6.3.1正方形的性质 同步练习 2025--2026学年鲁教版（五四制）(2012)八年级数学下册

6.3.1正方形的性质 基础夯实 知识点一 正方形的定义与对称性 1.在四边形ABCD中，若AD∥BC，AD=BC，∠B=90°，AB=BC，则四边形 ABCD的形状是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 2.(绵阳中考)如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有( ) A.2条 B.4条 C.6条 D.8条 知识点二 正方形的性质 3.(2024·淄博高青县期中)正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ( ) A.四条边都相等 B.对角线互相垂直且平分 C.对角线相等 D.对角线平分一组对角 4.如图，在正方形 ABCD中，F是边CD上的一点，AF交对角线 BD于点 E，连接CE.若∠EAB=58°，则∠CEF的度数为( ) A.26° B.32° C.52° D.58° 5.如图，把正方形 ABCD放在平面直角坐标系中，直角顶点 A落在第二象限，顶点 B，D分别落在 y轴、x轴上，已知点 A(-2，2)，B(0，-3)，则点 D的坐标为( ) A.(-4，0) B.(-7，0) C.(-5，0) D.(-8，0) ABCD的边 CD，BC上的点，且CE=BF，AF，BE相交于点G，下列结论中正确的是( ) ①AF=BE； ②AF⊥BE； ③AG=GE； ④S△ABG=S四边形CEGF。 A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 7.[教材 P23随堂练习 T2变式]如图，在正方形ABCD中，P为对角线 AC上一点，∠ABP=15°，则∠DPC的度数为 . 8.小明用七巧板拼了一个对角线长为2的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形(如图所示)，则长方形的周长为 . 9.如图，在正方形 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，点 E，F是对角线 AC上的两点，且AE=CF，连接DE，DF，BE，BF。 求证：四边形 DEBF是菱形. 10.如图,正方形 ABCD 的边长为4,E 为 BC上的一点,BE =1,F 为 AB 上的一点,AF=2,P 为AC 上的一个动点,则 PF+PE 的最小值为 . 能力提升 11.如图,P 为正方形 ABCD 的对角线 BD 上的任一点，过点 P 作 PE⊥BC 于点 E,作PF⊥CD 于点 F,连接EF,给出以下4个结论：①△FDP 是等腰直角三角形,②AP = EF,③∠PFE =∠BAP,④AD=PD.其中正确的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.(2024·吉林)如图,正方形 ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,点 E 是 OA 的中点,点 F 是 OD 上 一点.连接 EF.若∠FEO=45°,则 的值为 . 13.(2024·济南莱芜区期中)如图，直线l 经过正方形ABCD 的顶点 C,点 B,D 到直线l 的距离分别是2，1，则正方形的边长为 . 14.(2024·威海荣成市期中)如图,正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 CD,AD 上,BE与CF 交于点G.若BC=8,DE=AF=2,则GF 的长为 . 15.如图,正方形 ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,E,G 分别是OB,OC 上的点,CE与 DG 的延长线相交于点 F.若 求证:OG=OE. 素养培优 16.如图 1,四边形 ABCD 是正方形,点 E 是BC 上一点，连接AE，以 AE 为一边作正方形AEFG,连接 DG. (1)求证:DG=BE. (2)如图 2,连接 AF 交 CD 于点 H,连接EH,请探究 EH,BE,DH 三条线段之间的数量关系，并说明理由. 3 正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 1. D 2. B 3. C 4. A 5. B 6. B 7.60°8.6 9.证明:∵在正方形ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点O,∴BD⊥AC,OB=OD,OA=OC. ∵AE=CF,∴OA-AE=OC-CF, 即OE=OF,∴四边形 DEBF 为平行四边形. 又∵BD⊥EF,∴四边形 DEBF 是菱形. 解析：如图，在AD上取一点M、使得 AM=2,易知点 F,M 关于直线AC 对称.连接MP,则 FP=MP.连接EM,交 AC 于点 P',连接 P'F,易得ME=P'F+P'E,即当 P 运动至 P'处时,PF+PE有最小值,EM的长为PF+PE 的最小值.过点M 作MN⊥BC 于点 N,由题意易知 EN=BN-BE= AM-BE = 2-1 = 1,MN = 4,所以 EM = 11. C 12. 13. 解析:在正方形ABCD 中,CD=CB=AB,∠DCB=∠ABC=90°. ∵DF⊥CF,BE⊥CE, ∴∠CFD=∠CEB=90°,∠CDF+∠DCF=90°. ∵∠DCF+∠BCE=90°,∴∠CDF=∠BCE. 在△CFD 和△BEC 中, ∠CFD=∠BEC,∠CDF=∠BCE,CD=BC, ∴△CFD≌△BEC(AAS), ∴DF=CE=1,CF=BE=2. 在 Rt△BEC 中,由勾股定理,得 即 则 故正方形的边长是 14.2 解析:在正方形 ABCD 中,BC=8, ∴BC=CD=AD=8,∠BCE=∠CDF=90°. ∵DE=AF=2,∴DF=CE=6, 在△BCE 和△CDF 中, ∴△BCE≌△CDF(SAS),∴∠CBE=∠DCF, ∴∠CBE+∠CEB=∠ECG+∠CEB=90°, ∴∠CGE=90°. 15.证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴OC=OD,AC⊥BD,∴∠COE=∠DOG=90°, ∴∠CEO+∠ECO=90° ∵DF⊥CE,∴∠CEO+∠EDF=90°; ∴∠ECO=∠EDF。 在△CEO与△DGO 中, ∴△CEO≌△DGO(ASA),∴OG=OE. 16.(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴∠DAB=∠B=∠ADC=90°,AB=AD, ∴∠BAE+∠EAD=90°. ∵四边形 AEFG 是正方形, ∴∠EAD+∠DAG=∠EAG=90°,AE=AG, ∴∠BAE+∠EAD=∠EAD+∠DAG, ∴∠BAE=∠DAG. 在△BAE 和△DAG 中, ∴△BAE≌△DAG(SAS),∴DG=BE. (2)解:BE+DH=EH. 理由:∵△BAE≌△DAG, ∴∠ADG=∠B=90°,BE=DG. ∴∠ADG+∠ADH=180°,∴点 H,D,G 共线. ∵四边形AEFG 是正方形,∴∠EAH=∠GAH=45°. 在△EAH 和△GAH 中, ∴△EAH≌△GAH(SAS),∴EH=GH、 ∵DG+DH=GH,∴BE+DH=EH. 学科网（北京）股份有限公司 $