7.3 万有引力理论的成就 讲义 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

万有引力理论的成就讲义 1、 “称量”地球的质量 地球的质量非常大，无法用日常称量质量的工具如天平、台秤等称量出来；而由万有引力和重力的关系可知，若忽略地球自转的影响，地球对表面上的物体的万有引力就等于重力，那就可以用这个关系来近似计算地球的质量。 1. 地球的质量可通过表达式m地＝计算得出 地球若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即 mg＝G 则Gm地＝gR2，这就是著名的黄金代换公式。 故 m地＝ 所以只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。 2. 若已知某一星球表面的重力加速度g星和星球半径R星，则星球质量为m星＝ 在忽略星球自转的情况下，星球表面上质量为m的物体所受重力mg星等于星球对物体的引力，即 mg星＝G 所以m星＝，意味着只要知道某星球表面的重力加速度和星球半径，就能用“称量”地球的方法“称量”该星球的质量。 3. 基础练习 (1) 卡文迪什用扭秤实验测定了引力常量，以实验验证了万有引力定律的正确性。应用引力常量还可以计算出地球的质量，卡文迪什也把自己的实验说成是“称量地球的质量。已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/ kg2，地面上的重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，则地球质量约为(　　) A.6×1018 kg B.6×1020 kg C.6×1022 kg D.6×1024 kg 2、 计算天体的质量和密度 若不知道天体表面的重力加速度，要怎么来求天体的质量呢？ 就比如不清楚太阳表面的重力加速度大小，那么太阳的质量应该怎么求。 1. 太阳的质量可由m太＝计算得出（其中T为围绕太阳运转的某行星的周期，r为行星围绕太阳转动的轨道半径） 从上节内容可知，太阳对地球的万有引力提供了地球围绕太阳公转的向心力，如果已知地球的公转周期T和地球围绕太阳转动的轨道半径r，也可计算得出太阳的质量。 万有引力提供向心力 G＝m地2r＝m地r 则m太＝，只要把T和r代入，即可算出太阳的质量。 若T是其他任一围绕太阳进行匀速圆周运动（行星围绕太阳的转动可看作匀速圆周运动）的周期，r是行星的轨道半径，都可以得出m太＝。 因为太阳的质量恒定，所以由公式m太＝可知，为常量，也就是开普勒第三定律。 2. 其他中心天体的质量包括地球都可由m星＝、m星＝或m星＝计算得出（其中r为围绕中心天体进行匀速圆周运动的行星或卫星的轨道半径，T是转动周期、v为线速度、为角速度） (1) 对于任何中心天体来说，已知围绕它做匀速圆周运动的行星或卫星的周期T、轨道半径r，万有引力提供向心力，则 = mr 可得出这个中心天体的质量m星＝ (2) 若已知围绕中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的线速度大小v和轨道半径r，这时 =m，可得出这个中心天体的质量m星＝ (3) 若已知围绕中心天体做匀速圆周运动的行星或卫星的角速度大小和轨道半径r，这时 =m2r，可得出这个中心天体的质量m星＝ 注意：这里只能求出中心天体的质量，对于围绕它转动的卫星或行星的质量用以上公式无法计算得出。 若要计算天体的密度，则还需要知道天体的半径R。 例 太阳的密度ρ＝＝＝，要求太阳的密度，就需要知道太阳的半径R太。 3. 从上节和本节课的内容可知，对于求解天体的质量和密度，主要是重力加速度和环绕法两种方法 重力加速度法 环绕法 具体方法 已知星球表面的重力加速度g和星球半径R，可以通过公式mg＝G即M＝来计算； 密度通过ρ＝＝来计算； 已知围绕所求天体做匀速圆周运动的行星或卫星的轨道半径r和周期T，可以通过公式G＝mr即M＝来计算； 密度通过ρ＝＝来计算 适用范围 只要g和R已知，任何星体都可以用重力加速度法来求星体密度 注意：未知星球表面重力加速度通常利用实验测出，例如让小球做自由落体、平抛、上抛等运动 只能求中心天体的质量，不能求环绕星球的质量 T为公转周期 r为轨道半径 R为中心天体半径 4. 基础练习 (1) 天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的(　　) A.0.001 B.0.1 C.10倍 D.1 000 倍 (2) 科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为(　　) A.4×104M B.4×106M C.4×108M D.4×1010M (3) 已知卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，运动周期为T，地球半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　) A.地球表面的重力加速度大小为 B.地球的质量大小为 C.卫星的向心加速度大小为 D.地球的平均密度大小为 3、 天体运动的分析和计算 1. 基本思路和公式 (1) 一般情况下，把卫星或行星围绕行星或恒星的运动可看做匀速圆周运动，而提供其做匀速圆周运动的向心力就是万有引力，则常用的公式有： G＝ma＝m＝mω2r＝mr 其中r为卫星或行星绕行的轨道半径，v为线速度，ω为绕行的角速度，T为周期，可根据已知条件选择相应公式进行计算。 (2) 若忽略天体自转，则天体表面的物体受到的万有引力可近似等于重力，即 G＝mg 其中g为天体表面重力加速度，R为天体半径。 2. 围绕同一中心天体的行星或卫星的比较 对于围绕同一天体运动的轨道半径不同的星体，几个主要物理量的对比如下： 公式 与r的关系式 结论 G＝m v＝∝ 轨道半径r越大的星体线速度v越小 G＝mω2r ω＝∝ 轨道半径r越大的星体角速度ω越小 G＝mr T＝2π∝ 轨道半径r越大的星体周期T越大 G＝ma a＝∝ 轨道半径r越大的星体向心加速度a越小 规律：“一定四定”(即r定了，v、ω、T、a都定了)，“越远越慢”(即r越大，v、ω、a越小，T越大)。 3. 基础练习 (1) 木卫一和木卫二都绕木星做匀速圆周运动。它们的周期分别为42 h 46 min和85 h 22 min，它们的轨道半径分别为R1和R2，线速度分别为v1和v2，则(　　) A.R1＜R2，v1＜v2 B.R1＞R2，v1＜v2 C.R1＞R2，v1＞v2 D.R1＜R2，v1＞v2 (2) 祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季。假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍。火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动。下列关于火星、地球公转的说法正确的是(　　) A.火星公转的线速度比地球的大 B.火星公转的角速度比地球的大 C.火星公转的半径比地球的小 D.火星公转的加速度比地球的小 (3) 木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍，月球绕地球公转周期为T0，则(　　) A.木卫一轨道半径为r B.木卫二轨道半径为r C.周期T与T0之比为n D.木星质量与地球质量之比为n3 (4) 人造卫星以地心为圆心，做匀速圆周运动。关于其各物理量间的关系，下列说法正确的是(　　) A.半径越大，速度越小，周期越小 B.半径越大，速度越小，周期越大 C.所有卫星的线速度均是相同的，与半径无关 D.所有卫星的角速度均是相同的，与半径无关 学科网（北京）股份有限公司 $