2.1长方体的认识（同步讲义）-2025-2026学年五年级数学下册北师大版

本小学数学讲义聚焦“长方体的认识”核心知识点，系统梳理长方体的基本构成（6个面、8个顶点、12条棱，相对面相同、相对棱相等），棱长总和计算（长、宽、高分组及公式），以及正方体与长方体的特殊关系（长、宽、高相等的长方体），构建从基础特征到计算应用的学习支架。 资料设计覆盖基础巩固、能力提升、思维拓展三级练习，通过生活实例（如长方体框架焊接、蓄水池水位线计算）培养空间观念与几何直观，强化运算能力和推理意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，提升用数学语言表达和解决实际问题的能力。

2.1长方体的认识 重点知识点 知识点一：长方体的基本构成 长方体是由六个长方形围成的立体图形（特殊情况有两个相对的面是正方形）。它共有6个面，8个顶点和12条棱。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。 知识点二：棱长总和的计算 长方体的12条棱可以分为三组：4条长、4条宽、4条高。因此，长方体的棱长总和等于（长+宽+高）乘以4。正方体是特殊的长方体，它的12条棱长度全部相等，所以正方体的棱长总和等于棱长乘以12。 知识点三：正方体与长方体的关系 正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。因此，正方体具备长方体所有的特征，但它比长方体更特殊——它的六个面都是完全相同的正方形。所以我们说，正方体是特殊的长方体。 基础巩固 1．长方体的长5厘米、宽3厘米、高2厘米，它的棱长之和是( )厘米。 2．有以下形状的玻璃若干片，要从中选出三种，拼成一个长方体，可以选择( )。（填序号）（单位：cm） 3．用铁丝围一个长方体框架，使相交于同一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、6cm、9cm，则至少需要长( )cm的铁丝。 4．长方体有( )个顶点，( )条棱，( )个面，相对的面的面积( )，长方体所有面的面积之和就是它的( )。 5．一个长方体相交于同一顶点的三条棱的长度之和是10cm（如图），一只蚂蚁从点A沿着长方体的棱爬到点B，至少要爬( )cm。 6．观察一个长方体，一次最多看见它的( )个面，最少能看到( )个面。搭一个正方体，至少需要( )个小正方体。 7．李华有两根一样长的铁丝，将一根铁丝刚好折成一个长为7dm、宽为2dm、高为6dm的长方体框架，若将另一根折成一个最大的正方体框架，这个正方体框架的棱长是( )dm。（接口处忽略不计） 8．下面小棒不能搭成一个长方体框架的一组是（    ）。能力提升 A． B． C． D． 9．一个长方体的所有棱长之和是48厘米，则相交于一个顶点的三条棱长之和是（    ）。 A．12厘米 B．16厘米 C．24厘米 D．4厘米 10．用相同的小正方体拼成一个大正方体，至少需要（    ）个小正方体。 A．2 B．4 C．8 D．16 11．乐乐用木条搭成一个长方体框架，同一顶点处的三根木条长度如图所示，搭这个框架至少需用（    ）厘米的木条。 A．25 B．100 C．392 D．480 12．笑笑在家量一个长方体的物体，它的长、宽、高分别是70厘米、55厘米、170厘米，这个物体可能是（    ）。 A．微波炉 B．洗衣机 C．冰箱 D．电视机 13．（判断题）一个长方体相邻的两个面的面积可能相等。( ) 14．（判断题）在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体最多同时只能看到三个面。( ) 15．（判断题）一个长方体棱的总长为60厘米，相交于一个顶点的三条棱的长度和是10厘米。( ) 16．在一个长方体中，最多可以有2个面是正方形，最多可以有4条棱的长度相等。( ) 17．李叔叔用一根104厘米的铁丝刚好焊成一个长方体框架，这个长方体框架长12厘米、宽5厘米，它的高是多少厘米？ 18．一个长、宽、高分别为40厘米、30厘米、20厘米的小纸箱，在所有的棱上粘上一圈胶带，至少需要多少厘米的胶带？ 19．一根铁丝可以做成一个棱长为0.8米的正方体框架，如果用这根铁丝改做成一个宽0.9米，高0.7米的长方体框架，长方体框架的长是多少米？ 思维拓展 20．为植树绿化山坡需要，工人们在山顶挖了一个长8米、宽6米、深4米的长方体蓄水池，并在水池内壁离池底3.5米处画了一条水位线，这条水位线全长多少米？ 21．有一种长方体包装箱，从里面量长40厘米，宽12厘米，高7厘米。用这种包装箱装长5厘米、宽4厘米、高3厘米的首饰盒，要想装得最多，第一层装多少盒？第二层装多少盒？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．40 【分析】已知长方体有12条棱，其中包括4条长，4条宽，4条高，要求长方体的棱长之和，分别求出长、宽、高的棱长总和，再将其相加即可求解。 【详解】已知长方体的长5厘米、宽3厘米、高2厘米， 长的棱长总和：（厘米） 宽的棱长总和：（厘米） 高的棱长总和：（厘米） 长方体的棱长之和：（厘米） 因此长方体的长5厘米、宽3厘米、高2厘米，它的棱长之和是40厘米。 2．①②⑤ 【分析】根据长方体的特征：长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个面是正方形），相对面的面积相等，据此解答。 【详解】根据分析可知，选两个①，两个②和两个⑤，组成的长方体的长是90cm，宽是30cm，高是40cm。 拼成一个长方体，可以选择①②⑤。 3．80 【分析】题目中的相交于同一个顶点的三条棱的长度就是长方体的长、宽、高，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可。 【详解】 （cm） 用铁丝围一个长方体框架，使相交于同一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、6cm、9cm，则至少需要长80cm的铁丝。 4． 8 12 6 相等 表面积 【分析】根据长方体的特征可知，长方体有6个面，12条棱，相对的四条棱长度相等。 长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱。每组相对的面完全相同，所以相对面的面积相等。根据长方体的表面积公式可知，长方体所有面的面积之和就是它的表面积。 【详解】长方体有8个顶点，12条棱，6个面，相对的面的面积相等，长方体所有面的面积之和就是它的表面积。 5．10 【分析】根据题意可知：蚂蚁从A点沿着一个长方体框架的棱爬到B点，至少应爬一个高、一个长、一个宽，10cm就是长方体的长宽高的和，据此即可解答。 【详解】在如图的长方体中，相交于同一顶点的三条棱长之和是10cm，至少要爬10cm。 故答案为：10 6． 3 1 8 【分析】观察一个长方体，如果从正面看，一次最少能看到 1个面，如果从某一顶点看，最多能看到3个面；正方体的各个棱长都相等，所以要搭一个正方体，至少需要8个小正方体。 【详解】由分析可知： 观察一个长方体，一次最多看见它的3个面，最少能看到1个面。搭一个正方体，至少需要8个小正方体。 7．5 【分析】根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，正方体的棱长和＝棱长×12，据此求出长方体的棱长和，再除以12即可。 【详解】（7＋2＋6）×4 ＝（9＋6）×4 ＝15×4 ＝60（dm） 60÷12＝5（dm） 即这个正方体框架的棱长是5dm。 【点睛】此题主要考查长方体和正方体的棱长和公式。 8．A 【分析】长方体有12条棱，分为3组，每组4条棱，且每组中的4条棱长度相等。当长和宽、长和高或宽和高相等时，则只需2组，其中有8条棱长度相等。要判断小棒能否搭成长方体框架，需看是否有3组，每组有4根且长度相等；或2组小棒，是8根和4根且长度相等。 【详解】A．有2组小棒，每组数量有6根，不能搭成长方体框架。 B．有2组小棒，其中短的1组有8根长度相等，长的1组有4根，共8＋4＝12（根），可搭成长方体框架。 C．有3组小棒，每组数量有4根且长度相等，共4×3＝12（根），可搭成长方体框架。 D．有2组小棒，其中长的1组有8根长度相等，短的1组有4根，共8＋4＝12（根），可搭成长方体框架。 所以不能搭成一个长方体框架的一组是选项A中的小棒。 故答案为：A 9．A 【分析】根据长方体的特征：长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。已知一个长方体的所有棱长之和是48厘米，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，可知长方体的长、宽、高之和＝棱长总和÷4，代入数据计算求解。 【详解】48÷4＝12（厘米） 则相交于一个顶点的三条棱长之和是12厘米。 故答案为：A 10．C 【分析】正方体有6个面，6个面都是完全相同的正方形，根据正方体的特征确定至少需要的小正方体个数。 【详解】 用相同的小正方体拼成一个大正方体，如图，至少需要8个小正方体。 故答案为：C 11．B 【分析】由图可知，长方体的长是12厘米，宽是8厘米，高是5厘米，利用“长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4”求出需要木条的长度，据此解答。 【详解】（12＋8＋5）×4 ＝25×4 ＝100（厘米） 所以，搭这个框架至少需用100厘米的木条。 故答案为：B 12．C 【分析】由题意可知，这个物体的长是70厘米，宽是55厘米，高是170厘米，170厘米＝1.7米，说明这个物体的高度接近一个成年人的身高，那么这个物体很可能是选项中的冰箱，据此解答。 【详解】A．微波炉的宽度大约是40厘米~50厘米，深度大约是30厘米~40厘米，高度大约是30厘米，说明这个物体不是微波炉； B．联系生活实际可知，洗衣机的高度大约在50厘米~100厘米之间，说明这个物体不是洗衣机； C．一台冰箱的尺寸很可能长是70厘米，宽是55厘米，高是170厘米，说明这个物体可能是冰箱； D．在实际生活中，一台电视机的高度不可能是170厘米，说明这个物体不是电视机。 故答案为：C 13．√ 【分析】长方体有六个面，相对的面面积相等。通常情况下，相邻的面面积不同，但当长方体的长、宽、高中，有其中两个量相等时，相邻的两个面的面积可能相等。例如长和宽相等，长方体的两个底面是正方形，其他四个侧面大小形状都有相同，即四个侧面面积也相等，因此一个长方体相邻的两个面的面积可能相等，据此解答。 【详解】由分析得： 一个长方体相邻的两个面的面积可能相等。 故答案为：√ 14．√ 【分析】长方体有6个面，6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相同。根据长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围，从某个角度观察一个长方体最多能看到它的3个面。由此解答。 【详解】在画长方体时一般只画出三个面，这是因为长方体最多同时只能看到三个面。 故答案为：√ 15．× 【分析】根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，一个顶点的三条棱的和就是长方体的长＋宽＋高的和，用棱长总和÷4，即可取出一个顶点的三条棱长的和，据此解答。 【详解】60÷4＝15（厘米） 一个长方体棱的总长为60厘米，相交于一个顶点的三条棱的长度和是15厘米。 原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】利用长方体的特征进行解答。 16．× 【分析】根据长方体的特征可知，在一个长方体（非正方体）中最多可以有两个面是正方形，如果在长方体中有两个相对的面是正方形，这时最多有8条棱的长度相等，据此解答。 【详解】根据分析可知，在一个长方体中，最多可以有2个面是正方形，最多可以有4条棱的长度相等；说法错误。 故答案为：× 【点睛】利用长方体的特征进行解答。 17．9厘米 【分析】用一根104厘米的铁丝刚好焊成一个长方体框架，这个长方体框架的棱长总和就是104厘米；长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用棱长总和除以4减去长和宽，即可求出长方体的高，据此求解即可。 【详解】104÷4－12－5 ＝26－12－5 ＝9（厘米） 答：它的高应是9厘米。 【点睛】此题主要考查了学生运用长方体的棱长总和公式解题的能力。 18．360厘米 【分析】根据题意，求至少需要胶带的长度，就是这个长方体的棱长总和，根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可解答。 【详解】（40＋30＋20）×4 ＝（70＋20）×4 ＝90×4 ＝360（厘米） 答：至少需要360厘米的胶带。 19．0.8米 【分析】先根据正方体的棱长总和＝棱长×12，计算出铁丝的总长度，也是长方体的棱长总和； 再根据公式长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用长方体的棱长总和除以4，得到长、宽、高之和，再减去已知的宽和高，求出长方体框架的长。 【详解】0.8×12＝9.6（米） 9.6÷4－0.9－0.7 ＝2.4－0.9－0.7 ＝0.8（米） 答：长方体框架的长是0.8米。 20．28米 【分析】根据题意，求水位线的全长就是求长方体蓄水池的底面周长。长方体的底面是长方形，周长＝（长＋宽）×2，据此代入数据计算。 【详解】（8＋6）×2 ＝14×2 ＝28（米） 答：这条水位线全长28米。 【点睛】本题考查了长方体的有关计算。理解“水位线的全长就是长方体蓄水池的底面周长”是解题的关键。 21．24盒；32盒 【分析】要使装的首饰盒最多，应让首饰盒的长、宽、高尽可能与包装箱的长、宽、高匹配。将首饰盒按长5厘米、宽4厘米的面为底面放置在包装箱第一层。沿包装箱的长摆放：40÷5＝8（盒）。沿包装箱的宽摆放：12÷4＝3（盒）。则第一层能装的首饰盒数量为：8×3＝24（盒）。此时包装箱剩余的高度为7－3＝4厘米，将首饰盒按长5厘米、高3厘米的面为底面放置在第二层。沿包装箱的长摆放：40÷5＝8（盒）。沿包装箱的宽摆放：12÷3＝4（盒）。则第二层能装的首饰盒数量为：8×4＝32（盒）。 【详解】第一层：40÷5＝8（盒） 12÷4＝3（盒） 8×3＝24（盒） 第二层：40÷5＝8（盒） 12÷3＝4（盒） 8×4＝32（盒） 答：第一层装24盒，第二层装32盒 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $