2.1.3 两角和与差的正切公式课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

第2章 三角恒等变换 2.1.3 两角和与差的正切公式 2.同角三角函数中的商数关系： tan α= . 1.两角和与差的正、余弦公式： . . . . 　 结合左边的式子，你能推导出和的公式吗？ 两角和与差的正切公式的推导 用-β来代替tan(α+β)中的β即可得到tan(α-β). tan（α－β）＝tan[α＋（－β）]＝ ＝ . === =. =. tan（α－β）＝ . 两角和与差的正切公式 结构特征： 1、一个比值 2、“四件套” 3、符号“子同母异” 两个公式有何特点？如何记忆呢？ 分子： 分母： tan α，tan β 1，tan αtan β 研究路径： =. tan（α－β）＝ . 求两角和α+β的正弦、余弦、正切的公式都称为和角公式， 求两角差α－β的正弦、余弦、正切的公式都称为差角公式． 和角公式与差角公式 = =tan（α－β） 两角和与差的正切公式的逆用 1.计算. （1）tan 15°； （2） . 解：（1）原式= （2） 这两个式子有何特点？能否直接 利用两角和与差的正切公式呢？ 　例1 已知tan α=　 ，分别求下列各式的值. 　(1) 　　 　　　；　　　 (2) . 解：(1) 　　因为　tan α=　， 　　所以 议一议：观察得出的结果，并结合右图思考 对于任意角α， 有意义，是否一定有 　　(2) 　　 因为tan α=　，所以 例2 利用两角和(差)的正切公式，求 的值. 解: (方法一)　因为tan 15 ° =tan(45 ° －30 °) 　　 所以 分析：由于15°=45°－30°，因此可以利用差角正切公式先求出tan15°的值，然后再代入原式求解；也可由1=tan 45°，转化待求式的形式，进而直接运用两角和的正切公式求解. (方法二)　 例2 利用两角和(差)的正切公式，求 的值. 解：原式＝ ＝tan（45°－75°）＝tan（－30°）＝－ . － 　 (2)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°= . 解：∵tan 60°==， ∴tan 23°+tan 37°=-tan 23°tan 37°， ∴tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°=. 2. ＝ . (1)分析式子结构，正确选用公式形式： T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一，因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换. (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用： 当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1=tan”“=tan”，这样可以构造出利用公式的条件，从而可以进行化简和求值. 1.利用公式T(α±β)化简求值的两点说明 要点归纳 12 T(α+β)的变形： tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)； tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β)； tan αtan β=1-. T(α-β)的变形： tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β)； tan α-tan β-tan αtan βtan(α-β)=tan(α-β)； tan αtan β=-1. 知识归纳 2.公式T(α±β)的常用变形： 3.在△ ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则 cos C ＝（　B　） A. － B. C. D. － 解析：由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得 ＝－1， 即tan（ A ＋ B ）＝－1， ∵ A ＋ B ∈（0，π），∴ A ＋ B ＝ ，则 C ＝ ， ∴ cos C ＝ . B 1.已知tan α=2，tan β=3，则tan(α+β)等于 A.1　 B.5 　 C.-1　 D.-5 解：tan(α+β)===-1. √ 2.已知α∈，sin α=-，则tan等于 A.-7　 B.-　 C.　 D.7 解：∵α∈，sin α=-， ∴cos α=，∴tan α=-. ∴tan===-. √ 解析：因为tan 67°－tan 22° ＝tan（67°－22°）（1＋tan 67°tan 22°） ＝tan 45°（1＋tan 67°tan 22°） ＝1＋tan 67° tan 22°， 所以tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22° ＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1. 3 tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝ ⁠. 1　 本节课我们解决了哪些问题？你学到了哪些知识与方法？ 1.知识点： (1)两角和与差的正弦公式的推导. (2)给角求值、给值求值、给值求角. (3)公式的正用、逆用、变形用. 2.方法归纳：构造法. 3.常见误区：求值或求角时忽视角的范围. 4.如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)， ∠COD＝α－β，能否求出tan(α－β)和tan(α＋β)的值？ $