第八章 实数 单元基础巩固测试卷 2025-2026学年人教版七年级数学下册

保密★启用前 人教版2025-2026学年下学期七年级数学单元基础巩固测试卷 第八章 实数 考试时间：120分钟；试卷分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）9的平方根是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 3．（本题3分）已知正数的两个不同的平方根是与，则的值是（   ） A． B． C．7 D．49 4．（本题3分）在，，，，，0，(相邻两个3之间1的个数逐次加)中，无理数的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（本题3分）已知整数满足，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（本题3分）已知，则x的值为（   ） A．4 B．2或 C．或4 D． 7．（本题3分）下列说法错误的是（    ）． A．是4的平方根 B．的算术平方根是 C．的算术平方根是 D．7是的算术平方根 8．（本题3分）已知，，，则的值为（   ） A． B．或 C．或 D．或 9．（本题3分）如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）若实数x的平方根为，y的立方根为，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 11．（本题3分）下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 12．（本题3分）若，，，则m，n，k的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共16分） 13．（本题4分）计算_________． 14．（本题4分）比较大小：______．(填“”，“”号) 15．（本题4分）若的整数部分是，的小数部分是，则______． 16．（本题4分）如图，在数轴上，我们可以用画半圆的方式，依次得到一些新的点．从原点开始，作一个边长为1的正方形，连接正方形对角两个顶点得到的线段的长度为，以数轴原点为圆心，长度为半径画半圆，交数轴右边于点，如此就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为_________． 三、解答题（共98分） 17．（本题10分）计算： 18．（本题10分）把下列各数的序号填在相应的括号内： ①，②，③，④…（相邻两个1之间多一个0），⑤0，⑥，⑦，⑧． 整数_______________； 分数_______________； 无理数_____________． 19．（本题10分）求下列各式中的 (1)； (2)． 20．（本题10分）已知的算术平方根是3，的立方根是1，a与c互为相反数． (1)求出a，b，c的值； (2)求的平方根． 21．（本题10分）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是可以用来表示的小数部分．请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 22．（本题12分）若整数，，满足，则称为，的“平方和数”． 例如：，为3，4的“平方和数”． 请你根据以上材料回答下列问题： (1)①数3，4的另一个“平方和数”为_________； ②5还可以是数_________，_________的“平方和数”． (2)若数与的“平方和数”是0，则_________，_________； (3)已知10是数与6的“平方和数”，求的值． 23．（本题12分）已知数有平方根． (1)若数的平方根是它本身，求的值． (2)若和是数的平方根，求的值． 24．（本题12分）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 25．（本题12分）综合与实践 阅读： 我国古代数学注重“数”与“形”的结合，有理数的乘方是从“数”的角度刻画重复乘法的简洁形式，而借助图形（如正方形、正方体等）能更直观理解乘方的意义．例如，既表示，也可对应“棱长为2的正方体的体积”；表示，也能对应“边长为2的正方形的面积（负号可理解为方向的抽象）”． 理解： （1）已知，计算和的值；并在数轴上分别表示出a、、对应的点（提示：先确定各数的符号与绝对值） （2）观察，，，，，…，写出（n为正整数）的末位数字的规律，再求的末位数字． 应用： （3）若一个数的平方等于它本身，这个数是______；若一个数的立方等于它本身，这个数是______． （4）已知，求的值，并说明该值在数轴上的位置特征． 拓展： （5）当n为正整数时，探究的值；并思考：是否存在整数x，使得？若存在，求x的值；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 人教版2025-2026学年下学期七年级数学单元基础巩固测试卷答案解析 第八章 实数 考试时间：120分钟；试卷分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共36分） 1．（本题3分）9的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：9的平方根是． 2．（本题3分）如图，在数轴上表示实数的点可能是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】根据无理数的取值范围判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 在数轴上表示实数的点可能是点B． 3．（本题3分）已知正数的两个不同的平方根是与，则的值是（   ） A． B． C．7 D．49 【答案】D 【分析】本题主要考查平方根的计算，利用正数的两个不同的平方根互为相反数的性质，先求出a的值，再计算m的值． 【详解】解：正数的两个不同的平方根是与， ∴， 解得， 将代入，得， ∵是该平方根的平方， ∴． 故选：D． 4．（本题3分）在，，，，，0，(相邻两个3之间1的个数逐次加)中，无理数的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，核心是明确有理数与无理数的区别：有理数包含整数、分数(有限小数、无限循环小数)，无理数是无限不循环小数． 【详解】解：是分数，属于有理数；是无限不循环小数，属于无理数；是无限循环小数，属于有理数；是有限小数，属于有理数；是分数，属于有理数；0是整数，属于有理数；(相邻两个3之间1的个数逐次加)是无限不循环小数，属于无理数； 无理数共有2个， 故选：B． 5．（本题3分）已知整数满足，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，关键是找到与50相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，进而求出m的值． 【详解】解：∵， ∴，即， 又∵，且m为整数， ∴； 故选：D. 6．（本题3分）已知，则x的值为（   ） A．4 B．2或 C．或4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，根据平方根定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 故选：C． 7．（本题3分）下列说法错误的是（    ）． A．是4的平方根 B．的算术平方根是 C．的算术平方根是 D．7是的算术平方根 【答案】C 【分析】本题考查平方根和算术平方根的定义，掌握好相关知识是解题关键． 根据平方根和算术平方根的定义，逐项判断正误． 【详解】解：对于A：， 因此是4的平方根，故A正确； 对于B： ， 因此的算术平方根是，故B正确； 对于C： ， 因此的算术平方根不是，故C错误； 对于D： ， 且，因此7是49的算术平方根，故D正确． 故选：C． 8．（本题3分）已知，，，则的值为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质和平方根的性质，有理数的加减法，掌握相关性质是解题的关键．由绝对值和平方根的性质确定和的可能值，再根据筛选符合条件的情况，最后计算的值． 【详解】解：，， ，， ， ，或，， 当，时，； 当，时，， 的值为或， 故选：D． 9．（本题3分）如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根，如果把一个数扩大倍，则它的立方根扩大倍，如果把一个数缩小倍，则它的立方根缩小倍，做题的关键是掌握以上规律．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解： ，且，， ． 故选：A． 10．（本题3分）若实数x的平方根为，y的立方根为，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】此题考查平方根、算术平方根、立方根．根据平方根和立方根的定义分别求出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵实数x的平方根为，y的立方根为， ∴，， ∴， 故选：A． 11．（本题3分）下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题利用立方根的性质对选项逐一判断，即可求解． 【详解】解：A．的立方根是，故选项正确； B．的立方根是，故选项正确； C．0的立方根是0，故选项正确； D．∵，∴的立方根等于5，故选项错误． 故选：D 12．（本题3分）若，，，则m，n，k的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的比较大小，根据题目给出的数据采取统一乘方是解题的关键．分别求6次方比较幂的大小得出结论． 【详解】解：∵m，n，k都是正数，分别求它们的6次幂， ∴，，， ∵， 即， ∴． 故选：A． 二、填空题（共16分） 13．（本题4分）计算_________． 【答案】 4 【分析】本题考查立方根的运算，先依据立方根的定义求出的值，再进行有理数的符号运算即可求解． 【详解】解：根据立方根的定义，由于， 因此， 则． 故答案为：4． 14．（本题4分）比较大小：______．(填“”，“”号) 【答案】 【分析】先比较两个负数的绝对值大小，再依据两个负数比较，绝对值大的反而小，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴． 15．（本题4分）若的整数部分是，的小数部分是，则______． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，能够正确地估算出无理数的大小，是解答此类题的关键．只需首先对估算出大小，从而求出其的整数部分与的小数部分，得出a，b的值后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的整数部分是a， 的小数部分是b， ∴， ， ∴． 故答案为：． 16．（本题4分）如图，在数轴上，我们可以用画半圆的方式，依次得到一些新的点．从原点开始，作一个边长为1的正方形，连接正方形对角两个顶点得到的线段的长度为，以数轴原点为圆心，长度为半径画半圆，交数轴右边于点，如此就能把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意得，点表示的数为， ∵， ∴， ∴表示的数为2， ∴， 则表示的数为， ∵， ∴， ∴， ∴表示的数为3， ∴， 同理可得； ； ； ； ， 以此类推可得，当为奇数时， 当为偶数时； ∴； 故答案为：． 三、解答题（共98分） 17．（本题10分）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先利用算术平方根及立方根的定义，有理数的乘方法则计算，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 18．（本题10分）把下列各数的序号填在相应的括号内： ①，②，③，④…（相邻两个1之间多一个0），⑤0，⑥，⑦，⑧． 整数_______________； 分数_______________； 无理数_____________． 【答案】整数：②⑤⑥；分数：①⑦；无理数：③④⑧ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解本题的关键． 根据整数、分数和无理数的定义，整数包括正整数、负整数和零；分数是有理数中的有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数。 【详解】解：②是负整数，⑤0是整数，⑥是正整数，因此整数为②⑤⑥； ①是有限小数，⑦（循环节为3）是无限循环小数，因此分数为①⑦； ③是无理数，④…（相邻两个1之间多一个0）（无限不循环）是无理数，⑧是无理数，因此无理数为③④⑧． 故答案为整数：②⑤⑥；分数：①⑦；无理数：③④⑧． 19．（本题10分）求下列各式中的 (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】平方根的定义：若，则；立方根的定义:若，则． 【详解】（1）解： ， ∴或 ； （2）解：， ， ， ∴． 20．（本题10分）已知的算术平方根是3，的立方根是1，a与c互为相反数． (1)求出a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根，平方根，立方根和相反数： （1）根据算术平方根和立方根的定义得到，，据此可求出a、b，再根据只有符号不同的两个数互为相反数求出c即可； （2）根据（1）所求求出的值，进而求出的平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是3， ∴， ∴； ∵的立方根是1， ∴， ∴； ∵与互为相反数， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴的平方根为． 21．（本题10分）我们知道是无理数，其整数部分是1，于是可以用来表示的小数部分．请解答： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) 1 (2) 【分析】（1）由，即可得出a的值．再根据，即可求出b的值，最后计算即可； （2）由，且，其中x是整数，且，即可求出x和y的值，再计算出，最后利用相反数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，的小数部分为a， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵的整数部分为b， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中x是整数，， ∴，， ∴， ∴的相反数是． 22．（本题12分）若整数，，满足，则称为，的“平方和数”． 例如：，为3，4的“平方和数”． 请你根据以上材料回答下列问题： (1)①数3，4的另一个“平方和数”为_________； ②5还可以是数_________，_________的“平方和数”． (2)若数与的“平方和数”是0，则_________，_________； (3)已知10是数与6的“平方和数”，求的值． 【答案】（1）①  ②  （答案不唯一） （2）  2 （3）或 【分析】（1）① 根据“平方和数”的定义，数3，4的“平方和数”满足，求的另一个整数解； ② 同理，寻找另外两个整数，使它们的平方和等于； （2）“平方和数” 为，意味着两个数的平方和为，根据平方的非负性，这两个数必须都为，从而列方程求解； （3）根据“平方和数”的定义列出方程，求解一元二次方程得到的值． 【详解】（1）解：（1）①∵， ∴数，的另一个“平方和数”为． ②∵，且， ∴还可以是数，的“平方和数”． （2）解：（2）由题意得 ∵平方数具有非负性， ∴， 要使两个非负数的和为，必须两个数都为： 解得 ：，． （3）解：（3）根据题意，得 当时，； 当时，． ∴或． 【点睛】本题考查了平方和数的定义、平方的非负性、解一元二次方程．解题关键是准确理解“平方和数”的定义，利用平方的非负性和方程思想求解． 23．（本题12分）已知数有平方根． (1)若数的平方根是它本身，求的值． (2)若和是数的平方根，求的值． 【答案】(1) (2)81或9． 【分析】本题考查了平方根的性质，解题关键是利用“平方根等于本身的数是” 和“一个数的两个平方根要么互为相反数，要么相等”这两个核心性质来建立方程． （1）一个数的平方根是它本身，说明这个数是，由此可列方程求； （2）一个数的平方根有两种情况：互为相反数或相等，需分类讨论，据此列方程求出，再代入求． 【详解】（1）解：∵数的平方根是它本身， ∴． 解得：． （2）解：∵和是数的平方根， ① 解得： 解得：． 将代入，得一个平方根为， ∴． ② 解得： 将代入，得一个平方根为， ∴． ∴ 的值为或． 24．（本题12分）阅读与思考 小明研究大数的立方根后写下如下报告． 以的立方根为例求大数的立方根 ①首先进行了估算：因为，所以是两位数； ②其次观察了立方数：．猜想个位数字是7； ③接着将50653往前移动3位小数点后约为50，因为，所以的十位数字应为3，于是猜想、验证，得50653的立方根是37； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之，也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题． (1)___________． (2)若，则___________． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1或3 【分析】本题考查求一个数的立方根．熟练掌握题目中给定的立方根的计算方法是解题的关键． （1）参照题干材料进行猜想、验证，可得答案； （2）根据与互为相反数，可得与5互为相反数，由此可解； （3）将所给等式变形为，根据0，，1的立方根等于它本身，可得答案． 【详解】（1）解：因为，所以是两位数； 其次观察立方数．猜想个位数字是8； 接着将195112往前移动3位小数点后约为195，因为，，所以的十位数字应为5，于是猜想、验证，得195112的立方根是58； 最后再依据“负数的立方根是负数”得到， 故答案为：． （2）解： ， 与互为相反数， 与5互为相反数， ， ， 故答案为：； （3）解： ， ， 或， 解得或1或3． 25．（本题12分）综合与实践 阅读： 我国古代数学注重“数”与“形”的结合，有理数的乘方是从“数”的角度刻画重复乘法的简洁形式，而借助图形（如正方形、正方体等）能更直观理解乘方的意义．例如，既表示，也可对应“棱长为2的正方体的体积”；表示，也能对应“边长为2的正方形的面积（负号可理解为方向的抽象）”． 理解： （1）已知，计算和的值；并在数轴上分别表示出a、、对应的点（提示：先确定各数的符号与绝对值） （2）观察，，，，，…，写出（n为正整数）的末位数字的规律，再求的末位数字． 应用： （3）若一个数的平方等于它本身，这个数是______；若一个数的立方等于它本身，这个数是______． （4）已知，求的值，并说明该值在数轴上的位置特征． 拓展： （5）当n为正整数时，探究的值；并思考：是否存在整数x，使得？若存在，求x的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1），，数轴表示见解析；（2）规律为周期为（、、、循环），末位数字是；（3）或；或或；（4）；是正数，在原点右侧，且距离原点个单位长度处；（5）；不存在，理由见解析 【分析】此题考查了数轴和实数、绝对值和偶次方的非负性、末位数字的特征，熟练运用这些性质是关键． （1）按乘方公式计算，并表示在数轴上即可； （2）通过观察已知数的个位数字，找到规律，再利用规律求的末位数字即可； （3）设未知数列方程再解即可； （4）根据绝对值和偶次方的非负性计算即可； （5）根据n为正整数时，n和是两个连续的自然数求值即可；根据绝对值和偶次方的非负性计算，判断x的值是否存在即可． 【详解】解：（1）， ， ， ，， 在数轴上原点左侧3个单位处； ，， 在数轴上原点右侧9个单位处； ，， 在原点左侧27个单位处． a用点A、用点B、用点C表示． ． （2），，，， ，，，，， 周期为（2、4、8、6循环）， ，余数为1，对应周期的第一个数， 故的末位数字是； （3）设数x的平方等于它本身，即： ， 解得：或， 故答案为：0或1； 设数y的立方等于它本身，即： ， 解得：或或， 故答案为：0或1或； （4）， 且， 解得：，， ， 是正数，在原点右侧，且距离原点个单位长度处； （5）为正整数， 和是两个连续的正整数即：（一奇数一偶数） 当时，，此时； 当时，，此时； 综上，当n为正整数时，； 不存在整数x，使得， 理由如下： ，， 当时， 且， 解得：且， ， 的值不存在． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $