7.3 三角函数的性质与图像 课后练习-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

7.3三角函数的性质与图像课后练习 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一下·全国·课后作业）函数的周期、振幅、初相分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将原函数变形，再分析求解. 【详解】因为， 所以周期，振幅，初相. 2．（25-26高一下·湖南岳阳·开学考试）为了得到函数的图象，只需将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【详解】， 将函数的图象向右平移个单位长度得的图象.即C对. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知 画出函数图像如图所示，由图可知最小正周期为． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）在上满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，在轴正半轴上取，过点作轴的垂线交单位圆于两点， 由图知满足的角的范围如图中阴影部分所示，而， 所以的取值范围是． 5．（25-26高一下·河南南阳·开学考试）函数一个周期的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的图象与性质求解即可. 【详解】由图象可知，该函数最小正周期，所以. 结合五点作图法可知，，，所以，， 又，所以. 6．（25-26高一下·河南南阳·开学考试）设函数，，，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件可得的一条对称轴和一个对称中心，利用正弦函数的性质可得，再结合条件，即可求解. 【详解】由，则是的一条对称轴， 由，得到，所以是的一个对称中心， 即是的一个对称中心，所以，即， 又在区间上具有单调性，则，得到， 所以，故的最小正周期为. 7．（北京密云区2025-2026学年第二学期阶段练习高三数学试卷）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，， 令，当时，可得， 由正弦函数的性质，可得在为单调递增函数， 所以当时，函数在区间上单调递增，即充分性成立； 反之：当时，可得， 又由正弦函数的单调递增区间为， 要使得函数在区间上单调递增，则满足， 即，且，解得，所以必要性不成立， 综上可得：“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 8．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．的值域为 D．的增区间为 【答案】C 【分析】利用函数解析式计算判断A，根据特例判断B，函数写成分段函数，根据正弦型函数性质判断CD. 【详解】因为， 所以，故A错误； 因为， 即，所以B错误； 因为， 所以当时，， 当时，，所以函数的值域为，故C正确； 由可知， 的增区间为，故D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·河南南阳·开学考试）（多选题）有以下四种变换方式： ①向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ②向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ③每个点的横坐标缩短为原来的，向右平移个单位长度； ④每个点的横坐标缩短为原来的，向左平移个单位长度； 其中能将的图象变换成函数的图象的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AD 【分析】利用左加右减，及横向伸缩变换的规律即可求解. 【详解】先平移再伸缩，向左平移个单位长度得到， 再将每个点的横坐标缩短为原来的得到. 先伸缩再平移，每个点的横坐标缩短为原来的得到， 再向左平移个单位长度得到 10．（海南部分学校2025-2026学年高三下学期联合调研考试i数学试题）已知函数的最小正周期为，则图象的对称中心的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意可得，解得（负值舍去），则， 令，则， 当时，，当时，，当时，， 故、、都是图象的对称中心，故A、C、D正确； 令，解得，由 不符， 故不是图象的对称中心，故B错误. 11．（新疆2026年普通高考三月适应性检测数学试卷）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．为了得到函数的图象，可将的图象向右平移个单位长度 C．的单调递增区间为 D．若方程在上有且只有个根，则 【答案】ACD 【分析】利用图象求出函数的解析式，可判断A选项；利用三角函数图象变换可判断B选项；利用正弦型函数的单调性可判断C选项；解方程，求出该方程在上的第个根和第个根，可得出实数的取值范围，可判断D选项. 【详解】由图象知函数的振幅， 因为图象过，所以，可得， 又因为，所以， 因为图象过，所以， 解得， 又因为函数的周期有，即，解得， 所以， 对于A选项，，正确； 对于B选项，， 将函数的图象向右平移个单位长度得到，错误； 对于C选项，令， 解得， 即函数的单调递增区间为，正确； 对于D选项，由得， 解得或，即或， 在上的根依次为、、、、、、、， 有且只有个根，则第个根是，所以，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一下·全国·课后作业）函数的对称中心坐标是______，对称轴方程为______． 【答案】 【详解】令，则． 对称中心为． 令，则． 对称轴方程为． 13．（25-26高一下·安徽滁州·开学考试）函数在区间上的最大值为__________． 【答案】 【分析】利用同角三角函数平方关系，易将函数化为二次型的函数，结合余弦函数的性质，即可求解． 【详解】函数， 因为，则 所以当时，取得最大值，最大值为1. 14．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题根据正弦函数的单调性，结合已知条件求出的取值，再根据特定区间，考虑处的函数值得到关于的不等关系求出k的范围即可分析求解. 【详解】显然，可得，所以. 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以 ， 于是，所以， 因为且，所以， 所以，解得， 所以由可知当时，有最小为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一下·全国·月考）设函数． (1)求函数的定义域、周期、单调区间及对称中心； (2)求不等式的解集． (3)作出函数在一个周期内的简图． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据正切函数的定义域、单调区间和对称中心，代入求解，可得的定义域、单调区间和对称中心；根据解析式，可得值，代入周期公式，可得的周期. （2）根据正切函数的单调性及特殊值，分析求解，即可得答案. （3）令、和，分别求出对应x值，根据正切函数的图象，分析作图，即可得答案. 【详解】（1）由，得， 的定义域是． ，周期． 由，得 函数的单调递增区间是． 由，得， 故函数的对称中心是． （2）由，得 解得． 不等式的解集为 （3）令，则，令，则，令，则． 函数的图像与轴的一个交点坐标是， 在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是． 从而得函数在一个周期内的简图（如图）． 16．（25-26高一上·广东广州·月考）已知． (1)求函数的对称轴和对称中心； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若函数在区间的值域为，求实数a的取值范围． 【答案】(1)函数的对称轴为直线，对称中心为. (2) (3) 【分析】（1）先确定函数的最小正周期，求出，然后利用整体代换法可求对称轴和对称中心公式求出即可. （2）根据正弦函数的单调性求解即可. （3）根据正弦函数的值域和图象进行求解即可. 【详解】（1）令，得. 所以函数的对称轴为直线； 令，得. 所以函数的对称中心为. （2）令，解得. 又，所以函数的单调递增区间为，. （3）因为，所以， 因为函数在区间上的值域为， 所以在区间上的值域为， 在区间上的值域为， 所以结合正弦函数的图象可得，解得. 所以实数的取值范围为. 17．（25-26高一下·全国·课后作业）已知． (1)在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数在一个周期内的图象． (2)写出的单调递增区间． (3)求的最大值和此时相应的的值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为2， 【详解】（1）列表： 0 0 2 0 －2 0 作图： （2）由，得． 所以函数的单调递增区间为 （3）当，即时．． 18．（24-25高一下·山东潍坊·月考）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： 0 0 2 0 (1)请求出函数的解析式； (2)先将图象上所有点，向左平移个单位，再把图象上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象，若的图象关于直线对称，求当取得最小值时，函数的单调递增区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据表格中提供的数据，依次求得的值，从而求得，并补全表格数据. （2）根据三角函数图象变换、三角函数的对称性等知识求得的表达式，利用整体代入法求得函数的单调递增区间． 【详解】（1）根据表中已知数据，得， 可得，当时，，解得， 所以．数据补全如下表： 0 0 2 0 0 （2）将图象上所有的点向左平移个单位长度， 得到的图象，再把所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的， 得到的图象，所以 因为的图象关于直线对称， 所以，解得， 因为，所以，此时， 由，可得， 所以函数的单调递增区间为． 19．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若函数在上恰有两个零点，，求的取值范围； (3)若对任意的，总存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）先应用周期得出，再代入点计算求解即可得出解析式； （2）应用函数值域结合正弦函数性质得出即可求解； （3）先计算函数值，再把恒成立转化为最值类问题求解最值即可求解. 【详解】（1）由图可得，，则，结合，解得． 由，得，，即，. 因为，所以， 所以． （2）因为，所以． 不妨设，由题意可得，， 解得，， 所以， ．故的取值范围为． （3）因为，， ，， ，， 所以，． 由题意可得，即，解得． 故的取值范围为． 2 / 13 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3三角函数的性质与图像课后练习 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（25-26高一下·全国·课后作业）函数的周期、振幅、初相分别是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·湖南岳阳·开学考试）为了得到函数的图象，只需将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 3．（25-26高一下·全国·课后作业）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）在上满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·河南南阳·开学考试）函数一个周期的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D．或 6．（25-26高一下·河南南阳·开学考试）设函数，，，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 7．（北京密云区2025-2026学年第二学期阶段练习高三数学试卷）已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高一上·江苏南通·期末）已知，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．的值域为 D．的增区间为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一下·河南南阳·开学考试）（多选题）有以下四种变换方式： ①向左平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ②向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的； ③每个点的横坐标缩短为原来的，向右平移个单位长度； ④每个点的横坐标缩短为原来的，向左平移个单位长度； 其中能将的图象变换成函数的图象的是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 10．（海南部分学校2025-2026学年高三下学期联合调研考试i数学试题）已知函数的最小正周期为，则图象的对称中心的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 11．（新疆2026年普通高考三月适应性检测数学试卷）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．为了得到函数的图象，可将的图象向右平移个单位长度 C．的单调递增区间为 D．若方程在上有且只有个根，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（25-26高一下·全国·课后作业）函数的对称中心坐标是______，对称轴方程为______． 13．（25-26高一下·安徽滁州·开学考试）函数在区间上的最大值为__________． 14．（2026·广东广州·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（25-26高一下·全国·月考）设函数． (1)求函数的定义域、周期、单调区间及对称中心； (2)求不等式的解集． (3)作出函数在一个周期内的简图． 16．（25-26高一上·广东广州·月考）已知． (1)求函数的对称轴和对称中心； (2)当时，求函数的单调递增区间； (3)若函数在区间的值域为，求实数a的取值范围． 17．（25-26高一下·全国·课后作业）已知． (1)在给定的坐标系内，用“五点法”作出函数在一个周期内的图象． (2)写出的单调递增区间． (3)求的最大值和此时相应的的值． 18．（24-25高一下·山东潍坊·月考）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： 0 0 2 0 (1)请求出函数的解析式； (2)先将图象上所有点，向左平移个单位，再把图象上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到的图象，若的图象关于直线对称，求当取得最小值时，函数的单调递增区间． 19．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若函数在上恰有两个零点，，求的取值范围； (3)若对任意的，总存在，使得，求的取值范围． 2 / 5 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $