6.2.1-6.2.3 向量的加法运算、向量的减法运算、向量的数乘运算 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

本高中数学讲义聚焦向量的加法、减法、数乘运算及共线定理，系统梳理从定义、运算法则（三角形法则、平行四边形法则）、运算律到共线定理及推论的知识脉络，搭建完整学习支架。 资料通过6大题型（线性运算、向量表示、求参数等）分类训练，结合方法提炼与几何应用实例，培养学生用数学眼光观察几何图形、用数学思维推理运算的能力，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

§6.2.1-§6.2.3 向量的加法运算、向量的减法运算、向量的数乘运算 目录 题型1：向量的线性运算 5 题型2：利用已知向量表示其他向量 5 题型3：根据向量线性运算求参数 7 题型4：向量运算在几何中的应用 8 题型5：共线定理及其应用 9 题型6：向量共线定理的推论 10 1. 向量的加法运算 (1) 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 (2) 运算法则 三角形法则 运用三角形法则时特别要注意“首尾相接”，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和。 平行四边形法则 运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合 提醒 向量的三角形法则可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即。 (3) 向量加法的运算律 交换律: ; 结合律: . 2. 向量的减法运算 (1) 相反向量：与向量长度相等，方向相反的向量，记作。 ①零向量的相反向量仍是零向量；② ；③；④若，互为相反向量，则，，。 提醒 相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量． (2) 向量减法的定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法。与的差等于加上的相反向量，即。 (3) 向量的减法法则 向量减法的三角形法则记忆口诀：共起点，连终点，指向被减。 提醒 (1)以向量为邻边作，则两条对角线的向量为; （2）向量回路恒等式： 3. 向量的数乘运算 (1) 定义：实数与向量的积的运算叫做向量的数乘，记作，数乘的结果是一个向量， 它的长度与方向规定如下： 1　 ； 2　 当时，与的方向相同；当时，与的方向相反； 3　 当时，。 (2) 运算律:设为实数，那么 1　 ，（结合律） 2　 ，（第一分配律） 3　 。（第二分配律） 4. 向量共线定理 (1) 向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使，即 。 提醒 (1)若，依旧成立，但并不唯一，是任意数值; (2)若与不共线且，则。 (2) 三点共线定理 ①三点共线； ②对于的相关问题 (为平面上不共线的三点 )， 1) 三点共线. 证明：因为即，所以，所以，所以三点共线。反向亦可得证。 由上述证明过程可知：当时，点在线段上；当时，点在线段上；当时，点在线段上。 2) 点的轨迹是平行于直线的一条直线. 证明：当时，，即，所以点的轨迹是平行于直线的一条直线； 当且时，取两点，使得，因为 ，所以，所以点在直线上，又因为，所以，所以点的轨迹是平行于直线的一条直线。 题型1：向量的线性运算 【例1.1.】 化简：（   ） A． B． C． D． 【例1.2.】 化简：________． 【例1.3.】 如图，在平行四边形ABCD中，下列计算结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 ( 多选)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【例1.6.】 （多选）下列关于向量的加、减运算的结果为的是（   ） A． B． C． D． 题型2：利用已知向量表示其他向量 方法提炼 (1) 要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解． (2) 除了利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． (3) 线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量． 若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． 【例2.1.】 在梯形中，，，则（   ） A． B． C． D． 【例2.2.】 如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，，，，，用，表示下列各式． (1)； (2)． 【例2.3.】 如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 【例2.4.】 在中，若点D满足，则（    ） A． B． C． D． 【例2.5.】 在平行四边形中，点，满足，，则等于（   ） A． B． C． D． 【例2.6.】 在平行四边形中，为的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 【例2.7.】 如图，在中，点为线段的中点，点是线段上靠近的三等分点，则（    ）    A． B． C． D． 【例2.8.】 在平行四边形中，，，记，，则（    ） A． B． C． D． 题型3：根据向量线性运算求参数 方法提炼 解决与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形或平行四边形，利用向量运算的三角形法则或平行四边形法则，应用其几何意义进行加法或减法运算，然后通过建立方程（组）即可求得相关参数的值. 【例3.1.】 在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【例3.2.】 在中，点在边上，，记，则分别是（    ） A． B．，4 C．4，3 D．3，4 【例3.3.】 在平行四边形中，，点F是线段DE的中点，若，则＝（   ） A．1 B． C． D． 【例3.4.】 如图，在中，为上一点，，为上一点，，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【例3.5.】 解决平面向量问题一个重要的定理：，的充要条件是三点共线.如图所示，分别是的中点，则=（    ） A．1 B．2 C． D． 【例3.6.】 在矩形中，已知，，为的中点，且，则______． 题型4：向量运算在几何中的应用 【例4.1.】 在四边形MNPQ中，若，则四边形MNPQ是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【例4.2.】 在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【例4.3.】 在四边形中，与交于点，且，则 （   ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 【例4.4.】 设是单位向量，，，，则四边形是（ ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【例4.5.】 在四边形ABCD中，O为任意一点，若，则（    ） A．四边形ABCD是矩形 B．四边形ABCD是菱形 C．四边形ABCD是正方形 D．四边形ABCD是平行四边形 【例4.6.】 已知中，为上一点，满足，且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 题型5：共线定理及其应用 方法提炼 【注意】 证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点. 【例5.1.】 已知向量，，，，，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 设，是不共线的两个非零向量． (1)若，，，求证：A，B，C三点共线； (2)若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时的取值． 【例5.3.】 设，为一组基底，已知向量，，，若，，三点共线，则实数k的值是（   ） A．2 B． C． D． 【例5.4.】 已知、不共线，且，，那么、、三点共线的充要条件为（    ） A． B． C． D． 【例5.5.】 （多选）已知向量不共线，若，，且三点共线，则关于实数的值可以是（　　） A． B． C． D． 【例5.6.】 已知与为非零向量，，若三点共线，则__________. 题型6：向量共线定理的推论 方法提炼 已知，若三点共线，则. 【例6.1.】 在中，为上一点，且，则实数值为（    ） A． B． C． D． 【例6.2.】 在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例6.3.】 已知，是不共线的向量，，，，若，，三点共线，则______. 【例6.4.】 已知点O是的内心，，，则_______. 【例6.5.】 如图，是的重心，分别是边，上的动点，且三点共线．设，，则______． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §6.2.1-§6.2.3 向量的加法运算、向量的减法运算、向量的数乘运算 目录 题型1：向量的线性运算 5 题型2：利用已知向量表示其他向量 7 题型3：根据向量线性运算求参数 12 题型4：向量运算在几何中的应用 16 题型5：共线定理及其应用 19 题型6：向量共线定理的推论 22 1. 向量的加法运算 (1) 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 (2) 运算法则 三角形法则 运用三角形法则时特别要注意“首尾相接”，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和。 平行四边形法则 运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合 提醒 向量的三角形法则可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即。 (3) 向量加法的运算律 交换律: ; 结合律: . 2. 向量的减法运算 (1) 相反向量：与向量长度相等，方向相反的向量，记作。 ①零向量的相反向量仍是零向量；② ；③；④若，互为相反向量，则，，。 提醒 相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面定义，相反向量必为平行向量． (2) 向量减法的定义：求两个向量差的运算叫做向量的减法。与的差等于加上的相反向量，即。 (3) 向量的减法法则 向量减法的三角形法则记忆口诀：共起点，连终点，指向被减。 提醒 (1)以向量为邻边作，则两条对角线的向量为; （2）向量回路恒等式： 3. 向量的数乘运算 (1) 定义：实数与向量的积的运算叫做向量的数乘，记作，数乘的结果是一个向量， 它的长度与方向规定如下： 1　 ； 2　 当时，与的方向相同；当时，与的方向相反； 3　 当时，。 (2) 运算律:设为实数，那么 1　 ，（结合律） 2　 ，（第一分配律） 3　 。（第二分配律） 4. 向量共线定理 (1) 向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一的实数，使，即 。 提醒 (1)若，依旧成立，但并不唯一，是任意数值; (2)若与不共线且，则。 (2) 三点共线定理 ①三点共线； ②对于的相关问题 (为平面上不共线的三点 )， 1) 三点共线. 证明：因为即，所以，所以，所以三点共线。反向亦可得证。 由上述证明过程可知：当时，点在线段上；当时，点在线段上；当时，点在线段上。 2) 点的轨迹是平行于直线的一条直线. 证明：当时，，即，所以点的轨迹是平行于直线的一条直线； 当且时，取两点，使得，因为 ，所以，所以点在直线上，又因为，所以，所以点的轨迹是平行于直线的一条直线。 题型1：向量的线性运算 【例1.1.】 化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量加法的三角形法则计算即可. 【详解】. 故选：A 【例1.2.】 化简：________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】向量加法的法则 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 【例1.3.】 如图，在平行四边形ABCD中，下列计算结果错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用 【分析】根据向量运算的几何意义，结合条件逐项分析即得. 【详解】因为四边形为平行四边形， 对A，，正确； 对B，，错误； 对C，，正确； 对D，，正确. 故选：B. 【例1.4.】 ( 多选)下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量数乘的有关计算 【分析】利用平面向量的三角形法则及数乘运算进行向量运算，即可得解. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 【例1.5.】 设向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】根据平面向量的线性运算化简求解. 【详解】由题意可得， 故选：D 【例1.6.】 （多选）下列关于向量的加、减运算的结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】利用平面向量的加减法逐项判断即可. 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，； 对于D选项，. 故选：ABD. 题型2：利用已知向量表示其他向量 方法提炼 (1) 要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解． (2) 除了利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． (3) 线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量． 若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． 【例2.1.】 在梯形中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】向量加法的法则 【分析】利用向量的加法运算求解. 【详解】在梯形中，，， 所以． 故选：D.    【例2.2.】 如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，，，，，用，表示下列各式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用 【分析】（1）根据平面向量的加法运算求解即可. （2）根据平面向量的加法、减法运算求解即可. 【详解】（1）由题知：． （2）         ． 【例2.3.】 如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】连接、、交于点，分析可知，再利用平面向量加法的三角形法则可得答案. 【详解】连接、、交于点，如下图所示： 由正六边形的几何性质可知、、、、、均为等边三角形， 因为，故四边形为菱形， 同理可知，四边形也为菱形，所以，故， 故， 故选：A. 【例2.4.】 在中，若点D满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】向量减法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用 【分析】利用平面向量减法运算得，整理即可求解． 【详解】， ， ， 故选：B． 【例2.5.】 在平行四边形中，点，满足，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】向量加法的法则、向量的线性运算的几何应用 【分析】由向量的加减法和数乘运算法则直接求解即可 【详解】平行四边形中， 由，，得， 所以.    故选：D 【例2.6.】 在平行四边形中，为的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】向量加法法则的几何应用、用基底表示向量 【分析】先以、为基底表示出、后，则可以、为基底表示出、，即可用、为基底表示出. 【详解】因为为的中点，故， ， 所以，， 则. 故选：D. 【例2.7.】 如图，在中，点为线段的中点，点是线段上靠近的三等分点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量 【分析】将用、表示，然后利用平面向量的减法可得出关于、的表达式. 【详解】因为为线段的中点，则 ， 因为点是线段上靠近的三等分点，则， 因此，. 故选：A. 【例2.8.】 在平行四边形中，，，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、向量加法法则的几何应用、向量减法的法则 【分析】由向量的加减法和数乘运算法则直接求解即可. 【详解】 ， 其中， 故． 故选：B． 题型3：根据向量线性运算求参数 方法提炼 解决与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形或平行四边形，利用向量运算的三角形法则或平行四边形法则，应用其几何意义进行加法或减法运算，然后通过建立方程（组）即可求得相关参数的值. 【例3.1.】 在所在平面中有一点P满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】向量加法的运算律、向量减法的运算律、平面向量的混合运算 【分析】应用向量加减的运算法则得，结合已知即可得答案. 【详解】由题设，则， 即，则， 又，所以. 故选：C 【例3.2.】 在中，点在边上，，记，则分别是（    ） A． B．，4 C．4，3 D．3，4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】平面向量的混合运算、用基底表示向量 【分析】利用向量的线性运算求解. 【详解】如图，   ， ，则. 故选：B. 【例3.3.】 在平行四边形中，，点F是线段DE的中点，若，则＝（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】向量的线性运算的几何应用、利用平面向量基本定理求参数 【分析】由，及进行求解. 【详解】   ，． 故选：C． 【例3.4.】 如图，在中，为上一点，，为上一点，，且，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数、平面向量基本定理的应用 【分析】根据平面向量基本定理得到，从而得到，求出答案. 【详解】因为，，所以，， 又，所以， 故. 故选：D 【例3.5.】 解决平面向量问题一个重要的定理：，的充要条件是三点共线.如图所示，分别是的中点，则=（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论 【分析】令，由三点共线，可得到一个向量等式，由三点共线可得到另一个等式，两者结合可求，进而得的值. 【详解】由三点共线，是的中点，得，① 令， 由三点共线，是的中点， 可得，② 比较①、②，得，解得． 则. 故选：B. 【例3.6.】 在矩形中，已知，，为的中点，且，则______． 【答案】/0.625 【难度】0.85 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】如图，由可得， 则 ， 则，，故． 故答案为：. 题型4：向量运算在几何中的应用 【例4.1.】 在四边形MNPQ中，若，则四边形MNPQ是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】向量加法的法则 【分析】由向量加法法则得到答案. 【详解】，由向量加法法则可得四边形MNPQ是平行四边形. 故选：A 【例4.2.】 在中，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】向量减法的法则、向量减法法则的几何应用、向量的模 【分析】根据向量的减法法则可得，由三边相等关系即可得出结果. 【详解】因为，， 所以， 所以为等边三角形． 故选：A 【例4.3.】 在四边形中，与交于点，且，则 （   ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】向量的模、相等向量 【分析】由题意，根据相等向量的概念和向量的模，结合矩形的判定定理即可求解. 【详解】由， 知四边形的对角线相互平分且相等， 所以四边形为矩形. 故选：D 【例4.4.】 设是单位向量，，，，则四边形是（ ） A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】零向量与单位向量、相等向量 【分析】根据共线向量及菱形知识可得解. 【详解】因为，， 所以，即， 所以， 所以四边形是平行四边形， 因为，即， 所以四边形是菱形. 故选：B 【例4.5.】 在四边形ABCD中，O为任意一点，若，则（    ） A．四边形ABCD是矩形 B．四边形ABCD是菱形 C．四边形ABCD是正方形 D．四边形ABCD是平行四边形 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】相等向量、向量减法的法则 【分析】根据向量的减法可得，进而分析求解即可. 【详解】因为，则，即， 可知两边平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形， 但没有足够条件判断ABCD是否为矩形、菱形或正方形，故ABC错误，D正确. 故选：D. 【例4.6.】 已知中，为上一点，满足，且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】由条件得，即可判断的形状. 【详解】因为，所以点是线段的中点， 又因为，所以， 可知 则的形状为直角三角形. 故选：A 题型5：共线定理及其应用 方法提炼 【注意】 证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点. 【例5.1.】 已知向量，，，，，则一定共线的三点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】利用向量的共线定理逐项判断即可. 【详解】因为，故三点共线, A正确； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，B错误； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，C错误； 因为，， 故不存在任何的使得，所以不共线，D错误； 故选：A 【例5.2.】 设，是不共线的两个非零向量． (1)若，，，求证：A，B，C三点共线； (2)若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时的取值． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【难度】0.65 【知识点】平面向量共线定理证明点共线问题、利用平面向量基本定理求参数、已知向量共线（平行）求参数 【分析】（1）利用向量的线性运算及共线向量定理推理得证. （2）利用共线向量定理及平面向量基本定理列式求解. 【详解】（1）由，，， 得， ， 则，且有公共点B，所以A，B，C三点共线． （2）由与共线，则存在实数，使得， 即，又，是不共线的两个非零向量， 因此，解得或， 所以实数k的值是，当时，与反向共线. 【例5.3.】 设，为一组基底，已知向量，，，若，，三点共线，则实数k的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】向量加法的法则、已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量 【分析】利用向量的加法法则求出，将，，三点共线转化为与共线即可求解. 【详解】，， ， 又，且，，三点共线，， 即， ，. 故选：C. 【例5.4.】 已知、不共线，且，，那么、、三点共线的充要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】分析可知，，设，根据平面向量的基本定理可得出关于、、的方程组，消去即可得出结果. 【详解】、、三点共线， 设，即， 由于、不共线，则，消去可得. 因此，、、三点共线的充要条件为. 故选：D. 【例5.5.】 （多选）已知向量不共线，若，，且三点共线，则关于实数的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】利用向量共线定理得，结合已知有，进而得到，即可得. 【详解】因为三点共线，则存在实数，使， 即，即， 所以， 又向量不共线，所以，解得， 所以实数的值互为倒数. 故选：AB 【例5.6.】 已知与为非零向量，，若三点共线，则__________. 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案. 【详解】由题意知，三点共线，故, 且共线， 故不妨设，则， 所以，解得， 故答案为：3. 题型6：向量共线定理的推论 方法提炼 已知，若三点共线，则. 【例6.1.】 在中，为上一点，且，则实数值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数、向量的线性运算的几何应用 【分析】利用，将用表示，替换，再结合三点共线，即可求出的值. 【详解】 ， 因此， 因为三点共线，所以，， 故选：B. 【例6.2.】 在中，，过点的直线分别交直线，于点，，设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量、平面向量共线定理的推论、向量的线性运算的几何应用 【分析】利用基底表示向量，再由共线向量定理推论求得结果. 【详解】 由，得， 则， 又，， 则， 又共线，因此，即. 故选：C 【例6.3.】 已知，是不共线的向量，，，，若，，三点共线，则______. 【答案】13 【难度】0.65 【知识点】平面向量共线定理的推论 【分析】运用三点共线，再运用向量相等列方程消去m可得结果. 【详解】因为A，B，C三点共线，所以设， 即：， 所以，消去m得：. 故答案为：13 【例6.4.】 已知点O是的内心，，，则_______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】向量的线性运算的几何应用、平面向量共线定理的推论 【分析】由角平分线定理得到，再由向量共线的性质得到，最后由向量的线性运算得到结果. 【详解】连接并延长交于点，连接，因为O是的内心，所以为的平分线， 所以根据角平分线定理可得，所以， 因为三点共线，所以设， 则，因为， 所以. 故答案为： 【例6.5.】 如图，是的重心，分别是边，上的动点，且三点共线．设，，则______． 【答案】3 【难度】0.4 【知识点】平面向量共线定理的推论、平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】利用重心性质可得，再根据三点共线利用共线定理可得,且，即. 【详解】因为是的重心，所以可得， 易知，所以可得； 又因为三点共线，可知存在实数满足,且； 又，，所以， 可得，即； 所以. 故答案为：3 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $