1.6.2 第2课时 正弦定理、余弦定理的综合应用课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

第1章 平面向量及其应用 1.6.2 第2课时 正弦定理、余弦定理的综合应用 C B A b a c a2=b2+c2－2bccosA， b2=a2+c2－2accosB， c2=a2+b2－2abcosC. 1.余弦定理 2.正弦定理 三角形面积公式 O 试一试：以直角三角形为例，你能找到它的外接圆的圆心的位置吗？外接圆的直径与三角形的边、角有关吗？ C A B 直角三角形 设外接圆的半径为R ∵AB=2R ∴BC=2R 又BC=a，所以 同理可得 正弦定理的扩充 = = =2R 思考：三角形各边与它所对角的正弦的比值相等，那么这个比值的几何意义是什么？ △ABC为锐角三角形 △ABC为钝角三角形 a b c a b c 议一议：当△ABC不是直角三角形，探究以上结论是否成立. = = =2R 1.扩充后的正弦定理 2.正弦定理的变形形式（推论） （R为三角形外接圆半径） = = =2R = = = = 2R 　 例1 在△ABC中，已知　　　　　　　　，试判断△ABC的形状. 　　 解：设△ABC的外接圆的半径为R，则由扩充的正弦定理可得a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C. 　　 即tan A=tan B=tan C. 又角A，B，C∈(0，π),　所以∠A＝∠B＝∠C，因而△ABC为等边三角形. 提示：借助扩充的正弦定理表示出a，b，c代入，再进行判断. 将其代入　　　　　　　　　 得， （1）利用正弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状. （2）利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用 A ＋ B ＋ C ＝π这个结论. 判断三角形形状的两种途径： 注意：在这两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解. 方法归纳 1.在△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且sin A=2sin Bcos C，则△ABC的形状是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形或等腰三角形 C 8 解：在△ABC中，由扩充的正弦定理得 ===2R(R为△ABC外接圆的半径). ∵sin2A=sin2B+sin2C， ∴=+， 即a2=b2+c2，∴∠A=90°， ∴∠B+∠C=180°-∠A=90°. 又sin A=2sin Bcos C， ∴sin 90°=2sin Bcos(90°-B)， ∴sin2B=. ∵∠B是锐角，∴sin B=， ∴∠B=45°，∠C=45°. ∴△ABC是等腰直角三角形. 说一说：在使用正弦定理推论进行变化角、角化边过程中，我们需注意什么？ 应在什么情景下来使用边化角、角化边呢？ 9 说一说：在以上例题使用正弦定理推论进行变化角、角化边过程中，我们需注意什么？应在什么情景下来使用边化角、角化边？ 在条件中，若出现关于边的齐次式（方程），或关于角的正弦的齐次式（方程）可通过正弦定理，进行边角互化. 题型1 用正弦定理进行边角互化 角度一　运算求解问题 例2 在锐角三角形 ABC 中，内角 A ， B 所对的边长分别为 a ， b ，若2 a sin B ＝ b ，则角 A 等于（　A　） A. B. C. D. [解析]　因为2 a sin B ＝ b ，由正弦定理可得，2 sin A sin B ＝ sin B ， 又 sin B ≠0，所以 sin A ＝ .因为△ ABC 是锐角三角形，所以 A ＝ . A 角度二　化简证明问题 例3　在任意△ ABC 中，求证： a （ sin B － sin C ）＋ b （ sin C － sin A ）＋ c （ sin A － sin B ）＝0. [证明]　证法一：根据正弦定理，令 a ＝2 R sin A ， b ＝2 R sin B ， c ＝2 R sin C （其中 R 为△ ABC 外接圆的半径）. 代入，得左边＝2 R （ sin A sin B － sin A sin C ＋ sin B sin C － sin B sin A ＋ sin C sin A － sin C sin B ）＝0＝右边，所以等式成立. 证法二：根据正弦定理，令 sin A ＝ ， sin B ＝ ， sin C ＝ （其中 R 为 △ ABC 外接圆的半径）. 代入，得左边＝ a （ － ）＋ b （ － ）＋ c （ － ）＝ （ ab － ac ＋ bc － ba ＋ ca － cb ）＝0＝右边，所以等式成立. 题型2 正弦定理和余弦定理的综合应用 例4 设△ ABC 的内角 A ， B ， C 所对应的边长分别是 a ， b ， c ，且 cos B ＝ ， b ＝2. （1）当 A ＝30°时，求 a 的值； （2）当△ ABC 的面积为3时，求 a ＋ c 的值. [解]　（1）因为 cos B ＝ ，所以 sin B ＝ ， 又因为 A ＝30°，所以由正弦定理，知 a ＝ ＝ ＝ . （2）当△ ABC 的面积为3时，求 a ＋ c 的值. [解]　（2）因为 S △ ABC ＝ ac sin B ， 所以 ac ＝3， ac ＝ ， 由余弦定理，得 b 2＝ a 2＋ c 2－2 ac cos B ， 所以4＝ a 2＋ c 2－ ac ＝（ a ＋ c ）2－2 ac － ac . 即4＝（ a ＋ c ）2－24. 所以（ a ＋ c ）2＝28.所以 a ＋ c ＝2 . 利用正、余弦定理解三角形关键是利用定理进行边角互化. (1)当出现边角混合时，常使用正弦定理； (2)当出现三边的平方时，常用余弦定理. 方法归纳 1.在△ABC中，已知∠A=60°，BC=4，则△ABC外接圆的直径为（ ） A.8　 B.　 C.4　 D. 解:由正弦定理得2R====. B 2.在△ABC中，若a=2bsin A，则∠B等于（ ） A.60° B.120° C.60°或120° D.30°或150° 解:由扩充的正弦定理得sin A=2sin B·sin A， 因为sin A≠0，所以sin B=. 又0°<∠B<180°， 所以∠B=60°或120°. A 3.已知在△ABC中，AB=4，AC=3，cos A=，则△ABC的面积为（ ） A.3　 B.3　 C.6　 D.6 解: 因为cos A=，A为三角形内角， 所以sin A==， 所以S△ABC=bcsin A=×3×4×=3. B 4.在△ABC中，若lg(sin A+sin C)=2lg sin B-lg(sin C-sin A)，则此三角形是 　　　三角形(填“锐角”“直角”或“钝角”).  解: ∵lg (sin A+sin C)=lg， ∴sin2C-sin2A=sin2B，结合正弦定理得c2=a2+b2， ∴△ABC为直角三角形. 直角 1.扩充后的正弦定理 2.正弦定理的推论 3.正弦、余弦定理的综合应用 针对以下关键词，谈谈本节课你的所获. $