6.1 平面向量的概念 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 | 平面向量及其应用 6．1 平面向量的概念 明确目标 发展素养 1.了解平面向量的实际背景． 2.了解平面向量的意义． 3.理解平面向量共线和向量相等的含义，理解平面向量的几何表示和基本要素. 1.在学习平面向量概念的过程中，提升数学抽象、直观想象素养． 2.通过对平面向量共线与相等的学习，增强逻辑推理和数学运算素养. 知识点一　向量的实际背景与概念 (一)教材梳理填空 1．向量与数量： (1)数量：只有大小没有 的量称为数量．数量只是一个代数量，可正，可负，可为零． (2)向量：既有 又有 的量叫做向量．向量既有大小又有方向，因为方向无大小之分，所以向量不能比较大小． [微思考]　物理中学习了位移、速度、力等，这些量与我们日常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别？ 提示：位移、速度、力等是既有大小又有方向的量，而年龄、身高、体重、面积、体积等只有大小没有方向． 2．有向线段的概念： (1)定义：具有 的线段叫做有向线段． (2)表示方法及长度： 以A为起点、B为终点的有向线段记作 (如图所示)，线段 的长度也叫做有向线段的长度，记作 . (3)有向线段的三要素： 、 、 ． 3．向量的表示方法： 几何 表示 用 表示向量，有向线段的长度 表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向 字母 表示 通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母，，，… 4．向量的相关概念： 向量的长度(模) 向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作|| 零向量 长度为 的向量叫做零向量，记作 单位向量 长度等于 的向量，叫做单位向量 (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)向量的模是正实数． ( ) (2)单位向量的模相等． ( ) (3)有向线段就是向量． ( ) 2．有下列物理量：①质量；②角度；③弹力；④风速．其中可以看成是向量的个数为 (　　) A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 3．(多选)已知向量a如图所示，下列说法正确的是 (　　) A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 知识点二　相等向量与共线向量 (一)教材梳理填空 1．平行向量(共线向量)： 方向 的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．向量a和b平行，记作 .规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有 . 2．相等向量： 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．用有向线段表示的向量a和b相等，记作 . (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)相等向量一定是共线向量．( ) (2)若向量a＝b，则|a|＝|b|.( ) 2. 如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与相等的向量的个数为 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3. 如图所示，在▱ABCD中，与共线的向量有____________________________________． 题型一　向量的有关概念 【学透用活】 [典例1]　(多选)下列说法正确的是 (　　) A．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反 B．若|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b C．若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上 D．向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反 【对点练清】 下列说法中正确的个数为 (　　) ①单位向量的长度大于零向量的长度；②零向量与任意单位向量平行；③因为平行向量也叫做共线向量，所以平行向量所在的直线也一定共线；④因为相等向量的相等关系具有传递性，所以平行向量的平行关系也具有传递性；⑤向量的大小与方向有关；⑥向量的模可以比较大小． A．3　　　　　　　　　 B．4 C．5 D．6 题型二　向量的表示及应用 【学透用活】 在画图时，向量是用有向线段来表示的，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，应该注意的是向量常用有向线段来表示，并不能说向量就是有向线段. [典例2]　 在如图所示的坐标纸(每个小方格边长为1)中，用直尺和圆规画出下列向量： (1) ，使| |＝4，点A在点O北偏东45°方向； (2)，使||＝4，点B在点A正东方向； (3) ，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向． 【对点练清】 　在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1. (1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a. (2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹． 题型三　相等向量与共线向量 　　 【学透用活】 [典例3]　如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为2的向量有哪些？(在图中标出相关字母，写出这些向量) 【对点练清】 1．[变设问]本例中，与向量同向且长度为2的向量有几个？ 2. [变设问]本例中，如图，与向量相等的向量有多少个？ 3．若||＝||且＝，试判断四边形ABCD的形状． 课时跟踪检测　　　　　　　　　　　　　 层级(一)　“四基”落实练 1．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是 (　　) A．汽车的速度大于摩托车的速度 B．汽车的位移大于摩托车的位移 C．汽车走的路程大于摩托车走的路程 D．以上都不对 2. (多选)如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断正确的是 (　　) A．＝ B．∥ C．||＝|| D． ＝ 3．下列说法正确的是 (　　) A．若|a|＝|b|，则a∥b B．零向量的长度是0 C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量是在同一条直线上的向量 4．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，下列关系错误的是(　　) A．C⊆A　　　　　　B．A∩B＝{a} C．C⊆B D．A∩B⊇{a} 5．(多选)下列四个条件能使a∥b成立的条件是 (　　) A．a＝b B．|a|＝|b| C．a与b方向相反 D．|a|＝0或|b|＝0 6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________. 7．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________. 8.如图所示，四边形ABCD与四边形ABDE是平行四边形． (1)找出与向量共线的向量； (2)找出与向量相等的向量． 层级(二)　能力提升练 1.(多选)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中(　　) A．向量，的模相等 B．||＝ C．向量，共线 D．||＋||＝10 2.如图是3 4的格点图(每个小方格都是单位正方形)．若所有向量的起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有________个． 3.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4 8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中．若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”．若马在B处或C处，则表示马走了“一步”的向量共有________个． 4.如图所示，在梯形ABCD中，若E，F分别为腰AB，DC的三等分点，且||＝2，||＝5，求||. 层级(三)　素养培优练 如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝. (1)画出所有的向量； (2)求||的最大值与最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 | 平面向量及其应用 6．1 平面向量的概念 明确目标 发展素养 1.了解平面向量的实际背景． 2.了解平面向量的意义． 3.理解平面向量共线和向量相等的含义，理解平面向量的几何表示和基本要素. 1.在学习平面向量概念的过程中，提升数学抽象、直观想象素养． 2.通过对平面向量共线与相等的学习，增强逻辑推理和数学运算素养. 知识点一　向量的实际背景与概念 (一)教材梳理填空 1．向量与数量： (1)数量：只有大小没有方向的量称为数量．数量只是一个代数量，可正，可负，可为零． (2)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．向量既有大小又有方向，因为方向无大小之分，所以向量不能比较大小． [微思考]　物理中学习了位移、速度、力等，这些量与我们日常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别？ 提示：位移、速度、力等是既有大小又有方向的量，而年龄、身高、体重、面积、体积等只有大小没有方向． 2．有向线段的概念： (1)定义：具有方向的线段叫做有向线段． (2)表示方法及长度： 以A为起点、B为终点的有向线段记作 (如图所示)，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||. (3)有向线段的三要素：起点、方向、长度． 3．向量的表示方法： 几何 表示 用有向线段表示向量，有向线段的长度||表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向 字母 表示 通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母，，，… 4．向量的相关概念： 向量的长度(模) 向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作|| 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量 (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)向量的模是正实数． (×) (2)单位向量的模相等． (√) (3)有向线段就是向量． (×) 2．有下列物理量：①质量；②角度；③弹力；④风速．其中可以看成是向量的个数为 (　　) A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 答案：B 3．(多选)已知向量a如图所示，下列说法正确的是 (　　) A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 答案：ABC 知识点二　相等向量与共线向量 (一)教材梳理填空 1．平行向量(共线向量)： 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量．向量a和b平行，记作a∥b.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a. 2．相等向量： 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．用有向线段表示的向量a和b相等，记作a＝b. (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)相等向量一定是共线向量． (√) (2)若向量a＝b，则|a|＝|b|. (√) 2. 如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与相等的向量的个数为 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 3. 如图所示，在▱ABCD中，与共线的向量有____________________________________． 答案：，， 题型一　向量的有关概念 【学透用活】 [典例1]　(多选)下列说法正确的是 (　　) A．若|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反 B．若|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b C．若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个圆上 D．向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反 [解析]　A不正确，由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们方向的关系；B正确，因为|a|＝|b|，且a与b同向，由两向量相等的条件，可得a＝b；C正确，单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一个点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上；D不正确，因为向量a与向量b中若有一个是零向量，则其方向不确定． [答案]　BC 【对点练清】 下列说法中正确的个数为 (　　) ①单位向量的长度大于零向量的长度；②零向量与任意单位向量平行；③因为平行向量也叫做共线向量，所以平行向量所在的直线也一定共线；④因为相等向量的相等关系具有传递性，所以平行向量的平行关系也具有传递性；⑤向量的大小与方向有关；⑥向量的模可以比较大小． A．3　　　　　　　　　 B．4 C．5 D．6 解析：选A　①正确，因为单位向量的长度为1，零向量的长度为0；②正确；③错误，平行向量所在的直线可能不共线；④错误，平行向量的平行关系不具有传递性；⑤错误，向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关；⑥正确，向量的模是一个数量，可以比较大小． 题型二　向量的表示及应用 【学透用活】 在画图时，向量是用有向线段来表示的，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，应该注意的是向量常用有向线段来表示，并不能说向量就是有向线段. [典例2]　 在如图所示的坐标纸(每个小方格边长为1)中，用直尺和圆规画出下列向量： (1) ，使| |＝4，点A在点O北偏东45°方向； (2)，使||＝4，点B在点A正东方向； (3) ，使||＝6，点C在点B北偏东30°方向． [解]　(1)因为点A在点O北偏东45°方向，所以在坐标纸中点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等．又||＝4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示． (2)因为点B在点A正东方向，且||＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示． (3) 由于点C在点B北偏东30°方向，且||＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示． 【对点练清】 　在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1. (1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a. (2)在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹． 解：(1) 根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等．如图中的b即为所作向量．(2)由平面几何知识可知，所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心、为半径的圆． 题型三　相等向量与共线向量 　　 【学透用活】 [典例3]　如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与平行且长度为2的向量有哪些？(在图中标出相关字母，写出这些向量) [解]　如图所示，满足与平行且长度为2的向量有，，，，，，，． 【对点练清】 1．[变设问]本例中，与向量同向且长度为2的向量有几个？ 解：与向量同向且长度为2的向量占与向量平行且长度为2的向量中的一半，共4个． 2. [变设问]本例中，如图，与向量相等的向量有多少个？ 解：图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量 方向相同的向量与其相等，共有8个，图略． 3．若||＝||且＝，试判断四边形ABCD的形状． 解：因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形．又||＝||，即邻边相等，所以四边形ABCD为菱形． 课时跟踪检测　　　　　　　　　　　　　 层级(一)　“四基”落实练 1．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是 (　　) A．汽车的速度大于摩托车的速度 B．汽车的位移大于摩托车的位移 C．汽车走的路程大于摩托车走的路程 D．以上都不对 解析：选C　速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较 2. (多选)如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断正确的是 (　　) A．＝ B．∥ C．||＝|| D． ＝ 解析：选ABC　由题图可知，||＝||，但，的方向不同，故≠，D不正确，其余均正确，故选A，B，C. 3．下列说法正确的是 (　　) A．若|a|＝|b|，则a∥b B．零向量的长度是0 C．长度相等的向量叫相等向量 D．共线向量是在同一条直线上的向量 解析：选B　当|a|＝|b|时，由于a，b方向是任意的，a∥b未必成立，所以A错误；因为零向量的长度是0，所以B正确；因为长度相等的向量方向不一定相同，所以C错误；因为共线向量不一定在同一条直线上，所以D错误．故选B. 4．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，下列关系错误的是(　　) A．C⊆A　　　　　　B．A∩B＝{a} C．C⊆B D．A∩B⊇{a} 解析：选B　因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向量，故B错误． 5．(多选)下列四个条件能使a∥b成立的条件是 (　　) A．a＝b B．|a|＝|b| C．a与b方向相反 D．|a|＝0或|b|＝0 解析：选ACD　因为a与b为相等向量，所以a∥b，即A能够使a∥b成立；由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即B不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即C能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．故使a∥b成立的条件是A、C、D. 6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则||＝________. 解析：因为正方形的对角线长为2，所以||＝. 答案： 7．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________. 解析：∵A，B，C不共线，∴与不共线． 又∵m与，都共线，∴m＝0. 答案：0 8.如图所示，四边形ABCD与四边形ABDE是平行四边形． (1)找出与向量共线的向量； (2)找出与向量相等的向量． 解：(1)依据图形可知，，，与方向相同， ，，与方向相反，所以与向量共线的向量为，，，，，. (2)由四边形ABCD与四边形ABDE是平行四边形，知，与长度相等且方向相同，所以与向量相等的向量为和. 层级(二)　能力提升练 1.(多选)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中(　　) A．向量，的模相等 B．||＝ C．向量，共线 D．||＋||＝10 解析：选BC　因为||＝＝，||＝＝2，所以||≠||，所以A错误；因为||＝＝，所以B正确；因为∠CDG＝∠CFH＝45°，所以DG∥HF，所以向量，共线，所以C正确；因为||＋||＝＋＝5≠10，所以D错误．故选B，C. 2.如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)．若所有向量的起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有________个． 解析：与平行且长度为的线段即为小正方形中与线段AB平行的对角线，共有12条这样的对角线，且每条对角线都对应2条方向相反的向量，则满足条件的向量有24个． 答案：24 3.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中．若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量，表示马走了“一步”．若马在B处或C处，则表示马走了“一步”的向量共有________个． 解析：如图，以B点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共3个；以C点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共8个．所以共有11个． 答案：11 4.如图所示，在梯形ABCD中，若E，F分别为腰AB，DC的三等分点，且||＝2，||＝5，求||. 解：如图，过D作DH∥AB，分别交EF，BC于点G，H. ∵E，F分别为腰AB，DC的三等分点， ∴EF∥AD∥BC.∴G为DH的三等分点． ∴∥，且||＝||.∵||＝2， ∴||＝||＝2.又∵||＝5，∴||＝3， ∴||＝1.∴||＝||＋||＝2＋1＝3. 层级(三)　素养培优练 如图所示方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝. (1)画出所有的向量； (2)求||的最大值与最小值． 解：(1)画出所有的向量，如图所示． (2)由(1)所画的图可知，①当点C位于点C1或C2时，|| 取得最小值 ＝； ②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝，∴||的最大值为，最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $