河北张家口市第一中学2025-2026学年高二下学期3月8日数学试卷

2026年3月8日 高二数学试卷 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．设集合，，则=（    ） A．（0，1） B． C．（－3，1） D． 2．已知正实数x，y满足，若恒成立，则实数t的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．若实数，，满足，，，则（    ） A． B． C． D． 4．命题“”为假命题，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．函数是奇函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 6．设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A．64 B．32 C．63 D．31 8．某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．180 B．120 C．90 D．240 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．已知不等式的解集为，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．有最大值 D．不等式的解集为 10．已知，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的最小值为 D． 11．柜子里有4双不同的鞋子，从中随机地取出2只，下列计算结果正确的是（    ） A．“取出的鞋不成双”的概率等于 B．“取出的鞋都是左鞋”的概率等于 C．“取出的鞋都是一只脚的”的概率等于 D．“取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”的概率等于 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知随机事件互相独立，且满足，则__________. 13．抛一枚均匀硬币，连续抛三次，记正面朝上的次数为，则____________ . 14．若的展开式中的系数为121，则_____． 四、解答题（共77分） 15．（本小题13分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个零件，并测量其尺寸(单位：).根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布. （1）假设生产状态正常，记表示一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望. （2）该工厂对生产的零件制定了两种销售方案(假设每种方案对销售量没有影响)：方案一：每个零件均按85元定价销售.方案二：若零件的实际尺寸在范围内，则该零件为级零件，每个零件定价100元；否则为级零件，每个零件定价为30元.问哪种销售方案的利润更大？请根据数据计算说明. 附：若，则，，. 16．（本小题15分）已知四棱锥中，底面是梯形，，是等腰直角三角形，为棱上一点.    (1)当为中点时，求证：平面； (2)若，当时，求平面与平面夹角的余弦值. 17．（本小题15分）甲乙两人进行围棋比赛，每局比赛只有胜和负两种情况，无平局，胜者得2分，输者得1分，甲胜的概率为，每局胜负不受其他因素的影响. (1)在三局比赛中，设甲的累计得分为Y，求Y的分布列和数学期望； (2)设n局比赛中，甲累计得分为的概率为，求. 18．（本小题17分）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． (1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望； (2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）． 19．（本小题17分）已知函数． (1)若曲线在处的切线的斜率为，求的值； (2)若是的极小值点，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年3月8日 高二数学》参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B A A A D A C A ACD BD ABC 12． 【分析】利用独立事件的性质和条件概率公式建立方程，先求出与，再计算. 【详解】因为互相独立，所以. 又因为， 把代入可得：， 故. 由相互独立，得. 故答案为： 13．/0.375 14．3 15．（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9545，从而零件的尺寸在之外的概率为0.0455，故.因此. 的数学期望为. （2）对方案二，设零件价格的随机变量为，故可取30，100，可得，.故. 又方案一中，每个零件售价均为85，故可得方案二的利润更大. 16．（1） 取中点，连接，则，且， 又，，所以且， 则四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）    在平面内，过点作直线， 由已知且，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 由，，，平面， 可得平面， 以为原点，分别为轴建系， 则， 由可得，则，则，设平面的法向量为， 则，取，则所以， 不妨取平面的一个法向量，设平面与平面夹角为， 则，所以平面与平面夹角的余弦值为. 17．（1）记甲胜的局数为，则，且， 可得；； ；； 所以的分布列为 Y 3 4 5 6 数学期望. （2）由题意可知：局比赛中，甲累计得分为分，即局比赛中甲胜2局， 当时，；当时，； 综上所述：，则， 所以. 18．的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布． 的分布列为 0 1 2 的数学期望． （2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， ，根据概率加法公式和事件相互独立定义得， ． 即每位员工经过培训合格的概率为． （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则， ，则（万元） 即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元． 19．（1）已知，根据求导公式，，，可得，因为曲线在处的切线的斜率为， 所以，解得；（2）由（1）可得，令则， 若是的极小值点，则， 则在左侧附近小于0，在右侧附近大于0， 这意味着在处的导数， 把代入得，解得； 当时， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以恒成立，则在上单调递增， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以是的极小值点； 当时，此时，令， 则，此时， 因为， 当且仅当，即时，等号成立，所以恒成立， 则在上单调递增， 当时，，单调递减；当时，； 所以是的极小值点； 当时， 令，即，设， 则，整理得， 由一元二次方程求根公式， 因为，所以，， 存在，使得在附近，当在到0之间或0到之间时，，单调递减， 此时在两侧不满足左负右正，则不是的极小值点； 综上的取值范围是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $