精品解析：山西太原太市原新希望双语学校等校2025-2026学年第一学期 七年级数学期末试卷

2025~2026学年第一学期期末七年级学业质量监测 数学 注意事项： 1．本试卷分为第I卷和第II卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2026 2. 如图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体搭成的，从它的左面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ） A. 调查某市中学生体育锻炼情况 B. 调查某新能源车企生产的某批次电池寿命 C. 调查全运会短跑运动员的兴奋剂使用情况 D. 调查某水域水质情况 5. 中国科学院山西煤化所，成功研发并量产国产T1000级高性能碳纤维．这种被称为“黑色黄金”材料，是现实中性能最接近《三体》“飞刃”的超强材料．其抗拉强度超6600兆帕，已知1兆帕=帕，将6600兆帕换算为帕后用科学记数法表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示是一个正方体的表面展开图，把展开图折叠成小正方体后，和“晋”所在的面相对面上的字是（ ） A. 文 B. 脉 C. 绵 D. 长 7. 设“●”“”“”表示三种不同的物体，先用天平称了两次，情况如图所示：则下列图示不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. “千年府城韵，魅力钟楼街”承载千年商脉的太原钟楼街，经保护与更新改造后持续爆红，节假日日均接待游客超10万人次，巨大的人流量也带火了周边的商户，如图表示的是太原钟楼街某奶茶店2025年1-6月各产品销量情况．根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ） A. 从一月到六月，咖啡销量持续升高 B. 奶茶在二月份的销量达到顶峰 C. 从一月到六月，冰激凌的销量稳步上升 D. 咖啡在五月份的销量超过了奶茶的销量 9. 光明中学组织全校七年级学生到山西省博物院开展研学活动，所有学生分别乘坐客车若干辆．若每车坐人，则有人无车可乘；若每车坐人，则刚好空出一辆车．若设人数为人，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点是线段上两点（点在点左侧），点为的中点，已知，则（ ） A. B. C. D. 第II卷 非择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：_____．(填“”，“”或“”) 12. 农民插秧时，为使插种的秧苗更整齐，先在水田的对边各固定一根木桩，中间拉紧一条细线，然后沿着细线插秧，这里所运用的数学原理是__________________． 13. 如图，，交于点，于点．若，则_____°． 14. 山西是中国陶瓷文明的重要起源地之一．某文创商品售卖店购进了一批陶瓷“醋碟”．该醋碟系列产品一套零售价为元/套，文创商店为了吸引游客，决定对整套购买的顾客给予9折优惠，若打折后仍能获利，则一套醋碟的进价是_____元． 15. 谢尔宾斯基三角形是一种经典的分形图形．初始三角形（分形次数为0）是1个边长为1的等边三角形，每进行一次分形，都会取黑色的小等边三角形的三边中点并连接，形成几个形状、大小完全相同的等边三角形．如图，经过第一次分形得到3个边长为的黑色等边三角形，经过第二次分形得到9个边长为的黑色等边三角形…按此规律，第次分形图形中黑色的等边三角形的周长和为_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值． ，其中． 18. 已知，如图，点为直线上的一点，射线在同侧，在内部． （1）在直线上方作，使．（不写作法，保留作图痕迹） （2）当为的平分线时，求的度数． 19. 下面是小阳同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题． 解方程： 解：去分母，得 …第一步 去括号，得 …第二步 移项，得 …第三步 合并同类项，得 …第四步 方程两边同除以7，得 …第五步 （1）以上求解过程中，第一步变形依据是_____，第二步使用的运算律是_____； （2）从第_____步开始出现错误，具体的错误是_____； （3）写出该方程正确的解答过程． 20. 世界阅读日又称世界图书与版权日，日期为每年4月23日．某校为了解全校学生课外阅读时长情况，组织全校同学进行了课外阅读时长调查． 【收集数据】小丽从七年级课外阅读时长调查结果中随机抽取了40名同学的每周课外阅读时长（单位：小时），情况如下： 2.1 3.2 1.5 4.3 2.8 3.0 2.1 3.2 4.1 2.5 3.2 3.8 2.5 1.8 4.5 3.5 2.8 3.2 4.3 1.5 28 3.5 4.1 2.1 5.7 5.5 4.5 1.3 1.4 2.7 3.1 3.2 1.0 2.4 2.9 1.2 2.8 1.6 3.3 4.7 【整理数据】小丽将这组数据以1为组距，分成5组（每组包含最小值，不包含最大值），整理成如下的表格： 阅读时长/小时 1.0～2.0 2.0～3.0 3.0～4.0 4.0～5.0 5.0～6.0 人数（频数） 8 12 _____ _____ 2 小丽根据表格绘制了如图1所示的频数直方图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查中获取的数据是_____数据（选填“定性”或“定量”）； （2）请将表格及频数直方图补充完整； （3）小丽进一步随机调查了若干名八年级同学课外阅读时长的情况，并将数据整理成如图2所示的扇形统计图，请根据上述统计图表，写出七、八年级学生课外阅读时长情况的一个相同点． 21. 近年来，汉服文化如雨后春笋般在全国各地兴起，人们尝试用自己的方式重新建立与历史的连接．绒花发簪作为汉服整体造型中的关键配饰也吸引了更多人的关注和喜爱．某手工坊制作某款绒花发簪，一支绒花发簪需要搭配1支簪杆和3朵绒花．已知每名匠人每天可以制作簪杆15支或绒花30朵，手工坊安排了25名匠人参与制作．若使每天生产的簪杆和绒花的数量刚好配套，手工坊应该分别安排多少名匠人制作簪杆和绒花？ 22. 综合与实践 问题情境：直角三角板是学生常用的数学工具，其中蕴含着丰富的数学知识．某兴趣小组使用一副直角三角板进行数学探究，将两个三角板的一个顶点重合后摆放，，射线在平面内绕点转动． 特例分析：（1）如图1，当边和边在同一条直线上时，射线分别为的平分线，则________，________； （2）如图2，边和不在同一条直线上，射线分别为的平分线．，求的度数． 拓展探究：（3）若保持三角板不动，将三角板绕点转动，射线分别是的平分线．当时，直接写出的度数． 注意：题中表示的所有角都是小于的角． 23. 综合与探究 问题情境：太原古县城坐落于晋阳古城遗址，始建于明洪武八年．其中的古县城城墙是古城的核心标志性建筑，城墙周长约米．某日，小华和小强来到太原古县城开展研学活动，小华和小强相约从古县城城墙上同一起点出发，沿相反的方向步行绕城墙一圈．已知小华步行的平均速度为米/分钟，小强步行的平均速度为米/分钟，小强比小华晚出发2分钟．设小强步行的时间为分钟． 数学思考：（1）在两人行走过程中，小华的路程为_____米，小强的路程为_____米(均用含的代数式表示)； 问题解决：（2）求两人相遇时的值； （3）两人相遇后，小强沿原方向原速度继续步行，小华休息3分钟后掉头按照米/分钟的速度行走，返回出发点后立刻停止运动．从两人相遇到小华回到出发点前，当小华和小强之间的路程为米时，则_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期期末七年级学业质量监测 数学 注意事项： 1．本试卷分为第I卷和第II卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2026 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相反数的概念．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：的相反数是2026． 故选：D． 2. 如图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体搭成的，从它的左面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】明确从左面观察几何体时，看到的平面图形的列数和每列的层数． 【详解】解：从左面观察该几何体，可看到有2列小正方形，左边一列有2层，右边一列有1层，与选项A的图形一致． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断各项是否为同类项：只有所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项才是同类项，同类项合并时仅将系数相加减，字母和字母的指数保持不变． 【详解】解：对于选项A，与所含字母不同，不是同类项，不能合并，选项A运算结果错误； 对于选项B，，选项B运算结果正确； 对于选项C，与不是同类项，不能合并，选项C运算结果错误； 对于选项D，，选项D运算结果错误； 4. 下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ） A. 调查某市中学生体育锻炼情况 B. 调查某新能源车企生产的某批次电池寿命 C. 调查全运会短跑运动员的兴奋剂使用情况 D. 调查某水域的水质情况 【答案】C 【解析】 【分析】普查能得到精准结果，但耗费人力、物力和时间较多，且不适用于具有破坏性的调查；抽样调查结果为近似值，适用于范围大、破坏性强或难以全面调查的场景． 【详解】解： A．某市中学生人数众多，开展普查需要投入大量的人力、物力，效率低下，因此适宜采用抽样调查，不符合题意； B．测试电池寿命的过程会对电池造成不可逆的损坏，无法对该批次所有电池进行普查，只能采用抽样调查，不符合题意； C．全运会短跑运动员的数量有限，且兴奋剂检查直接关系到赛事的公平公正，必须对每一位运动员进行调查，因此适宜采用普查，符合题意； D．某水域的范围较广，全面检测水质的操作难度大、成本高，适宜采用抽样调查，不符合题意． 5. 中国科学院山西煤化所，成功研发并量产国产T1000级高性能碳纤维．这种被称为“黑色黄金”的材料，是现实中性能最接近《三体》“飞刃”的超强材料．其抗拉强度超6600兆帕，已知1兆帕=帕，将6600兆帕换算为帕后用科学记数法表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的形式为(其中，为整数)．先根据单位换算将兆帕转化为帕，再把所得的数转化为符合科学记数法标准的形式． 【详解】解：∵1兆帕帕， ∴兆帕帕帕帕． 6. 如图所示是一个正方体的表面展开图，把展开图折叠成小正方体后，和“晋”所在的面相对面上的字是（ ） A. 文 B. 脉 C. 绵 D. 长 【答案】D 【解析】 【分析】通过观察正方体的表面展开图中各字的位置关系，确定相对面的字即可． 【详解】解：这是一个正方体的表面展开图，共有六个面，其中“三”与“脉”相对，“晋”与“长”相对，“文”与“绵”相对， 因此和“晋”所在的面相对面上的字是“长”． 7. 设“●”“”“”表示三种不同的物体，先用天平称了两次，情况如图所示：则下列图示不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由天平的平衡条件可知，，， 则，A天平平衡； ，B天平平衡； ，C天平平衡，图中所给天平不平衡，故不正确，符合题意； ∵，，∴，D天平平衡； 8. “千年府城韵，魅力钟楼街”承载千年商脉的太原钟楼街，经保护与更新改造后持续爆红，节假日日均接待游客超10万人次，巨大的人流量也带火了周边的商户，如图表示的是太原钟楼街某奶茶店2025年1-6月各产品销量情况．根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（ ） A. 从一月到六月，咖啡的销量持续升高 B. 奶茶在二月份的销量达到顶峰 C. 从一月到六月，冰激凌的销量稳步上升 D. 咖啡在五月份的销量超过了奶茶的销量 【答案】A 【解析】 【详解】解：由统计图可知，四月的咖啡销量比三月的销量低，故A说法不正确； 由统计图可知，奶茶在二月份的销量达到顶峰，故B说法正确； 由统计图可知，从一月到六月，冰激凌的销量稳步上升，故C说法正确； 由统计图可知，咖啡在五月份的销量超过了奶茶的销量，故D说法正确； 故选：A． 9. 光明中学组织全校七年级学生到山西省博物院开展研学活动，所有学生分别乘坐客车若干辆．若每车坐人，则有人无车可乘；若每车坐人，则刚好空出一辆车．若设人数为人，则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别用总人数表示两种乘车方式下的客车数量：①每车坐人时，人无车可乘，坐满车的人数为，因此客车数量为；②每车坐人时空出一辆车，说明实际使用的客车数量比“坐满人所需的车数”多1辆，即客车数量为．由于客车数量固定，据此可列出匹配的方程． 【详解】解：设七年级学生总人数为人． 每车坐人时，有人无车可乘，此时使用的客车数量为辆； 每车坐人时，刚好空出一辆车，此时使用的客车数量为辆； ∴可列方程：，对应选项D． 10. 如图，点是线段上两点（点在点左侧），点为的中点，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用已知线段长度，通过线段和差求出的长度；再根据中点定义得到的长度，最后通过计算出的长度． 【详解】解：∵，， ∴． 又∵， ∴． ∵点为的中点， ∴． ∴． 第II卷 非择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：_____．(填“”，“”或“”) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查有理数大小的比较，根据两个负数比较大小的法则进行比较即可求解． 【详解】解：根据有理数大小比较法则，两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 因，，， 所以． 故答案为：． 12. 农民插秧时，为使插种的秧苗更整齐，先在水田的对边各固定一根木桩，中间拉紧一条细线，然后沿着细线插秧，这里所运用的数学原理是__________________． 【答案】两点确定一条直线 【解析】 【分析】本题考查了两点确定一条直线：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，熟练掌握两点确定一条直线是解题关键．根据经过两点有一条直线，并且只有一条直线解答即可． 【详解】解：∵农民在水田的对边各固定一根木桩，相当于确定两个点，拉紧细线后，细线表示一条直线， ∴这里所运用的数学原理是两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 13. 如图，，交于点，于点．若，则_____°． 【答案】25 【解析】 【分析】根据相交线的性质可得到，根据垂线的性质得到，最后利用进行解答即可． 详解】解：，交于点， ， ， ， ． 14. 山西是中国陶瓷文明的重要起源地之一．某文创商品售卖店购进了一批陶瓷“醋碟”．该醋碟系列产品一套零售价为元/套，文创商店为了吸引游客，决定对整套购买的顾客给予9折优惠，若打折后仍能获利，则一套醋碟的进价是_____元． 【答案】 【解析】 【分析】零售价为元/套，9折优惠后的实际售价为元；设进价为元，获利意味着实际售价等于进价的倍．根据“”列出方程，求解该方程即可得到进价的值． 【详解】解：设一套醋碟的进价是元． 根据题意，可列方程： 解得． 15. 谢尔宾斯基三角形是一种经典的分形图形．初始三角形（分形次数为0）是1个边长为1的等边三角形，每进行一次分形，都会取黑色的小等边三角形的三边中点并连接，形成几个形状、大小完全相同的等边三角形．如图，经过第一次分形得到3个边长为的黑色等边三角形，经过第二次分形得到9个边长为的黑色等边三角形…按此规律，第次分形图形中黑色的等边三角形的周长和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据中位线定理推出第次分形的等边三角形的边长是，再通过规律得到第次分形图形中黑色三角形的个数，从而得结论． 【详解】解：∵每进行一次分形，都会取黑色的小等边三角形的三边中点并连接，形成几个形状、大小完全相同的等边三角形， ∴根据中位线定理可知每进行一次分形得到的三角形边长是上一次分形三角形边长的， ∴第一次分形图形中等边三角形的边长是，第二次分形图形中等边三角形的边长是，第三次分形图形中等边三角形的边长是，第次分形图形中的等边三角形的边长是， ∵每进行一次分形，黑色三角形的个数是上一次分形中黑色三角形个数的三倍， ∴第一次分形图形中黑色的三角形的个数为3个，第二次分形图形中黑色的三角形的个数为个，第三次分形图形中黑色的三角形的个数为个，第次分形图形中黑色的三角形的个数为个， ∴第次分形图形中黑色的等边三角形的周长和为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先计算除法运算，再依次进行加减运算； （2）先计算乘方运算，再同时计算乘法和除法运算，最后进行加减运算． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值． ，其中． 【答案】化简为，值为 【解析】 【分析】先根据乘法分配律去括号(注意括号前是负系数时，括号内每一项都要变号)，再合并同类项将整式化为最简形式，最后代入给定的、的值计算出最终结果． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 18. 已知，如图，点为直线上的一点，射线在同侧，在内部． （1）在直线上方作，使．（不写作法，保留作图痕迹） （2）当为的平分线时，求的度数． 【答案】（1）作图见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用尺规作一个角等于已知角的基本方法，通过截取等弧即可完成作图； （2）先根据平角求出的度数，再结合和角平分线，推导得出与的数量关系，进而计算出的度数． 【小问1详解】 解：作图痕迹如下： ①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，交于点； ②以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点； ③连接，则即为所求作的角． 【小问2详解】 解：， ． 为的平分线， ． 又， ， ∴， 解得． 19. 下面是小阳同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题． 解方程： 解：去分母，得 …第一步 去括号，得 …第二步 移项，得 …第三步 合并同类项，得 …第四步 方程两边同除以7，得 …第五步 （1）以上求解过程中，第一步变形的依据是_____，第二步使用的运算律是_____； （2）从第_____步开始出现错误，具体的错误是_____； （3）写出该方程正确的解答过程． 【答案】（1）等式的两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式（等式的基本性质2）；乘法的分配律 （2）三，移项时，“”从等号左边移到右边时未变号 （3）见解析 【解析】 【小问1详解】 解：第一步变形的依据是：等式的两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式（等式的基本性质2）， 第二步使用的运算律是：乘法的分配律． 【小问2详解】 解：从第三步开始出现错误， 具体的错误是：移项时，“”从等号左边移到右边时未变号． 【小问3详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 方程两边同除以7，得． 20. 世界阅读日又称世界图书与版权日，日期为每年4月23日．某校为了解全校学生课外阅读时长情况，组织全校同学进行了课外阅读时长调查． 【收集数据】小丽从七年级课外阅读时长调查结果中随机抽取了40名同学的每周课外阅读时长（单位：小时），情况如下： 2.1 3.2 1.5 4.3 2.8 3.0 2.1 3.2 4.1 2.5 3.2 3.8 2.5 1.8 4.5 3.5 2.8 3.2 4.3 1.5 2.8 3.5 4.1 2.1 5.7 5.5 4.5 1.3 1.4 2.7 3.1 3.2 1.0 2.4 2.9 1.2 2.8 1.6 3.3 4.7 【整理数据】小丽将这组数据以1为组距，分成5组（每组包含最小值，不包含最大值），整理成如下的表格： 阅读时长/小时 1.0～2.0 2.0～3.0 30～4.0 4.0～5.0 5.0～6.0 人数（频数） 8 12 _____ _____ 2 小丽根据表格绘制了如图1所示的频数直方图． 请根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查中获取的数据是_____数据（选填“定性”或“定量”）； （2）请将表格及频数直方图补充完整； （3）小丽进一步随机调查了若干名八年级同学课外阅读时长的情况，并将数据整理成如图2所示的扇形统计图，请根据上述统计图表，写出七、八年级学生课外阅读时长情况的一个相同点． 【答案】（1）定量 （2）11；7；图见解析 （3）七、八年级学生课外阅读时长在2～3小时的学生人数最多（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据用数值来表示的数量数据是定量数据，不用数值表示的数据是定性数据，进行判定即可； （2）根据收集的数据，结合“每组包含最小值，不包含最大值”，完成频数统计表，再根据频数分布表绘制频数分布直方图； （3）通过各组所占的百分比的大小进行解答即可． 【小问1详解】 解：本次调查中获取数据是定量数据． 【小问2详解】 解：由题意可得，阅读时长在3.0～4.0范围的有11人，阅读时长在4.0～5.0范围的有7人，补全的统计表格如下： 阅读时长/小时 1.0～2.0 2.0～3.0 3.0～4.0 4.0～5.0 5.0～6.0 人数（频数） 8 12 11 7 2 补全频数直方图如下： 【小问3详解】 解：根据上述统计表可知，七、八年级学生课外阅读时长在2～3小时的学生人数最多（答案不唯一）． 21. 近年来，汉服文化如雨后春笋般在全国各地兴起，人们尝试用自己的方式重新建立与历史的连接．绒花发簪作为汉服整体造型中的关键配饰也吸引了更多人的关注和喜爱．某手工坊制作某款绒花发簪，一支绒花发簪需要搭配1支簪杆和3朵绒花．已知每名匠人每天可以制作簪杆15支或绒花30朵，手工坊安排了25名匠人参与制作．若使每天生产的簪杆和绒花的数量刚好配套，手工坊应该分别安排多少名匠人制作簪杆和绒花？ 【答案】安排名匠人制作簪杆，名匠人制作绒花． 【解析】 【分析】先设出制作簪杆的匠人人数，用总匠人人数表示出制作绒花的匠人人数，再根据配套关系（每天生产的绒花数量是簪杆数量的3倍）列出一元一次方程，最后通过解方程得到结果． 【详解】解：设手工坊安排名匠人制作簪杆，则安排名匠人制作绒花． 根据题意列方程得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 则制作绒花的匠人人数为(名)． 答：手工坊应该安排名匠人制作簪杆，名匠人制作绒花． 22. 综合与实践 问题情境：直角三角板是学生常用的数学工具，其中蕴含着丰富的数学知识．某兴趣小组使用一副直角三角板进行数学探究，将两个三角板的一个顶点重合后摆放，，射线在平面内绕点转动． 特例分析：（1）如图1，当边和边在同一条直线上时，射线分别为的平分线，则________，________； （2）如图2，边和不在同一条直线上，射线分别为的平分线．，求的度数． 拓展探究：（3）若保持三角板不动，将三角板绕点转动，射线分别是的平分线．当时，直接写出的度数． 注意：题中表示的所有角都是小于的角． 【答案】（1）30，105；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据平角和角平分线的定义，分别求得，即可解答； （2）根据角平分线的定义，分别求得，即可解答； （3）运用分类讨论的思想方法，根据的度数和题中表示的所有角都是小于的角，分别讨论当在的右侧和左侧的情况，根据角平分线的定义和角度的和差运算，即可解答． 【详解】解：（1）∵边和边在同一条直线上，， ∴， ∵分别为的平分线， ∴，， ∴； （2）∵分别为的平分线，， ∴，， ∵， ∴ （3）∵题中表示的所有角都是小于的角， ∴①如图3所示，当在的右侧，且时， ∵，， ∴， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴； ②如图4所示，当在的右侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ③如图5所示，当在的右侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ④如图6所示，当在的左侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ⑤如图7所示，当在的左侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； ⑥如图8所示，当在的左侧时，且时， 此时，， ∴，， ∴； 综上所述，当时，的度数为或． 23. 综合与探究 问题情境：太原古县城坐落于晋阳古城遗址，始建于明洪武八年．其中的古县城城墙是古城的核心标志性建筑，城墙周长约米．某日，小华和小强来到太原古县城开展研学活动，小华和小强相约从古县城城墙上同一起点出发，沿相反的方向步行绕城墙一圈．已知小华步行的平均速度为米/分钟，小强步行的平均速度为米/分钟，小强比小华晚出发2分钟．设小强步行的时间为分钟． 数学思考：（1）在两人行走过程中，小华的路程为_____米，小强的路程为_____米(均用含的代数式表示)； 问题解决：（2）求两人相遇时的值； （3）两人相遇后，小强沿原方向原速度继续步行，小华休息3分钟后掉头按照米/分钟的速度行走，返回出发点后立刻停止运动．从两人相遇到小华回到出发点前，当小华和小强之间的路程为米时，则_____． 【答案】（1）；； （2）； （3）或或 【解析】 【分析】题目设定在环形路径上两人相向而行，存在时间差，因此在建立路程表达式时需注意起始时间不同．①是代数表达式的构建；②利用总路程相加等于周长求相遇时间；③涉及相遇后的动态变化，包括小华休息和反向行走，（1）小华休息被拉开200米，（2）小华追上小强之前相距200米，（3）小华追上小强后超过200米，需分3情况讨论并建立方程求解． 【详解】（1）解：∵小强步行时间为分钟，且小强比小华晚出发2分钟， ∴小华的步行时间为分钟， 又∵小华的速度为米/分钟，小强的速度为米/分钟， ∴小华的路程为米，小强的路程为米． （2）解：两人反向绕城墙行走，相遇时路程和等于城墙周长米， 可列方程：， 解得：． （3）解：相遇时，小华已行走路程为(米)， ∵小华休息3分钟后开始以米/分钟的速度行走， ∴小华回到出发点所需总时间为(分钟)， 即当时，小华回到出发点． 相遇后，小华先休息3分钟(即)，此阶段小华不动，小强继续以米/分钟的速度行走，两人之间的距离为米． 当时，解得，符合条件． 小华休息结束后(即)，掉头以米/分钟的速度返回出发点，此时两人同向运动，小华速度米/分钟，小强速度米/分钟， 在时，小强已行走米，即两人初始距离为米． 当两人之间的路程为米时，分两种情况： ①小华未追上小强，距离为米：， 解得，符合条件； ②小华追上小强后，超过米：， 解得，符合条件． 综上，的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $