2.1.1 两角和与差的余弦公式课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

第2章 三角恒等变换 2.1.1 两角和与差的余弦公式 问题1: 你还记得这些特殊角的三角函数值吗？ 0° 30° 45° 60° 90° sinα cosα tanα 0 1 0 1 1 0 无 问题2: 对于一些非特殊角的三角函数值怎么算呢？比如：cos15°=cos（45°-30°）=cos45°-cos30° ，成立吗? 问题2: cos15˚=cos(45˚-30˚)=cos45˚-cos30˚成立吗? 所以cos(45˚ -30˚)≠cos45˚ -cos30˚. 所以 cos（α+β）=cosα+cosβ不总是成立. 问题3: cos(45˚-30˚)能否用45˚˚和30˚的角的三角函数值来表示? 一般地，如何用α、β的正余弦表示cos(α-β) 呢？ 一、两角差的余弦公式 在直角坐标系中，如图，以原点为中心，单位长度为半径作单位圆，又以原点为顶点，x轴非负半轴为始边分别作角α，β且α>β，我们首先研究α，β均为锐角的情况. 如何借助向量知识 求cos(α-β)的值? 由图可知：单位圆上P1，P2两点， 我们称上式为两角差的余弦公式，记作 . 所以 公式是否对任意角α，β都成立？ 提示： ①当0≤α-β≤π时，公式显然成立； ②当α-β不在［0，π］内时， 利用诱导公式，存在θ∈［0，2π］， 使α-β=θ+2kπ，k∈Z， 若θ∈［0，π］，cosθ=cos(α-β)； 若θ∈［0，2π］，2π-θ∈［0，π］，cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β)， 故上述公式对任意角α，β都成立. 思考：公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ是否对任意角α，β都成立？ 由α+β=α-(-β)，根据已知的两角差的余弦公式进行展开. 即cos(α+β)=cos[α-(-β)] =cos α·cos(-β)+sin αsin(-β) =cos αcos β-sin αsin β 试一试：我们知道减去一个数等于加上这个数的相反数，利用诱导公式试求cos(α+β)？ 二、两角和的余弦函数 我们称上式为两角和的余弦公式，记作 . 两角差的余弦公式 cos(α-β)= ，其中α，β∈R，简记为C(α-β).  两角和的余弦公式 cos(α+β)= ，其中α，β∈R，简记为C(α+β).  cos αcos β+sin αsin β cos αcos β-sin αsin β 公式记忆： ①公式中两边的符号正好相反（一正一负）. ②式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后. 注意：①公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个 角的组合，如cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)·cos β＋sin(α＋β)·sin β. ②公式的逆用仍然成立. 解： cos75°= cos（45°+30°） = cos45°cos30°-sin45°sin30° 例1 不查表，求cos75°，cos15°的值. = cos45°cos30°+ sin45°sin30° cos15°=cos（45°-30°） 1.（1） cos 165°＝（　C　） A. B. － C. － D. － 解： cos 165°＝ cos （180°－15°） ＝－ cos 15°＝－ cos （60°－45°） ＝－（ cos 60° cos 45°＋ sin 60° sin 45°） ＝－ . C （3） cos （35°－α） cos （25°＋α）＋ sin （α－35°）· sin （25°＋α） ＝ ⁠. （3）原式＝ cos [（α－35°）－（25°＋α）] ＝ cos （－60°） ＝ cos 60° ＝ . 　 （2） cos 80° cos 35°＋ cos 10°· cos 55°= . 解：（2）原式＝ cos 80° cos 35°＋ sin 80° sin 35° ＝ cos （80°－35°）＝ cos 45°＝ . 整体代换思想 (1)两特殊角和与差的余弦值，利用两角和与差的余弦公式直接展开求解. (2)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和或差，然后利用两角和与差的余弦公式求解. (3)含有常数的式子，如cos 15°+sin 15，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再逆用两角和与差的余弦公式求解. 两角和与差的余弦公式常见题型及解法 方法归纳 12 例2：已知 ，求 的值. 想一想：按公式展开，还有哪个值未知，怎么用sin α转化呢？ 同角三角函数的平方关系: sin α 2+cosα 2 =1 2.若 cos α＝ ，α∈（0， ），则 cos （α－ ）＝ .  解:∵α∈ ， cos α＝ ， ∴ sin α＝ ＝ . ∴ cos ＝ cos α cos ＋ sin α sin ＝ × ＋ × ＝ . 　 变式：已知α，β为锐角， cos （α＋β）＝ ， cos （2α＋β）＝ ， 求 cos α的值. 解：∵α，β为锐角， ∴0＜α＋β＜π，0＜2α＋β＜ . 又∵ cos （α＋β）＝ ，∴0＜α＋β＜ . 又∵ cos （2α＋β）＝ ，∴0＜2α＋β＜ ， ∴ sin （2α＋β）＝ ， sin （α＋β）＝ . ∴ cos α＝ cos [（2α＋β）－（α＋β）] ＝ cos （2α＋β） cos （α＋β）＋ sin （2α＋β） sin （α＋β） ＝ × ＋ × ＝ . (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有： ①α=(α+β)-β； ②β=-； ③2α=(α+β)+(α-β)；④2β=(α+β)-(α-β). 方法归纳 给值求值的解题策略： 例3 若 sin α＝ ， cos （α＋β）＝－ ，且α，β都是锐角，则β＝（　 ） A. B. C. D. A 解：∵ sin α＝ ，α是锐角，∴ cos α＝ . 又α，β都是锐角， cos （α＋β）＝－ ，∴ ＜α＋β＜π.∴ sin （α＋β）＝ . cos β＝ cos [（α＋β）－α]＝ cos （α＋β） cos α＋ sin （α＋β） sin α ＝－ × ＋ × ＝ . ∵β为锐角，∴β＝ .故选A. 给值求角 4.已知 sin α＝ ， sin β＝ ，且α和β均为钝角，求α＋β的值. 解：∵α和β均为钝角. ∴ cos α＝－ ＝－ ， cos β＝－ ＝－ . ∴ cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝－ ×（－ ）－ × ＝ . 由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π. ∴α＋β＝ . 1.两角和与差的余弦公式： cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ (C(α－β)) cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ (C(α+β)) 3.思想方法： 两角和与差的余弦公式 向量 三角 数量积 正向运用 逆向运用 2.知识结构： 数形结合，特殊到一般，转化化归，角的代换⋯ 本节课我们解决了哪些问题？你学到了哪些知识与方法？ 1.给角求值 2.给值求值 3.给值求角 1.cos 20°等于（ ） A.cos 30°cos 10°-sin 30°sin 10° B.cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10° C.sin 30°cos 10°-sin 10°cos 30° D.sin 30°cos 10°+sin 10°cos 30° 解：cos 20°=cos(30°-10°)=cos 30°cos 10°+sin 30°sin 10°. B 2.已知cos(α+β)=，cos(α-β)=-，则cos αcos β=　　　.  解：cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=， cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-， 两式相加可得2cos αcos β=0，即cos αcos β=0. 0 3.若cos(α-β)=，cos 2α=，且α，β均为锐角，α<β，则α+β=　　　.  解：因为0<α<，0<β<，α<β. 所以-<α-β<0. 又cos(α-β)=，所以sin(α-β)=-=-. 又因为0<2α<π，cos 2α=，所以sin 2α==， $