江苏连云港市灌南县惠泽高级中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学模拟卷

高二年级期末考试数学模拟卷 一、单选题 1．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（   ）    A． B． C． D． 2．已知平面向量与的夹角为，，则（    ） A．2 B． C． D． 3．在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．某会场的座位呈扇形分布，第一排有15个座位，从第二排起，每一排都比前一排多两个座位，已知该会场能容纳一个700人的代表团，则该会场的座位至少有（    ） A．20排 B．21排 C．22排 D．23排 5．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（   ） A． B． C．2 D．－2 6．已知椭圆的左、右焦点分别为，．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 7．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则该双曲线渐近线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 8．已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9. 下列说法中不正确的有（ ） A.平面中动点到定直线与到定点的距离相等，则点的轨迹为抛物线； B.若，则是函数的极值点； C.若数列是一个等比数列，则 D.若圆、圆的半径分别是，若两圆没有公共点，则 10.已知圆，直线，则（ ） A.若直线与圆相切，则 B.若直线被圆截得的弦长为，则 C.若圆上有个点到的距离为，则 D.过直线的点作圆的切线，切线长的最小值为 11.已知数列的前项和为，下列说法中不正确的是（ ） A.若，则； B.数列为等比数列，，则 C.若为等差数列，前项中偶数项之和，奇数项之和，则 D.若点总在直线上，则数列的前5项和 三、填空题 12．若直线与之间的距离为，则实数 . 13．已知函数在定义域上是增函数，则实数的取值范围为 . 14．已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为 ． 四、解答题 15．在中，角的对边分别为，. (1)求的值； (2)求的面积. 16．已知数列的前项和为，若，且. (1)证明：为等差数列，并求. (2)若，求数列的前项和. 17．已知椭圆的左、右焦点分别是，椭圆上一点满足，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于M，N两点． （i）求的取值范围； （ii）若，求的值． 18．已知函数. (1)求的极小值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)求不等式的解集. 19．已知双曲线 . (1)若双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，求 的值； (2)在(1)的条件下，若过点 且斜率为 的直线与双曲线 有且只有一个公共点，求 的值； (3)若双曲线 的左、右顶点分别为 、 ，过点 的直线 交双曲线 于不同的两点 、 ，连接 并延长交双曲线 于点 ，若 ，求 的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高二年级期末考试数学模拟卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B B A A A D 1．A 【分析】解不等式，求出集合，集合，再求出即可得到答案. 【详解】解不等式得，则， 解不等式得，， 则，则 则图中阴影部分表示的集合是. 故选：A. 2．C 【分析】先由条件求出，再利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】由题意，，，与的夹角为， 故， 则. 故选：C. 3．B 【分析】根据复数的除法将复数转化为复数的代数形式，结合复数的几何意义得到复数对应的点坐标后即可判断. 【详解】依题意，， 所以复数对应的点为， 所以复数对应的点位于第二象限； 故选：B. 4．B 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式列式，再利用单调性确定答案. 【详解】依题意，该会场的座位构成以为首项，2为公差的等差数列，其前项和， 则，显然数列是递增数列， ，由，得， 所以该会场的座位至少有21排. 故选：B 5．A 【分析】求导，根据导数的几何意义可得切线方程，设曲线的切点可得，进而可根据得解. 【详解】由求导得，令得切线斜率， 故在点处的切线方程为，即， 由求导得， 设的切点为， 根据题意可得，即， 又，解得. 故选：A 6．A 【分析】设，根据椭圆的定义以及勾股定理分别表示出，再由离心率计算公式可求结果. 【详解】设，则，由椭圆的定义，得， 因为以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，所以， 在中，，即， 所以离心率， 故选：A． 7．A 【分析】由题意可得，进而得到双曲线渐近线的方程为，再结合选项求解判断即可. 【详解】由题意，可得，解得， 而，则， 所以该双曲线渐近线的方程为， 结合选项，令，解得，满足题意； 令，解得，不满足题意； 令，无解，不满足题意； 令，解得，不满足题意. 综上所述，该双曲线渐近线的方程可以是. 故选：A 8．D 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，可得出，，，结合函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】根据式子结构，构造函数，则， 令，则，令，得， 因此在单调递增，在单调递减， 而，，， 因为，所以，即 故选：D. 9．4或/或4 【分析】根据两平行线之间的距离公式计算即可求解. 【详解】由题意知，直线，可变形为， 所以两平行线与之间的距离为 ，解得或4. 故答案为：或4 10． 【分析】由在恒成立求解. 【详解】函数的定义域为，因为函数在定义域上是增函数， 所以在恒成立， 所以在恒成立，所以 因为，所以. 故答案为：. 【点睛】若在是增函数，则恒成立；若在是减函数，则恒成立. 11． 【分析】由题设可得，进而得到，，进而结合可得，列式计算即可求解. 【详解】抛物线的焦点， 为上一点，轴， 的横坐标为，代入抛物线方程求得的纵坐标为，不妨设， 为轴上一点，且，在的右侧． 又，，， ， ，则的准线方程为． 故答案为：． 12．(1) (2) 【分析】（1）先由求出，再由正弦定理，即可求出结果； （2）先由余弦定理求出，再由三角形面积公式，即可求出结果. 【详解】（1）在中，， ∴， 由正弦定理得，则，∴． （2）由余弦定理得， 则， ∴，解得或（舍） ∴． 13．(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等差数列的定义进行运算证明即可； （2）运用裂项相消法进行求解即可. 【详解】（1）， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； （2）， . 14．(1) (2)（i） （ii） 【分析】根据椭圆的定义求的值即可； （i）联立椭圆和直线，根据有两个交点，计算即可； （ii）将代入（i）中联立的式子，根据弦长公式即可. 【详解】（1）由椭圆的定义可知，即， 又椭圆过点，故 椭圆的方程为. （2）联立 得． 设. （i）易知， 解得 （ii）将代入（i）中联立后的式子得， ， 解得， ． 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）求导得，利用导函数分析单调性，从而得到极小值. （2）将不等式转化为当时，恒成立； 令，则只需即可，令，得到.分和两种情况讨论即可. （3）不等式即，设，利用导数研究其单调性且，所以当时，，当时，，当时，，故不等式的解集为. 【详解】（1）函数定义域为，求导得； 令，得到 ； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 因此，在 处取得极小值. （2）当时，恒成立，即恒成立； 令，则， 令，得到. 当，即时，在上， 函数单调递增，满足条件； 当，即时，当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以函数在处有最小值； 令，则，所以在上单调递减； ，即，不满足条件； 综上所述，实数的取值范围是. （3）不等式即，设，得到； 令，得到，且 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ， 所以当时，，当时，，当时，； 故不等式的解集为. 16．(1) (2) 或 (3) 【分析】(1)根据双曲线的渐近线方程相同，结合 的值，即可得出 的值； (2)由题意可知直线的方程为 ，联立双曲线方程，可得 ， 分 两种情况讨论，结合直线与双曲线只有一个公共点可得出关于 的等式，即可求得 的值; (3)分析可知直线 的斜率不为零，可设直线 的方程为 ，联立双曲线方程，设点 、 ，则 ，列出韦达定理，根据 结合平面向量数量积的坐标运算、韦达定理可得出 ，结合 以及 与 可求出 的取值范围. 【详解】（1）由题意可得双曲线 的渐近线方程为 ， 又双曲线 的渐近线方程为 ， 则 . （2）当 时，双曲线的方程为 ， 由题意可知，直线的方程为 ， 联立 ，得 ， 当 ，即 时，方程(*)即为 ，该方程只有一个解，合乎题意； 当 ，即时，则 ， 解得 . 综上所述， 或 . （3）由题知 、 ， 当直线 的斜率为 0 时，此时 ，不合题意， 则直线 的斜率不为 0， 设直线 的方程为 ， ， 根据 延长线交双曲线 于点 ，由双曲线对称性知 ， 联立有 ， 显然二次项系数 ，其中 ， 由韦达定理可得 ①， ②，     ，则 ， 因为 在直线 上，则 ， 即 ，即 ， 将①②代入有 ， 即 ，化简得 ， 所以 ，代入 ，得 ， 所以 ，且 ，解得 ， 由 ， 把 代入，解得 ，又 ，则 ， 综上， . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $