天津市滨海新区塘沽第十三中学2025-2026学年高三下学期第一次统练数学试题

塘沽十三中高三下学期第一次统考统练 2026.03.06 一、单选题 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 数据4，1，6，3，9，5，7的第70百分位数为6 B. 在回归直线方程中，相对于样本点的残差为 C. 在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从110分以上的试卷中抽取20份 D. 若的平均数为2，方差为3，则的平均数和方差分别为5，13 5. 已知不重合的直线l，m和不重合的平面，，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，，则 6. 已知，记，则（ ） A. B. C. D. 10 7. 已知函数的部分图象如图所示，则下列四个结论中正确的个数是（ ） ①若，则函数的值域为 ②是函数图象的一个对称轴 ③函数在区间上是增函数 ④函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 已知抛物线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，抛物线的准线与坐标轴交于点，若为直角三角形，则双曲线的渐近线斜率绝对值为（ ） A. 0.5 B. C. D. 2 9. 距今5000年以上的仰韶遗址表明，我们的先人们居住的是一种茅屋，如图1所示，该茅屋主体是一个正四棱锥，侧面是正三角形，且在茅屋的一侧建有一个入户甬道，甬道形似从一个直三棱柱上由茅屋一个侧面截取而得的几何体，一端与茅屋的这个侧面连在一起，另一端是一个等腰直角三角形.图2是该茅屋主体的直观图，其中正四棱锥的侧棱长为，点在正四棱锥的斜高PH上，平面ABC且.不考虑建筑材料的厚度，则这个茅屋（含甬道)的室内容积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 10. 已知复数，则复数的虚部为________. 11. 在的展开式中，的系数为___________．（用数字作答） 12. 已知过点的直线与圆交于，两点，且，则的面积是_______________． 13. 甲、乙两人为一组玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶，无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为，乙每次投壶的命中率均为，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为.第3次投壶的人是乙的概率为________，已知在第2次投壶的人是甲的情况下，第1次投壶的人是乙的概率为________. 14. 在梯形中，与相交于点Q．若，则________；若，N为线段延长线上的动点，则的最小值为_________． 15. 已知函数有且仅有2个零点，则实数的取值范围为_________. 三、解答题 16. 在中，角的对边分别为．已知，，． （1）求A的值； （2）求c的值； （3）求的值． 17. 如图，在直四棱柱中，底面为正方形，为棱的中点，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 已知椭圆的左右焦点分别为，，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合，直线与椭圆交于，两点，的周长为8. （1）求椭圆的标准方程； （2）若斜率为的直线与抛物线交于，两点，斜率为的直线与抛物线交于，两点. ①求和（用含的代数式表示）； ②若，试判断是否存在最大值，若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由. 19. 已知数列，其前项的和为．设数列，其中． （1）求； （2）设，求的值； （3）设，求使得成立的最大正整数的值．（其中符号表示不超过的最大整数） 20. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设函数. （ⅰ）设为的极值点，证明：； （ⅱ）对任意，，判断和的大小关系，并说明理由. 塘沽十三中高三下学期第一次统考统练 2026.03.06 一、单选题 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】B 二、填空题 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】4 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】 三、解答题 【16题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2）①，；②存在最大值144 【19题答案】 【答案】（1）， （2） （3）64 【20题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：，设，，则， 所以在上单调递减，因，， 故存在唯一，使得，即，即， 则当时，，，函数在上单调递增， 当时，，，函数在上单调递减， 为的极大值点，， 函数在区间上单调递减，则， 即. （ⅱ），理由：由，因为和在上单调递增， 则在上单调递增，且，， 则存在唯一，使得，即，即，（*） 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，故在区间上单调递增， 的最小值为， 由（ⅰ）可知，的最大值为，且，（**） 由于函数在上为增函数，由（*），（**）式可得， 故对任意正实数a，b，都有， 故对任意正实数a，b，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $