第09讲多面体的外接球与内切球专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第09讲多面体的外接球与内切球 【题型1】多面体的外接球 例题1．在矩形ABCD中，，，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角，则四面体ABCD的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 例题2．高和底面圆直径均为2的圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 例题3．已知正三棱台的高为5，，，则该正三棱台外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 例题4．在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 【针对训练】 1．现有一平行四边形纸片如图，已知，将其折成一个三棱锥（不可剪开），使三棱锥的四个面刚好可以组成该平行四边形纸片，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在四面体中，，分别为，的中点，且，，，则该四面体的外接球表面积为（   ）    A． B． C． D． 4．已知正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D．    5．已知一个侧棱等于底面边长的正三棱柱的外接球的表面积为，则该三棱柱的表面积为（   ） A．3+36 B．6+36 C．3+12 D．6+12 【课后巩固】 1．正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 2．在矩形中，，，沿对角线将折起，折至，则四面体的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 3．已知正三棱柱的各棱长均为，则该正三棱柱的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 4．已知四面体满足，，均为等腰三角形，且，若，的夹角为，则该四面体外接球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 5．已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 6．已知正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为2，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 7．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 8．已知菱形的边长为，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在三棱锥中，平面，，，则该三棱锥外接球的体积为（   ）    A． B． C． D． 10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点．则三棱锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 11．已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______． 12．已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，则球的表面积为______． 【题型2】多面体的内切球 例题1．已知圆柱和圆锥的底面半径均为3，侧面积相等，若圆柱的高为，则圆锥内切球的体积为（   ） A． B． C． D． 例题2．棱长为的正方体盒子中装有半径分别为1和2的两个铁球，则的取值范围为（   ） A． B． C． D．故选：C. 例题3．已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．已知正四棱锥的底面边长为4，高为6，则该正四棱锥的内切球半径为（     ） A． B． C． D． 2．已知某圆锥的母线长为，该圆锥内切球的球心与其外接球的球心重合，则该圆锥内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 3．若一个正方体内切球的表面积为，则该正方体的棱长为（   ） A．3 B．6 C． D． 4．四面体中，平面，，，，则该四面体的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 5．将一个直角边长分别为3，4的直角三角形绕其较长直角边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 6．已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 7．棱长为的正方体，则其内切球的体积为______． 8．已知中，，，若将绕直线旋转一周，所得几何体的内切球半径等于，则该内切球的表面积为______. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲多面体的外接球与内切球 【题型1】多面体的外接球 例题1．在矩形ABCD中，，，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角，则四面体ABCD的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】如图 设AC的中点为O，由矩形ABCD可知点O到四面体的每个顶点的距离都相等，为， 则点O即为四面体外接球的球心，所以四面体ABCD的外接球的半径为， 则四面体ABCD的外接球的表面积为． 例题2．高和底面圆直径均为2的圆锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】设外接球的半径为，依题意可得，解得， 所以圆锥的外接球的表面积. 故选：C 例题3．已知正三棱台的高为5，，，则该正三棱台外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】分别取、的中心，连接，过作， 因为，由正弦定理得，得，同理可得， 由题意， 设正三棱台的外接球球心为O，因为为上底面截面圆的圆心，为下底面截面圆的圆心， 所以由正三棱台的性质可知，其外接球的球心在直线EF上， 设外接球O的半径为R，所以，，， 即，， 当在EF的延长线上时，可得，无解； 当在线段EF上时，轴截面中由几何知识可得，解得， 所以正三棱台的外接球表面积为. 故选：D 例题4．在四面体中，，，两两垂直，且，若均在球的球面上，则的表面积为（   ） A．50 B．100 C．150 D．200 【详解】根据题意得四面体的外接球和以，，为长宽高的长方体的外接球相同， 所以外接球的直径为， 所以外接球的表面积为， 故选：A. 【针对训练】 1．现有一平行四边形纸片如图，已知，将其折成一个三棱锥（不可剪开），使三棱锥的四个面刚好可以组成该平行四边形纸片，若三棱锥的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图所示，图（1）中，过点作， 因为，可得， 按虚线折叠即可，可得该三棱锥对棱相等，且三组对棱分别为， 将该三棱锥补全到图（2）中的长方体中， 此时三棱锥的外接球即为长方体的外接球， 设长方体的棱长分别为，可得， 所以，即其外接球半径， 故外接球表面积为. 故选：B． 2．在三棱柱中，已知底面，侧棱，，，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【详解】设三棱柱外接球的球心为， 分别为和的外心，则. 由对称性可知为的中点，所以到上、下底面的距离. 设外接圆的半径为，则由正弦定理可知，所以. 由球的性质可知球的半径， 所以该三棱柱外接球的体积. 故选：B 3．如图，在四面体中，，分别为，的中点，且，，，则该四面体的外接球表面积为（   ）    A． B． C． D． 【详解】连接，    因为线段的中点，，则， 又为线段的中点，，，则， 则， 则该四面体的外接球球心为，半径，表面积. 故选：D． 4．已知正三棱台的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，，即，， 设球心到上下底面的距离分别为，，球的半径为， 即，即， 平方可得：，解得； 所以球的表面积为. 故选：A.    5．已知一个侧棱等于底面边长的正三棱柱的外接球的表面积为，则该三棱柱的表面积为（   ） A．3+36 B．6+36 C．3+12 D．6+12 【详解】设外接球的半径为r，则，解得， 设正三棱柱的底面边长为a，由题意知侧棱长为a， 如图所示： 设外接球的球心为O，底面的中心为， 则， 即，即， 解得， 所以该三棱柱的表面积为， 故选：B. 【课后巩固】 1．正四棱锥的体积为8，，若该四棱锥的顶点均在一个球面上，则这个球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 【详解】如图，设为外接球球心，底面于点，设， 由正四棱锥的体积为8，即，解得，则， 又，所以，， 在中，，即，解得， 所以外接球的表面积为. 故选：C. 2．在矩形中，，，沿对角线将折起，折至，则四面体的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为四边形为矩形， 所以折起后均为直角三角形， 所以的外接圆的圆心均为的中点， 又四面体的外接球的球心到四个顶点的距离相等， 所以球心为的中点，半径， 所以外接球的体积为. 故选：B. 3．已知正三棱柱的各棱长均为，则该正三棱柱的外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 【详解】设上、下两个底面的中心分别为、，连接， 因为所有棱长为的正三棱柱的六个顶点都在同一球面上， 所以正三棱柱外接球的球心为的中点， 连接，在等边中，， 在直角中，， 所以正三棱柱外接球的半径， 所以球的表面积为. 故选：C. 4．已知四面体满足，，均为等腰三角形，且，若，的夹角为，则该四面体外接球的表面积为（    ）． A． B． C． D． 【详解】将四面体补成如图所示的直三棱柱， 可知，，故， 又，所以． 设四面体的外接球球心为O， 则O在平面内的射影为的外心，且， 由正弦定理得， 故外接球半径，故． 故选：B 5．已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题可知，，设棱台高为， 则，解得，    根据正四棱台的特性，正四棱台的外接球半径即为四边形外接圆半径， 又，，所以， 则，所以为直角三角形， 故为四边形外接圆直径， 正四棱台的外接球半径，体积. 故选：B. 6．已知正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为2，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【详解】设正三棱柱的外接球的球心为，三棱柱上、下底面的中心为，，， 由对称性可知为的中点，且到上、下底面的距离，即. 又、到所在面顶点的距离， 由勾股定理得该球的半径， 所以外接球的体积. 故选：C. 7．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【详解】在三棱锥中，因为平面，且，，， 则三棱锥可补成如图所示的一个长方体， 其中三棱锥的外接球与该长方体的外接球为同一个球， 在直角中，可得， 设三棱锥的外接球的半径为， 可得，所以， 则球的体积为. 故选：B. 8．已知菱形的边长为，，现将沿直线翻折，得到三棱锥，则当三棱锥体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】当三棱锥体积最大时，平面平面， 取的中点，连接， 因为四边形为菱形， 所以， 因为平面平面， 所以， 如图，过上靠近的三等分点作平面的垂线， 过上靠近的三等分点作平面的垂线， 两条垂线的交点即为三棱锥的外接球的球心，连接， 因为，， 所以为等边三角形， 所以， 所以， 同理可得， 所以， 所以. 故选：D. 9．如图，在三棱锥中，平面，，，则该三棱锥外接球的体积为（   ）    A． B． C． D． 【详解】如图，设三棱锥外接球的球心为点，的外接圆的圆心为点， 连接，则，设的外接圆的半径为， ，可得，即， 因为平面，， 所以， 所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的体积为.    故选：. 10．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三点重合于点．则三棱锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】显然，两两垂直，其中， 故三棱锥外接球就是以为长宽高的长方体的外接球， 故外接球半径为， 故三棱锥外接球表面积为. 故选：B 11．已知直三棱柱中，侧棱，，，则三棱柱的外接球表面积为______． 【详解】 在直三棱柱中，因为，， 可得， 则可把这个直三棱柱补形为长方体， 所以长方体的外接球就是直三棱柱的外接球， 即该球的直径为长方体的体对角线， 又，则， 则三棱柱的外接球表面积为， 故答案为： 12．已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，则球的表面积为______． 【详解】由，可知，，故， 将直三棱柱补成如图所示， 以为邻边的长方体， 故直三棱柱外接球半径等于长方体体对角线一半，即半径， 所以球的表面积为， 故答案为：. 【题型2】多面体的内切球 例题1．已知圆柱和圆锥的底面半径均为3，侧面积相等，若圆柱的高为，则圆锥内切球的体积为（   ） A． B． C． D． 【详解】设圆柱的底面半径为，圆锥的母线长为，内切球半径为， 则圆柱侧面积为， 所以圆锥的侧面积为，由圆锥侧面积公式可得， 故圆锥母线长，可得圆锥的高. 根据圆锥轴截面面积可知， 化简得，则圆锥内切球体积为. 故选：C 例题2．棱长为的正方体盒子中装有半径分别为1和2的两个铁球，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【详解】当正方体内恰好装入的两个铁球刚好外切时，正方体的棱长取最小值，    设正方体为，球，的半径分别为，， 作出对角线及球心，所在的截面，如图所示， 正方体的棱长为，， 在直角中，， ，， ，， ， ，解得， 即正方体的棱长的最小值为， 所以 故选：C. 例题3．已知正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，则这个正三棱锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为正三棱锥的体积为，侧面积为，底面积等于，如图： 设O为三棱锥的内切球的球心，则连接， 三棱锥被分成四个三棱锥，这四个三棱锥的高均为内切球的半径r， 由等体积法可得 ， ，，解得 内切球体积. 故选：A. 【针对训练】 1．已知正四棱锥的底面边长为4，高为6，则该正四棱锥的内切球半径为（     ） A． B． C． D． 【详解】 ； 其中，， 由于 ； 则，； 2．已知某圆锥的母线长为，该圆锥内切球的球心与其外接球的球心重合，则该圆锥内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，圆锥的轴截面为，圆锥的底面中心为，则点为中点， 设内切球的球心与其外接球的球心为，则点在圆锥的高上，连接，过作于， 设圆锥内切球半径为，外接球半径为，圆锥底面半径为，高为，母线为， 由题可得，，，， 则， 由勾股定理可得：，所以，整理得 所以，又由可得， 联立解得， 故该圆锥内切球的半径为，所以内切球的表面积为. 故选：C. 3．若一个正方体内切球的表面积为，则该正方体的棱长为（   ） A．3 B．6 C． D． 【详解】设正方体棱长为，则内切球的半径为， 所以，得， 所以正方体的棱长为. 故选：D 4．四面体中，平面，，，，则该四面体的外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【详解】如图所示，圆为的外接圆，过作直线平面， 又平面，则，连接，与球交于点，连接，与直线的交点为球心，则，则， 在中，由正弦定理得，即， 所以该四面体的外接球的半径, 所以外接球的表面积. 故选：C. 5．将一个直角边长分别为3，4的直角三角形绕其较长直角边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题知所得圆锥的底面半径为3，高为4，母线长为5， 该圆锥内切球半径即为圆锥轴截面半径. 设圆锥内切球的半径为，则圆锥轴截面面积为，得． 所以，球的体积． 故选：A． 6．已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【详解】根据题意，设圆柱内切球半径为，底面半径为，高为， 又圆柱存在内切球，所以， ， 所以. 故选：C. 7．棱长为的正方体，则其内切球的体积为______． 【详解】设内切球的半径为， 所以，即，所以内切球的体积为， 故答案为：. 8．已知中，，，若将绕直线旋转一周，所得几何体的内切球半径等于，则该内切球的表面积为______. 【详解】如图： 作旋转体的轴截面，为如图筝形，设筝形的内切圆半径为， 因为中，，， 则；. 由. 又，可得. 由可得. 所以. 所以旋转体的内切球表面积为：. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $