根据的图象可知，当时，， 当时，， 所以在内单调递减，在内单调递增， 故BCD错误，A正确. 故选：A. 【变式5.3】（24-25高二下·四川成都·期中）可导函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递减 【答案】C 【解题思路】根据图象确定在各个区间的正负，从而得到在各个区间上的单调性，进而做出判断. 【解答过程】由图象可知，在上，在上， 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 所以在，，上不单调，故A，B，D错误， 在上单调递增，故C正确. 故选：C． 模块二 导数中函数单调性的应用 1．导数中函数单调性的应用 (1)比较大小：利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. (2)解不等式：与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f'(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 【题型6 函数单调性的应用——比较大小】 【例6】（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过构造函数并利用导数判断函数单调性，结合单调性比较大小. 【解答过程】，，. 设，，则， 因此在内单调递增，而，所以在内. 故，进而，即. 设，，则，因此在内单调递增，而，所以在内. 故，进而，即. 故 故选：A. 【变式6.1】（24-25高二下·广西河池·月考）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过构造函数，利用函数的单调性来比较、、的大小. 【解答过程】设，对其求导，可得. 令，即，因为恒成立，所以，解得. 当时，，，函数单调递增； 当时，，，函数单调递减. 已知，，. 因为，且在上单调递增，在上单调递减，所以，. 又因为，，且在上单调递减，，所以，即. 综上可得，即. 、、的大小关系为. 故选：A. 【变式6.2】（24-25高二下·湖南衡阳·期末）定义在上的函数的导函数为，且满足，，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，可得，单调递增，，单调递减，所以，，，，从而对各个选项分别进行求解即可. 【解答过程】根据题意，定义在上的函数的导函数满足， 所以，， 令，，则，， 所以单调递增，单调递减， 又，， 所以，，，， 因为单调递增，单调递减， 所以，， 又，所以，故A错误； 同理，，， 所以，故B错误； ，所以，故C正确； ，， 所以，故D错误. 故选：C. 【变式6.3】（24-25高二下·山东聊城·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】构造函数，利用其单调性即可比较得，再根据幂函数的单调性即可比较出. 【解答过程】设，，则在上恒成立， 则在上单调递增，则在上恒成立， 设，， 故在上单调递增， 有， 故. ，，则. 综上. 故选：A. 【题型7 函数单调性的应用——解不等式】 【例7】（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性即可求解不等式. 【解答过程】即，即 令， 则， 依题意，，即， 因此，，可得在上单调递减， 又因为， 所以等价于，由单调性可得，即. 故选：B. 【变式7.1】（24-25高二下·北京·期末）奇函数和偶函数的定义域均为，当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】构造函数，根据函数的奇偶性和导数情况得出该函数的单调性，再结合即可分析求解. 【解答过程】令, 则， 所以为奇函数，故. 因为当时，， 所以当时，， 故在上单调递增. 因为为奇函数，所以在上也单调递增. 又， 所以当时， 当时， 所以不等式的解集为. 故选：A. 【变式7.2】（24-25高二下·云南玉溪·期中）已知函数的图象在处的切线与直线平行，其中为常数. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，在处的切线的斜率等于，据此求解； （2）利用导数判断的单调性，进而利用单调性解不等式. 【解答过程】（1）， 在处的切线与直线平行， ， （2）函数的定义域为， 和都大于0，可得 又 所以在上单调递减                又  所以，解得：或 因此原不等式的解集为． 【变式7.3】（2025·辽宁·一模）已知函数，曲线在处的切线斜率为2. (1)求的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用导数的几何意义由可计算，由可计算； （2）利用导数求出的单调性，判断的奇偶性，利用奇偶性、单调性解不等式即可. 【解答过程】（1）， 所以， 由题意可得，所以， 所以，所以. 所以. （2）由（1）知，所以， 所以在上单调递增， ， 所以为奇函数， ，即， 即， 所以，即， 即，解得， 所以不等式的解集为. 一、单选题 1．（24-25高二下·福建泉州·月考）函数的单调减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求导，令导数小于零求解． 【解答过程】函数的定义域为， ， 由得，所以的单调减区间为. 故选：D. 2．（25-26高二下·全国·课后作业）设函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用导数求出函数的单调减区间，即可求解． 【解答过程】的定义域为， 由，解得． 由题意知， 解得． 故选：A. 3．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解. 【解答过程】由的图象可知：当和时，，故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增， 故B正确， 故选：B. 4．（25-26高二下·全国·课后作业）已知函数在区间上均有，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，则在上递减，由单调性进行求解． 【解答过程】根据题意，由，得． 令，则在上递减，由单调性知， 当时，必有， 即，移项整理，得． 故选：B. 5．（24-25高二下·宁夏·期中）已知，（为自然对数的底数），，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，利用导函数求出的单调性进而比较大小即可. 【解答过程】令，则， 令解得，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因为，，， 而，所以，即， 故选：B. 6．（24-25高二下·安徽合肥·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】可知在区间上有解，,等价于在区间上有解，结合存在性问题分析求解即可. 【解答过程】由，得， 若在区间上存在单调递减区间， 则在区间上有解， 可得在区间上有解， 又因为在区间上单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：D． 7．（24-25高二下·江苏南通·月考）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据导数，利用分离参数求解在恒成立时，进而根据衔接点处的函数值关系即可求解. 【解答过程】当时，，此时为单调递增函数，且， 当时，则， 要使得在上单调递增，则需要在恒成立， 故在恒成立，即在恒成立 由于，当且仅当时取到等号， 故，即， 又，即， 综上可得， 故选：C. 8．（24-25高二下·山东潍坊·期中）设函数是定义在上的奇函数，为其导函数.当时，，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，得到其定义域，奇偶性，求导得到其单调性，从而分和两种情况，得到不等式解集，求出答案. 【解答过程】令，的定义域为，故的定义域为， 则， 当时，，故在上恒成立， 故在上单调递增， 又是定义在上的奇函数，故， 所以， 所以为偶函数，，则，故 在上单调递减， 当时，，即， 由于在上单调递增，故， 当时，，即， 由于在上单调递减，故， 则不等式的解集为. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二下·江西新余·期末）下列函数在上是单调函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解题思路】根据导函数确定函数单调性即可. 【解答过程】对于A，，在上单调递增，故A正确； 对于B，，在上单调递减，故B正确； 对于C，，令，令， 故在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于D，，令，令， 在上单调递减，在上单调递增，故D错误； 故选：AB. 10．（24-25高二下·江苏苏州·期末）设函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】求导研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可判断AB，举反例判断C，按照、和分类讨论的符号即可判断D. 【解答过程】设，则， 令，即，解得， 当时，，即函数单调递增， 当时，，即函数单调递减， 因为，所以，故A正确； 因为，所以，又， 且，所以，所以，故B正确； 当时，，故选项C错误； ，当时，， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上，，故D正确. 故选：ABD. 11．（24-25高二下·广东东莞·期末）已知为上的偶函数，，为的导函数，且当时，，则（    ） A．当时， B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】设函数，根据条件，求导分析函数的单调性，结合函数的奇偶性，逐项判断真假即可. 【解答过程】设，则 ， 当时，，，所以， 所以在上单调递减， 又为上的偶函数，所以为上的奇函数， 所以在上也是单调递减， 又，所以，； 对A：当时， ， 因为，所以，故A正确； 对B：因为在上单调递减，所以， 即 ，故B错误； 对C：因为在上单调递减， 所以 ，故C正确； 对D：因为在上单调递减，所以， 即 ， 又，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高二下·广东肇庆·月考）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】由题意可知：存在区间，使得，利用参变分离结合存在性问题分析求解. 【解答过程】， 由题意可知：在区间有解，整理得， 即不等式 在区间 内有解，因为 ，所以 ， 要使 在 内有解，需 小于 的上界，即 ， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13．（24-25高二下·福建·期中）已知，，，则，，的大小关系为___________．（用“＞”连接） 【答案】 【解题思路】根据对数的运算化简，再构造，利用导数得出单调性即可比较大小． 【解答过程】∵，，， ∴设，，得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ，，， 根据单调性可知，，∴， 故答案为：． 14．（24-25高二下·江西鹰潭·期中）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是___________． 【答案】 【解题思路】设，求导确定单调性，又从而有单调性可得不等式解集. 【解答过程】设，则， 所以在上单调递减， 又，由， 即，所以，则，不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二下·河南焦作·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上单调递减，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，再根据点斜式直线方程求解即可； （2）由题意，分离参数得，令，，利用导数求解的最大值，即可得解. 【解答过程】（1）若，则，， 所以又， 所以曲线在点处的切线方程为即. （2）因为在上单调递减，所以当时，， 即，亦即. 令，，则，故在上单调递增， 所以. 要使，只需，故的取值范围是. 16．（2025高二下·全国·专题练习）已知且，且，且，比较，，大小. 【答案】 【解题思路】构造，则，， ，求导得到的单调性，从而比较出大小. 【解答过程】构造，，故， 同理可得， . ，当时，，当时，， 故在递减，在上递增， 又，，，故， 在递减，故， 又，在上递增，由“函数值大则自变量大”，得. 17．（24-25高二下·北京海淀·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调增区间为和，单调递减区间为 【解题思路】（1）由先求出，再求导数，进而求出，即可根据直线方程的点斜式求出切线方程； （2）先求函数的定义域，再解不等式和，即可求出的单调区间. 【解答过程】（1）因为，所以. 因为 ， 所以， 所以在点处的切线方程为， 即； （2）函数的定义域为，因为恒成立，恒成立， 所以令，解得或，令，解得， 所以函数的单调增区间为和，单调递减区间为. 18．（24-25高二下·四川资阳·月考）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)函数单调递减区间为，单调递增区间为 (2)答案见解析 【解题思路】（1）利用求导并因式分解，再结合定义域，即可由导数的正负确定函数的单调区间； （2）利用求导，再通过对参数的分类讨论，来决定导数的正负，从而确定函数的单调区间. 【解答过程】（1）由，可得， 因为定义域，所以由，解得， ，解得， 即在上单调递减，在上单调递增． （2）由函数的定义域为，且， 若，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 若，令，解得或， ①若，即时， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ②若，即时， 当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ③若，即时，可得且等号不恒成立， 所以函数的单调递增区间为． ④若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 19．（24-25高二下·福建漳州·期中）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若是增函数，求的取值范围； (3)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）将问题转化为在区间上恒成立． 构造，即可求导，根据导数求解函数的单调性，进而求解最值求解， （3）根据函数的单调性，结合零点存在性定理即可求解. 【解答过程】（1）的定义域为，． 当时，，，所以，． 因此，曲线在处的切线方程为． （2）因为是增函数，所以在区间上恒成立． 设，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以的最小值为． 因此，，即，经检验符合题意，所以的取值范围为． （3）由（2）可知，当时，单调递增． ①若，由（2）可知，所以在上单调递增， 所以当时，，所以符合题意； ②若，则，， 所以存在，使得，且当时，， 所以在上单调递减，所以当时，， 这与当时，矛盾，所以不合题意，舍去； 综上可得，实数的取值范围为． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $