1.6.2 第1课时 正弦定理课件-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

1.6.2 第1课时 正弦定理 余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式. 思考：如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？ 根据锐角三角函数，在中，有: 显然，上述两个关系式在一般三角形中不成立. c 对一般的三角形,这个 结论还能成立吗? 观察发现，它们有一个共同元素，利用它把两个式子联系起来，可得： 又因为所以上式可以写成与它的对角的正弦的比相等的形式，即 　　①若△ABC为锐角三角形，如图，设CD为AB边上的高， 　　则CD＝bsin A. 　　在解决问题的过程中，还得到了 这一面积计算公式 . 因此　bcsin A =　acsin B =　absin ∠ACB， 即 　　 ②若△ABC为钝角三角形，也可类似得到上述结论. 　　同理可得S=　acsin B，S=　absin ∠ACB. 锐角三角形 于是，△ABC的面积S=　AB·CD=　bcsin A. 钝角三角形 ②若△ABC为钝角三角形， 5 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即： 1.正弦定理： 要点归纳 给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一个等量关系. 6 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为S=__________=__________=__________.即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半.  absin C bcsin A acsin B 要点归纳 2.任意三角形的面积计算公式： 例1 如图，已知△ABC，作正方形ADEB，BFGC，CHIA. 求证：S△ABC=S△AID=S△BEF=S△CGH. 证明：S△ABC=　AB·ACsin∠CAB 　　　　　=　AB·ACsin(180°－∠CAB). 同理可证S△ABC=S△BEF，S△ABC=S△CGH.. 所以S△ABC=S△AID=S△BEF=S△CGH. 又AB＝AD，AC＝AI，∠IAD+∠CAB＝180 ° ， 因而S△ABC=　AD·AIsin∠IAD=S△AID. 想一想：△AID，△BEF，△CGH与△ABC在位置上有何关联？它们的边、角呢？要利用正弦定理证明需要进行怎样的转化？ 例2 已知△ABC中，c=4，∠A=45 ° ，∠B=60 ° ，sin 75 ° =　　　　，求a，b. 于是 解：由题意可得∠C=180 ° －45 ° －60 ° =75 °. 同理可得 由正弦定理得 又　　　　　　　　， 提示：可初步画出草图，确定已知的边角、再利用正弦定理求解. (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角及对边. (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边. 已知三角形两角及一边解三角形的方法 方法归纳 解：(1)由正弦定理得　　　　　　　， 　　即 　 ， 　　所以∠B＝60 ° 或 ∠B＝120 °. 　　当∠B=60 °时，∠C=90 ° ， 　所以 　　当∠B=120 °时，∠C=30 ° ， 　　所以c=a=5. 例3 在△ABC中，分别求下列条件下的∠C和c. 　(1) a=5，b=　　，∠A=30° ； 　　(2) a=5，b= ，∠A=45 °. 　　(2)由正弦定理得　　　　　　　　　　， 　　所以∠B=30 °或∠B=150 ° ． 　　又∠A=45 ° ，a>b， 　　所以∠B＜45 ° ． 　　由此得到∠B=30 ° ，∠C=105 °. 　　因此 注意：这里出现了两解的情况. 已知两边及其对角，利用正弦定理先确定正弦值，再确定角度. (1)由正弦定理求出另一边所对角的正弦值，进而求出这个角. (2)由三角形内角和定理求出第三个角. (3)根据正弦定理求出第三条边. 其中进行(1)时要注意讨论该角是否可能有两个值. 已知两边及其中一边的对角，利用正弦定理解三角形的步骤： 方法归纳 如何判断解的个数? 探究：已知两边a，b和其中一边的对角∠A，判断该三角形解的个数. 提示：可设已知△ABC的两边a，b和∠A，作图步骤如下：①先把未知边c画为水平的，作出已知∠A，∠A的另一条边为已知边b；②以边b的端点C为圆心，a为半径画弧；③观察此弧与除去顶点A的射线l的公共点的个数，便可得此三角形解的个数. 　　如图1，是∠A为锐角时的示意图，此时三角形解的个数有四种情况. 图1 　　如图2是∠A为钝角时的示意图，此时三角形解的个数有两种情况. 图2 1.不解三角形，判断下列三角形解的个数.（分组完成） (1)a=5，b=4，∠A=120°； 解：（1）sin B=sin 120°=×<，所以三角形有一解. 练一练 (2)a=9，b=10，∠A=60°； (3)b=72，c=50，∠C=135°. 16 (2)a=9，b=10，∠A=60°； 解：（2）sin B=sin 60°=×=<<1. 所以当∠B为锐角时，满足sin B=的角B的取值范围是60°<∠B<90°.满足∠A+∠B<180°； 当∠B为钝角时，满足sin B=的角B的取值范围是90°<∠B<120°，也满足∠A+∠B<180°.故三角形有两解. 17 (3)b=72，c=50，∠C=135°. 解：（3）sin B==sin C>sin C=. 所以∠B>45°，所以∠B+∠C>180°，故三角形无解. 18 (1)应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数. (2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： 已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法   A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 方法归纳   A为钝角 A为直角 A为锐角 a=b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a=bsin A 一解 a<bsin A 无解 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即： 2.作用： (1)已知两角及任意一边，可以求出其他两边和另一角；一解 (2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边 和角.(此时可能有一解、二解、无解） 针对本节课关键词“正弦定理的内容、作用”谈谈你的收获： 1.在△ABC中，一定成立的等式是（ ） A.asin A=bsin B B.acos A=bcos B C.asin B=bsin A D.acos B=bcos A 解：由正弦定理=，得asin B=bsin A. C 2.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC等于 A.4　 B.2　 C.　 D. 解：由正弦定理==， 所以AC=×=2. √ 3.已知在△ABC中，b=4，c=2，∠C=30°，那么此三角形 A.有一解 B.有两解 C.无解 D.解的个数不确定 解：由正弦定理和已知条件，得=， ∴sin B=>1，∴此三角形无解. √ 4.在△ABC中， a=5，b=5，∠A=30°，则∠B=　　 　　　.  解：由正弦定理=，得sin B==. ∵b>a，∴∠B>∠A，且0°<∠B<180°，∴∠B=60°或120°. 60°或120° $