专题5 第10章二元一次方程组的实际应用 2025-2026学年七年级数学下册人教版重难点压轴题专题及单元期中期末试卷

专题5 第10章二元一次方程组的实际应用 考法1 与几何图形解法 【典例精析】 【典例1】（2025秋•宿迁期末）小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，求小长方形的面积． 【针对训练】 1．（2024秋•东坡区期末）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（　　） A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米 2．（2025秋•太原期末）用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片拼图．如图，已知图1中4个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为16cm2；图2中8个长方形纸片围成的阴影部分正方形面积为9cm2．若设每张长方形纸片的长为xcm，宽为ycm，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•雁塔区期末）将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为S1，S2，则S1﹣S2＝（　　） A．12 B．16 C．20 D．40 4．（2025春•临平区月考）在大正方形ABCD中，按图中的虚线裁剪出8块相同的大长方形AEFG纸片，4块相同的小长方形纸片和1个小正方形纸片，若大正方形ABCD的面积是49，小正方形（阴影部分）的面积是9，则每块大长方形AEFG的面积是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图．阴影部分是边长为1的小正三角形，A，B，C，D，E，F，G，H分别是8个正三角形，则A和B的边长分别是（　　） A．2，4 B．2.5，5 C．3，6 D．4，8 6．（2025秋•深圳期末）在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中AB＝5cm，BC＝7cm，求阴影部分图形的总面积（　　） A．12cm2 B．13cm2 C．14cm2 D．15cm2 7．（2025春•营山县期末）如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，点B落在点B′处，∠B′AD比∠BAE大48°．设∠BAE和∠B′AD的度数分别为x°和y°，那么x和y满足的方程组是（　　） A． B． C． D． 8．（2025秋•平阴县期末）用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B的坐标为（7，4），若每个长方形的长为x，宽为y，则可列出方程组（　　） A． B． C． D． 9．（2025秋•衡山县期末）如图，用四个完全一样的长、宽分别为x、y的长方形纸片围成一个大正方形ABCD，中间是空的小正方形EFGH．若AB＝a，EF＝b，判断以下关系式： ①x+y＝a；②x﹣y＝b；③a2﹣b2＝2xy；④x2﹣y2＝ab；⑤x2+y2， 其中正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 10．（2025秋•南通期末）如图是一个周长为16的长方形ABCD，它恰好可以分割成5个小长方形（分别标记为①，②，③，④，⑤），其中AE＝CG，AH＝CF，DF＝BH，DE＝BG．若⑤为正方形，则②的周长为　 　 ；若①的周长为9.4，则⑤的长与宽之差为　 　 ． 11．（2025秋•南湖区月考）如图，把一个黑色大正方形和四个完全相同的白色小正方形分别按图①②两种方式摆放，若a+b＝24，a﹣b＝8，则图②中未被白色小正方形覆盖的阴影部分面积为　 　 ． 12．（2025秋•吉安县期末）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40厘米的大长方形，求每个小长方形的周长和大长方形的面积． 13．（2025秋•乾县期末）如图，七个相同的小长方形无缝隙、不重叠地拼成一个大长方形，若大长方形的宽为21，求一个小长方形的长和宽分别是多少？（用方程组的知识解答） 14．（2025秋•雨花区期末）如图，将某种规格的长方形纸板按照图①、图②所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板.4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图③所示的无盖长方体纸盒．而有盖长方体纸盒则需要4块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板． （1）现有这种规格的长方形纸板21张，怎样裁剪可制成的无盖纸盒数最多？最多能做多少个？ （2）根据需要，要制成有盖长方体纸盒30个，则需要同样规格的长方形纸板多少张？ 15．（2025秋•杜尔伯特县期末）列方程或方程组解应用题 现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 16．（2023春•南安市期中）学校举办“艺术周”创意设计展览，如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小明、小聪、小方分别用这些正方形设计出了图1，图2，图3三种图案： （1）根据图1，图2中所标数据，求出大正方形和小正方形的边长分别是多少厘米？ （2）图3中四个小正方形的重叠部分也是三个一样的小正方形，求阴影部分的面积． 考法2 与古典数学结合 【典例精析】 【典例2】（2023•宁江区二模）《九章算术》中记载这样一道问题． 原文：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀各重几何？” 译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每只各重多少斤？” 请解答上述问题． 【针对训练】 1．（2025•临安区一模）《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人．设大和尚x人，小和尚y人，下列方程组列式正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2022秋•抚州期末）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，2大桶加2小桶共盛 　 斛米． 3．（2025秋•娄星区期末）明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著．某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房． （1）请列方程组，并求出该店有客房多少间？房客多少人？ （2）假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房．每间客房收费30钱，且每间客房最多人住3人，一次性定客房25间以上（含25间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 考法3 销售问题与方案选择 【典例精析】 【典例3】（2024春•沙坪坝区月考）重庆某小区超市第一次用6000元购进一批大米和面粉，面粉的袋数比大米袋数的多15袋．大米与面粉每袋的进价与售价如表： 大米 面粉 进价 22元/袋 30元/袋 售价 29元/袋 40元/袋 （1）超市第一次进购大米和面粉各多少袋？ （2）在第一次购进的大米和面粉销售完后，超市第二次以第一次的进价又购进了一批大米和面粉，其中大米袋数不变，面粉袋数是第一次的3倍．大米按原价销售，面粉打折销售，第二次售完后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元．问第二次面粉打几折？ 【针对训练】 1．（2024春•丛台区期中）科技馆门票价格规定如表． 购票张数 1﹣50张 51﹣100张 100张以上 每张票的价格 15元 12元 10元 某学校七年级①、②两个班共103人去科技馆，其中①班有40多人，不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1377元．七年级②班学生有 　 　 人，如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省 　 　 元． 2．（2023春•兖州区期末）某兴趣小组外出登山，乘坐缆车的费用如表所示： 乘坐缆车方式 乘坐缆车费用（单位：元/人） 往返 160 单程 90 已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有6人乘坐缆车，返程时有12人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是1540元，该小组共有 　 　 人． 3．小明、小华和小芳三个人到文具店购买同一种笔记本和钢笔，他们把各自购买的数量和总价列成了表格．聪明的小明发现其中有一个人把总价算错了，这个算错的人是　 　 ． 小明 小华 小芳 笔记本（本） 15 24 27 钢笔（支） 25 40 45 总价（元） 330 528 585 4．（2024春•德庆县期末）随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 1.2元/只 0.4元/只 售价 1.8元/只 0.6元/只 （1）若该公司三月份的利润为8.8万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？ （2）如果该公司四月份投入成本不超过20万元，该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩多少万只？ （3）养正学校到该公司购买乙型口罩有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打8折；方案二：购买16.8元会员卡后，乙型口罩一律7折，请帮养正学校设计出合适的购买方案． 5．（2025秋•合川区期末）为做好日常消毒和体温检测工作，学校拟购买消毒酒精（单位：瓶）和红外测温仪（单位：台）．已知购买1瓶消毒酒精和2台红外测温仪共需要420元，1台红外测温仪的价格刚好是1瓶消毒酒精价格的10倍． （1）求每瓶消毒酒精和每台红外测温仪的价格分别是多少？ （2）销售商家推出两种购买方案，如下表： 购买方案 消毒酒精 红外测温仪 附加优惠 A 8.8折 9.5折 每购买200瓶消毒酒精送1台红外测温仪 B 9折 9折 无 该学校共有60个班，计划每个班配备20瓶消毒酒精和1台红外测温仪，学校选择哪种购买方案更划算，说明理由． 6．（2024春•梁平区期中）某一天，蔬菜经营户老李用了145元从蔬菜批发市场批发一些黄瓜和茄子，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价（元/千克） 3 4 零售价（元/千克） 4 7 （1）当天他卖完这些黄瓜和茄子共赚了90元，这天他批发的黄瓜和茄子分别是多少千克？ （2）当天他卖完这些黄瓜和茄子后，又花50元去批发了m千克黄瓜和n千克茄子（m、n为整数），求m、n的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5 第10章二元一次方程组的实际应用 考法1 与几何图形解法 【典例精析】 【典例1】（2025秋•宿迁期末）小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个恰好是边长为3cm的小正方形，求小长方形的面积． 【分析】设小长方形的宽为xcm，长为ycm，根据图1中大长方形的长、图2中大正方形的边长的不同表示方法得出方程组，解方程组求出小长方形的宽和长即可解决问题． 【解答】解：设小长方形的宽为x cm，长为y cm， 则图1中大长方形的长可以表示为5x cm或3y cm，图2中大正方形的边长可以表示为（2x+y）cm或（2y+3）cm， 那么可得出方程组为：， 解得：， 则小长方形的面积为：9×15＝135（cm2）， 答：小长方形的面积为135cm2． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，观察图形得出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【针对训练】 1．（2024秋•东坡区期末）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（　　） A．60厘米 B．80厘米 C．100厘米 D．120厘米 【分析】设小长方形纸片的长为x厘米，宽为y厘米，由大长方形的宽为60厘米，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设小长方形纸片的长为x厘米，宽为y厘米， 根据题意得：， 解得：， 则每个小长方形的周长＝2（x+y）＝120（厘米）， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2025秋•太原期末）用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片拼图．如图，已知图1中4个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为16cm2；图2中8个长方形纸片围成的阴影部分正方形面积为9cm2．若设每张长方形纸片的长为xcm，宽为ycm，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设每张长方形纸片的长为xcm，宽为ycm，根据题意列出方程组即可． 【解答】解：由题意得：图1正方形阴影部分边长为4cm，图2正方形阴影部分边长为3cm， 设每张长方形纸片的长为xcm，宽为ycm， 根据题意得，， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 3．（2024秋•雁塔区期末）将四个完全相同的直角三角形分别拼成正方形（如图1，2），边长分别为6和2．若以一个直角三角形的两条直角边为边向外作正方形（如图3），其面积分别为S1，S2，则S1﹣S2＝（　　） A．12 B．16 C．20 D．40 【分析】首先设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＞b），然后根据图1、2列出关于a、b的方程组即可求解． 【解答】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边分别为a，b（a＞b）， 根据图象可得：， 解得， ∴S1＝16，S2＝4， 则S1﹣S2＝12． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，全等三角形的性质，解题的关键是正确理解图形中隐含的数量关系． 4．（2025春•临平区月考）在大正方形ABCD中，按图中的虚线裁剪出8块相同的大长方形AEFG纸片，4块相同的小长方形纸片和1个小正方形纸片，若大正方形ABCD的面积是49，小正方形（阴影部分）的面积是9，则每块大长方形AEFG的面积是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】设长方形AEFG纸片的长为a，宽为b（a＞b），由小正方形（阴影部分）的面积是9，可得（a﹣b）2＝9，即a﹣b＝3，由大正方形ABCD的面积是49，4块相同的小长方形纸片的长为2b，宽为b，可得（a+3b）2＝49，即a+3b＝7，再求解即可． 【解答】解：设长方形AEFG纸片的长为a，宽为b（a＞b）， ∴（a﹣b）2＝9，即a﹣b＝3， 大正方形ABCD的面积是49，4块相同的小长方形纸片的长为2b，宽为b， ∴（a+3b）2＝49，即a+3b＝7， ∴， 解得， ∴面积是1×4＝4， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解决本题的关键是理解题意，并能从题意中找出等式． 5．如图．阴影部分是边长为1的小正三角形，A，B，C，D，E，F，G，H分别是8个正三角形，则A和B的边长分别是（　　） A．2，4 B．2.5，5 C．3，6 D．4，8 【分析】设A的边长为x，根据等边三角形的性质和已知图形得到H和G的边长都为x，B的边长为2x，由于阴影部分是边长为1的小正三角形，易得C的边长为2x﹣1，F和E的边长为x+1，所以D的边长可表示为2x﹣1或x+2，则2x﹣1＝x+2，然后解方程求出x即可得到A和B的边长． 【解答】解：如图， 设A的边长为x，则H和G的边长都为x，B的边长为2x， ∵阴影部分是边长为1的小正三角形， ∴C的边长为2x﹣1，F和E的边长为x+1， ∴D的边长为2x﹣1或x+2， ∴2x﹣1＝x+2， 解得x＝3， ∴A和B的边长分别3和6． 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．也考查了观察图形的能力． 6．（2025秋•深圳期末）在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形（空白部分），其中AB＝5cm，BC＝7cm，求阴影部分图形的总面积（　　） A．12cm2 B．13cm2 C．14cm2 D．15cm2 【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意列方程组求解即可． 【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm， 依题意得， 解得， ∴小长方形的长为4cm，宽为1cm． 则7×5﹣5×4×1＝15（cm2）． 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，有理数的混合运算，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 7．（2025春•营山县期末）如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，点B落在点B′处，∠B′AD比∠BAE大48°．设∠BAE和∠B′AD的度数分别为x°和y°，那么x和y满足的方程组是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据由将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，点B落在点B′处，∠B′AD比∠BAE大48°的等量关系即可列出方程组． 【解答】解：由题意可得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．理解题意是关键． 8．（2025秋•平阴县期末）用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B的坐标为（7，4），若每个长方形的长为x，宽为y，则可列出方程组（　　） A． B． C． D． 【分析】每个长方形的长为x，宽为y，根据点B的坐标，列出关于x、y的二元一次方程组即可． 【解答】解：根据题意得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及坐标与图形性质，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 9．（2025秋•衡山县期末）如图，用四个完全一样的长、宽分别为x、y的长方形纸片围成一个大正方形ABCD，中间是空的小正方形EFGH．若AB＝a，EF＝b，判断以下关系式： ①x+y＝a；②x﹣y＝b；③a2﹣b2＝2xy；④x2﹣y2＝ab；⑤x2+y2， 其中正确的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】利用大正方形的边长＝长方形的长+长方形的宽，小正方形的边长＝长方形的长﹣长方形的宽，大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个长方形的面积，完全平方公式x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，进而判定即可． 【解答】解：由图形可得：①大正方形的边长＝长方形的长+长方形的宽，故x+y＝a正确； ②小正方形的边长＝长方形的长﹣长方形的宽，故x﹣y＝b正确； ③大正方形的面积﹣小正方形的面积＝4个长方形的面积，故a2﹣b2＝4xy错误； ④根据①知x+y＝a，根据②知x﹣y＝b，则x2﹣y2＝ab，正确； ⑤x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝a2﹣2，正确． 所以正确的个数为4． 故选：C． 【点睛】本题考查了图形的面积、整式的混合运算以及因式分解的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力． 10．（2025秋•南通期末）如图是一个周长为16的长方形ABCD，它恰好可以分割成5个小长方形（分别标记为①，②，③，④，⑤），其中AE＝CG，AH＝CF，DF＝BH，DE＝BG．若⑤为正方形，则②的周长为　8　 ；若①的周长为9.4，则⑤的长与宽之差为　1.4　 ． 【分析】设AE＝CG＝x，AH＝CF＝y，DF＝BH＝m，DE＝BG＝n，通过长方形ABCD的周长为16，则x+y+m+n＝8，求出⑤的长和宽为y﹣m和n﹣x，再通过⑤为正方形，即可求解②的周长为2（m+n）＝8；长方形①的周长为9.4，则x+y＝4.7，得m+n＝8﹣4.7＝3.3，由⑤的长和宽为y﹣m和n﹣x，即可求⑤的长与宽之差． 【解答】解：设AE＝CG＝x，AH＝CF＝y，DF＝BH＝m，DE＝BG＝n， ∵长方形ABCD的周长为16， ∴根据题意列二元一次方程得，x+y+m+n＝8， 则⑤的长和宽为：y﹣m和n﹣x， 若⑤为正方形， 则y﹣m＝n﹣x， ∴x+y＝m+n， ∴x+y＝m+n＝4， ∴2（m+n）＝8，即②的周长为8， ∵2（x+y）＝9.4，即①的周长为9.4， ∴x+y＝4.7， ∵x+y+m+n＝8， ∴m+n＝8﹣4.7＝3.3， ∵⑤的长和宽分别为y﹣m和n﹣x， ∴⑤的长与宽之差为y﹣m﹣（n﹣x）＝x+y﹣（m+n）＝1.4， 故答案为：8，1.4． 【点睛】此题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，利用整体代入求值． 11．（2025秋•南湖区月考）如图，把一个黑色大正方形和四个完全相同的白色小正方形分别按图①②两种方式摆放，若a+b＝24，a﹣b＝8，则图②中未被白色小正方形覆盖的阴影部分面积为　128　 ． 【分析】利用二元一次方程组，求出a，b的值，然后求出大正方形和小正方形的边长，最后求出面积即可． 【解答】解：由a+b＝24，a﹣b＝8得， （a+b）+（a﹣b）＝32，（a+b）﹣（a﹣b）＝16， 解得a＝16，b＝8， 由a﹣b＝8得，白色小正方形的边长为8÷4＝2， ∴黑色大正方形的边长为16﹣2×2＝12， ∴未被白色小正方形覆盖的阴影部分面积为122﹣4×22＝128， 故答案为：128． 【点睛】本题主要考查了列代数式，解二元一次方程组，解题的关键是表示出图形的面积． 12．（2025秋•吉安县期末）如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40厘米的大长方形，求每个小长方形的周长和大长方形的面积． 【分析】设小长方形纸片的长为x厘米，宽为y厘米，根据题意以及图形中长方形的长相等建立方程组，再解方程组即可． 【解答】解：设小长方形纸片的宽为x厘米，长为y厘米，根据题意得：x+y＝40， 则每个小长方形的周长＝2（x+y）＝80厘米 根据大长方形的长相等则3x+2y＝3y和x+y＝40组成方程组，， 解得， 3×30×40＝3600（cm2）， 即所以大长方形的面积为3600cm2． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 13．（2025秋•乾县期末）如图，七个相同的小长方形无缝隙、不重叠地拼成一个大长方形，若大长方形的宽为21，求一个小长方形的长和宽分别是多少？（用方程组的知识解答） 【分析】设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图形列二元一次方程组，求解即可． 【解答】解：设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm， 依题意得：， 解得：， 答：每个小长方形的长是15cm，宽是6cm． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 14．（2025秋•雨花区期末）如图，将某种规格的长方形纸板按照图①、图②所示的两种方法裁剪，分别可裁得2块小长方形纸板和3块小正方形纸板.4块相同的小长方形纸板和1块小正方形纸板可做成图③所示的无盖长方体纸盒．而有盖长方体纸盒则需要4块相同的小长方形纸板和2块小正方形纸板． （1）现有这种规格的长方形纸板21张，怎样裁剪可制成的无盖纸盒数最多？最多能做多少个？ （2）根据需要，要制成有盖长方体纸盒30个，则需要同样规格的长方形纸板多少张？ 【分析】（1）设用x张纸板按图①所示的方法裁剪，用y张纸板按图②所示的方法裁剪，根据现有这种规格的长方形纸板21张，裁得的小长方形纸板的总数量是裁得的小正方形纸板总数量的4倍，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据题意列式计算即可． 【解答】解：（1）当裁剪出的小长方形和小正方形正好配套时，制成的无盖纸盒最多， 设用x张纸板按图①所示的方法裁剪，用y张纸板按图②所示的方法裁剪， 根据题意得：， 解得：， ∴3y＝9， 答：用18张纸板按图①所示的方法裁剪，3张纸板按图②所示的方法裁剪，可制成的无盖纸盒数最多，最多能做9个； （2）根据题意得：80（张）， 答：加工方还需要购进同样规格的长方形纸板80张． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 15．（2025秋•杜尔伯特县期末）列方程或方程组解应用题 现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，进一步求出长方形的面积即可． 【解答】解：设小长方形的长为x，宽为y，由题意和图可知： ， 解得：， ∴每个小长方形的面积为6×10＝60． 【点睛】本题考查二元一次方程的实际应用，关键是根据题意找到等量关系式． 16．（2023春•南安市期中）学校举办“艺术周”创意设计展览，如图，现有一个大正方形和四个一样的小正方形，小明、小聪、小方分别用这些正方形设计出了图1，图2，图3三种图案： （1）根据图1，图2中所标数据，求出大正方形和小正方形的边长分别是多少厘米？ （2）图3中四个小正方形的重叠部分也是三个一样的小正方形，求阴影部分的面积． 【分析】（1）设大正方形和小正方形的边长分别是xcm和ycm，根据题意列方程组即可得到结论； （2）设四个小正方形的重叠部分形成小正方形的边长为acm，根据题意列方程得到a，根据正方形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）设大正方形边长xcm，小正方形边长ycm， 依题意得， 解得， 答：大正方形和小正方形的边长分别是12cm和4cm； （2）设有重叠的小正方形边长acm， 依题意得3（4﹣a）+4＝12， 解得， ∴阴影面积（cm2）． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正方形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 考法2 与古典数学结合 【典例精析】 【典例2】（2023•宁江区二模）《九章算术》中记载这样一道问题． 原文：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀各重几何？” 译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每只各重多少斤？” 请解答上述问题． 【分析】设每只雀重x斤，每只燕重y斤，根据“将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等；5只雀、6只燕的总重量为1斤”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出雀、燕每只的重量． 【解答】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤， 依题意得：， 解得：． 答：每只雀重斤，每只燕重斤． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【针对训练】 1．（2025•临安区一模）《算法统宗》是我国明朝数学家程大位的数学著作，书中有一道“僧分馒头”的问题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”译文为：100个和尚分100个馒头，大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，问大和尚与小和尚分别有多少人．设大和尚x人，小和尚y人，下列方程组列式正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】设大和尚有x人，小和尚有y人，根据“有100个和尚”和“大和尚每人吃3个馒头，3个小和尚吃1个馒头，刚好分完100个馒头”列出方程组即可． 【解答】解：根据题意得， 故选：D． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 2．（2022秋•抚州期末）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，2大桶加2小桶共盛 　　 斛米． 【分析】设一个大桶盛米x斛，一个小桶盛米y斛，根据5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛米2斛即可得出关于x、y的二元一次方程组，进而即可得出结论． 【解答】解：设一个大桶盛米x斛，一个小桶盛米y斛， 根据题意得：， ①+②得：6x+6y＝5． ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查二元一次方程组的应用，解题关键在于列出方程 3．（2025秋•娄星区期末）明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著．某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房． （1）请列方程组，并求出该店有客房多少间？房客多少人？ （2）假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房．每间客房收费30钱，且每间客房最多人住3人，一次性定客房25间以上（含25间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【分析】（1）设该店有客房x间，房客y人，根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）分别求出单独订房及一次性定客房25间所需费用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设该店有客房x间，房客y人， 依题意，得：， 解得：． 答：该店有客房8间，房客63人． （2）若每间客房住3人，则63名客人至少需要客房21间，需付费30×21＝630（钱）； 若一次性定客房25间，则需付费30×25×0.8＝600（钱）． ∵600＜630， ∴一次性定客房25间更合算． 答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房25间更合算． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 考法3 销售问题与方案选择 【典例精析】 【典例3】（2024春•沙坪坝区月考）重庆某小区超市第一次用6000元购进一批大米和面粉，面粉的袋数比大米袋数的多15袋．大米与面粉每袋的进价与售价如表： 大米 面粉 进价 22元/袋 30元/袋 售价 29元/袋 40元/袋 （1）超市第一次进购大米和面粉各多少袋？ （2）在第一次购进的大米和面粉销售完后，超市第二次以第一次的进价又购进了一批大米和面粉，其中大米袋数不变，面粉袋数是第一次的3倍．大米按原价销售，面粉打折销售，第二次售完后获得的总利润比第一次获得的总利润多180元．问第二次面粉打几折？ 【分析】（1）设超市第一次进购大米x袋，面粉y袋，根据“超市第一次购进大米和面粉共花费6000元，购进面粉的袋数比大米袋数的多15袋”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设第二次面粉打m折销售，利用总利润＝每袋的销售利润×销售数量（购进数量），即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设超市第一次进购大米x袋，面粉y袋， 根据题意得：， 解得：． 答：超市第一次进购大米150袋，面粉90袋； （2）设第二次面粉打m折销售， 根据题意得：（29﹣22）×150+（4030）×90×3＝（29﹣22）×150+（40﹣30）×90+180， 解得：m＝8.5， 答：第二次面粉打八五折销售． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【针对训练】 1．（2024春•丛台区期中）科技馆门票价格规定如表． 购票张数 1﹣50张 51﹣100张 100张以上 每张票的价格 15元 12元 10元 某学校七年级①、②两个班共103人去科技馆，其中①班有40多人，不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1377元．七年级②班学生有 　56　 人，如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省 　347　 元． 【分析】设七年级②班有x人，七年级①班有y人，由题意：七年级①、②两个班共103人去科技馆，其中①班有40多人，不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1377元，列出方程组，解方程组即可，再求出购买103张票的总钱数，即可求解． 【解答】解：设七年级②班有x人，七年级①班有y人， 由题意得：， 解得：， ∴七年级②班有56人， 1377﹣10×103＝347（元）． 即如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省347元， 故答案为：56，347． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2023春•兖州区期末）某兴趣小组外出登山，乘坐缆车的费用如表所示： 乘坐缆车方式 乘坐缆车费用（单位：元/人） 往返 160 单程 90 已知小组成员每个人都至少乘坐一次缆车，去程时有6人乘坐缆车，返程时有12人乘坐缆车，他们乘坐缆车的总费用是1540元，该小组共有 　14　 人． 【分析】设该小组共有x人，则乘坐缆车往返的有（6+12﹣x）人，乘坐缆车单程的有（2x﹣18）人，根据他们乘坐缆车的总费用是1540元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设该小组共有x人，则乘坐缆车往返的有（6+12﹣x）人，乘坐缆车单程的有x﹣（6+12﹣x）＝（2x﹣18）人， 依题意得：160（6+12﹣x）+90（2x﹣18）＝1540， 解得：x＝14， ∴该小组共有14人． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．小明、小华和小芳三个人到文具店购买同一种笔记本和钢笔，他们把各自购买的数量和总价列成了表格．聪明的小明发现其中有一个人把总价算错了，这个算错的人是　小芳　 ． 小明 小华 小芳 笔记本（本） 15 24 27 钢笔（支） 25 40 45 总价（元） 330 528 585 【分析】设笔记本的单价为x，钢笔的单价为y，根据给出的数量，列出方程，求出3本笔记本和5只支钢笔的总钱数，再进行比较，即可得出答案． 【解答】解：设笔记本的单价为x，钢笔的单价为y，则： 小明：15x+25y＝5（3x+5y）＝330， 3x+5y＝66（元）； 小华：24x+40y＝8（3x+5y）＝528， 3x+5y＝66（元）； 小芳：27x+45y＝9（3x+5y）＝585， 3x+5y＝65（元）； 小明与小华的结果相同，故小芳错误． 故答案为小芳． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程，由于两种商品的单价是一定的，根据单价、购买数量及总价之间的数量关系进行分析推理是完成本题的关键． 4．（2024春•德庆县期末）随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本、售价如表： 甲 乙 成本 1.2元/只 0.4元/只 售价 1.8元/只 0.6元/只 （1）若该公司三月份的利润为8.8万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？ （2）如果该公司四月份投入成本不超过20万元，该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩多少万只？ （3）养正学校到该公司购买乙型口罩有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打8折；方案二：购买16.8元会员卡后，乙型口罩一律7折，请帮养正学校设计出合适的购买方案． 【分析】（1）设生产甲型口罩x万只，乙型口罩y万只，结合该公司三月份生产两种口罩20万只，且该公司三月份的利润为8.8万元，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设生产甲型口罩m万只，则生产乙型口罩（20﹣m）万只，根据该公司四月份投入成本不超过20万元，列出一元一次不等式，解之即可解决问题； （3）设购买乙型口罩a只，则选择方案一所需费用为0.54a元，选项方案二所需费用为（16.8+4.8a）元，三种情况，可求出a的取值范围（或a的值），进而可得出：当购买数量少于280只时，选项方案一购买更实惠；当购买数量等于280只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于280只时，选择方案二购买更实惠． 【解答】解：（1）设生产甲型口罩x万只，乙型口罩y万只， 依题意得：， 解得：， 答：生产甲型口罩12万只，乙型口罩8万只． （2）设生产甲型口罩m万只，则生产乙型口罩（20﹣m）万只， 依题意得：1.2m+0.4（20﹣m）≤20， 解得：m≤15． 答：该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩15万只； （3）设购买乙型口罩a只，则选择方案一所需费用为0.6×0.8a＝0.48a（元），选项方案二所需费用为16.8+0.6×0.7a＝（16.8+0.42a）（元）． 当0.48a＜16.8+0.42a时，a＜280； 当0.48a＝16.8+0.42a时，a＝280； 当0.48a＞16.8+0.42a时，a＞280． 答：当购买数量少于280只时，选项方案一购买更实惠；当购买数量等于280只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于280只时，选择方案二购买更实惠． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式；（3）分三种情况，求出a的取值范围（或a的值）． 5．（2025秋•合川区期末）为做好日常消毒和体温检测工作，学校拟购买消毒酒精（单位：瓶）和红外测温仪（单位：台）．已知购买1瓶消毒酒精和2台红外测温仪共需要420元，1台红外测温仪的价格刚好是1瓶消毒酒精价格的10倍． （1）求每瓶消毒酒精和每台红外测温仪的价格分别是多少？ （2）销售商家推出两种购买方案，如下表： 购买方案 消毒酒精 红外测温仪 附加优惠 A 8.8折 9.5折 每购买200瓶消毒酒精送1台红外测温仪 B 9折 9折 无 该学校共有60个班，计划每个班配备20瓶消毒酒精和1台红外测温仪，学校选择哪种购买方案更划算，说明理由． 【分析】（1）设每瓶消毒酒精的价格是x元，每台红外测温仪的价格是y元，根据“购买1瓶消毒酒精和2台红外测温仪共需要420元，1台红外测温仪的价格刚好是1瓶消毒酒精价格的10倍”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）学校选择购买方案A更划算，利用总价＝单价×数量，结合两种购买方案给出的优惠方法，可得出选择各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设每瓶消毒酒精的价格是x元，每台红外测温仪的价格是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每瓶消毒酒精的价格是20元，每台红外测温仪的价格是200元； （2）学校选择购买方案A更划算，理由如下： 选择方案A所需总费用为20×0.88×20×60+200×0.95×（60）＝31380（元）； 选择方案B所需总费用为20×0.9×20×60+200×0.9×60＝32400（元）． ∵31380＜32400， ∴学校选择购买方案A更划算． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，列式计算． 6．（2024春•梁平区期中）某一天，蔬菜经营户老李用了145元从蔬菜批发市场批发一些黄瓜和茄子，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价与零售价如表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价（元/千克） 3 4 零售价（元/千克） 4 7 （1）当天他卖完这些黄瓜和茄子共赚了90元，这天他批发的黄瓜和茄子分别是多少千克？ （2）当天他卖完这些黄瓜和茄子后，又花50元去批发了m千克黄瓜和n千克茄子（m、n为整数），求m、n的值． 【分析】（1）设这天他批发黄瓜x千克，茄子y千克，利用总进价＝黄瓜的批发价×批发数量+茄子的批发价×批发数量结合总利润＝每千克的销售利润×购进数量，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总进价＝黄瓜的批发价×批发数量+茄子的批发价×批发数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为整数，即可得出结论． 【解答】解：（1）设这天他批发黄瓜x千克，茄子y千克， 依题意得：， 解得：． 答：这天他批发黄瓜15千克，茄子25千克． （2）依题意得：3m+4n＝50， ∴n． 又∵m，n均为整数， ∴或或或． 答：当m的值为2时，n的值为11；当m的值为6时，n的值为8；当m的值为10时，n的值为5；当m的值为14时，n的值为2． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $