第一章 整式的乘除核心基础知识清单（含pdf可直接打印）新教材北师大版七年级数学下册

第一章 整式乘法 知识清单 1.1 幂的乘除 同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方、零指数与负整数指数幂，是整式运算的基础，所有公式均要求满足底数不为 0的核心前提。 基本公式 运算类型 核心公式（适用条件） 文字法则 同底数幂相乘 （， 为整数） 底数不变，指数相加 同底数幂相除 （， 为整数） 底数不变，指数相减 幂的乘方 （， 为整数） 底数不变，指数相乘 积的乘方 （， 为整数） 积的乘方=各因式分别乘方，再把所得幂相乘 零指数幂 （） 任何非零数的0次幂都等于1 负整数指数幂 （， 为正整数） 非零数的负指数幂=其正指数幂的倒数 典型例题 例1（直接应用法则） 计算：。 【解析】先算乘方，再算乘除，最后算加减：原式。 例2（法则逆用+求值） 已知，，求的值。 【解析】逆用幂的运算法则拆分，将未知转化为已知：， 代入得：。 例3（科学记数法表示）神舟十七号载人飞船航天员在空间站进行了一系列科学实验，其中包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”．在此研究中，观测到某一蛋白质分子的直径仅为米，这个数用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为．故选：B． 二级结论与解题技巧 1.底数统一法（核心技巧）：遇到不同底数的幂（如），优先化为最小同底数（如均化为3的幂），再运用法则，如。 2.积的乘方逆用秒杀：，适用于简便计算,如。 3.负指数化简步骤：先变倒数，再乘方，如。 4.科学记数法衔接：绝对值小于1的数表示为（）， 为小数点向右移动至第一个非0数字的位数。 易错点拨 1.法则混淆：幂的乘方（指数相乘）与同底数幂相乘（指数相加）混淆，如，而非。 2.符号失误：积的乘方中，负号的乘方规律错误，如，易漏算系数的乘方或符号。 3.零指数条件遗漏：误认为“任何数的0次幂都是1”，忽略的前提，如的条件是。 4.负指数符号错误：将误算为，如，而非。 1.2 整式的乘法 基本概念与公式 整式的乘法包含单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式三类，核心依据是乘法分配律与幂的运算法则，是后续乘法公式的基础。 1.单项式×单项式： ① 系数相乘（遵循有理数乘法法则，同号得正，异号得负）； ② 同底数幂相乘（遵循幂的运算法则）； ③ 单独含有的字母连同其指数作为积的一个因式。 2.单项式×多项式：，即“用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加”。 3.多项式×多项式：，即“用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”。 典型例题 例3（三类乘法基础运算） 计算： 【解析】先算单项式×单项式、单项式×多项式，再合并同类项： 原式。 例4（不含某项求参数） 若的展开式中不含项，求的值。 【解析】第一步：展开多项式×多项式； 原式。 第二步：令项的系数为0，列方程求解； ，解得。 二级结论与解题技巧 1.“不漏乘”口诀：多项式乘多项式，“首首乘、首尾乘、尾首乘、尾尾乘”，避免漏项，可结合“十字相乘法”初步验证。 2.含参问题核心步骤：展开→合并同类项→令目标项系数为0→解方程（适用于“不含某一项”“某一项系数为定值”等高频考点）。 3.符号处理原则：“带着符号乘”，多项式中含负号的项，乘法运算时要将符号与系数、字母一起参与运算，去括号时注意变号。 易错点拨 1.漏乘常数项：单项式乘多项式时，忽略多项式中的常数项，如，而非。 2.同类项合并错误：多项式乘多项式展开后，误将非同类项合并，如与不是同类项，不可合并。 3.符号混乱：去括号时，括号前是负号，仅改变第一项符号，如，而非。 4.系数漏乘：单项式乘多项式时，单项式系数未与多项式每一项的系数相乘，如，而非。 1.3 乘法公式 基本公式 乘法公式是多项式乘法的特殊简化形式，核心为平方差公式和完全平方公式，是整式运算的重难点，也是中考高频考点。 公式名称 核心公式 结构特征 几何意义 平方差公式 两个数的和×这两个数的差 = 这两个数的平方差（相同项² - 相反项²） 边长为的大正方形减去边长为的小正方形，剩余部分可拼成矩形，面积相等验证公式 完全平方公式 首平方，尾平方，两倍首尾放中央（中间项符号与原式“±”一致） 边长为的正方形，可分割为两个小正方形和两个矩形，面积和验证公式 典型例题 例5（公式直接应用） 计算： 【解析】第一步：用平方差公式计算第一项，第二步：用完全平方公式计算第二项，最后去括号合并； 原式。 图形例题（云盘原题，，无修改改编） 例6（几何验证公式）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景．用代数式分别表示图1中阴影部分以及图2的面积即可． 【详解】解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 所以有， 故选：D． 例7（公式变形求值） 已知，，求和的值。 【解析】利用完全平方公式变形，将未知转化为已知： ① ； ② 。 二级结论与解题技巧（必背变形） 1.完全平方三大核心变形（高频考点）： ￮ ； ￮ ； ￮ 。 2.平方差公式拓展：连续运用平方差公式，如。 3.“凑公式”技巧：遇到符合公式结构的式子，优先用公式计算，避免繁琐的多项式乘法展开，如。 易错点拨 1.完全平方公式漏项：最常见错误，，忽略中间项；，正确为。 2.平方差公式结构错误：只有“两个数的和×这两个数的差”才能用，如，易颠倒相同项与相反项。 3.系数漏平方：完全平方公式中，首项、尾项的系数需同时平方，如，而非。 4.符号错误：，易误算为。 1.4 整式的除法 基本概念与公式 整式的除法是整式乘法的逆运算，主要涉及单项式÷单项式、多项式÷单项式，核心依据是除法分配律与幂的运算法则。 1.单项式÷单项式： ① 系数相除（遵循有理数除法法则，同号得正，异号得负）； ② 同底数幂相除（遵循同底数幂除法法则，底数不变，指数相减）； ③ 单独含有的字母连同其指数作为商的一个因式。 2.多项式÷单项式：（），即“用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加”。 典型例题 例8（两类除法基础运算） 计算： 【解析】运用多项式÷单项式法则，逐项相除，注意符号与指数运算： 原式 。 例9（乘除逆运算+含参） 已知单项式与的积为，求单项式。 【解析】由除法是乘法的逆运算，得，逐项相除： 。 二级结论与解题技巧 1.“先定号，再算值”：整式除法中，先根据“同号得正，异号得负”确定商的符号，再计算系数的除法和幂的运算，避免符号错误。 2.混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的， 如。 3.余式判断（拓展）：若多项式÷单项式后有余数，余数的次数必须低于除式的次数（了解即可）。 易错点拨 1.漏除常数项：多项式÷单项式时，忽略多项式中的常数项，如，而非。 2.同底数幂除法错误：指数相减时，误将小数减大数，如，而非。 3.系数相除错误：整数除法中，易出现整除错误，如，而非5；或，漏算系数。 4.单独字母漏写：单项式÷单项式时，漏写仅在被除式中出现的字母，如，而非。 全章重难题型突破 题型1：幂的运算与乘法公式综合（规律探究） 例10 计算： 【解析】逆用平方差公式拆分每一项，再通过约分简化计算： 原式 。 题型2：整式乘除与含参综合 例11 已知，且多项式除以的商为，求的值。 【解析】第一步：展开，对比得，； 第二步：由除法逆运算，， 对比系数得：，，验证成立。 题型3：乘法公式的实际应用（面积问题） 例12 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪开拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分面积可表示为：a2﹣b2，图2中阴影部分面积可表示为（a+b）（a﹣b），因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【拓展探究】图3是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1：　 　，方法2：　 　， （2）由（1）可得到一个等量关系式： （3）若m+n＝5，m2+n2＝20，求（m﹣n）2的值． 【解答】（1）图4中阴影部分是边长为a﹣b的正方形，因此面积为（a﹣b）2， 图4中阴影部分的面积可以看作边长是a+b的大正方形面积减去图3的面积，即（a+b）2﹣4ab， 故答案为：（a﹣b）2，（a+b）2﹣4ab； （2）由（1）中两种方法所表示的阴影部分的面积相等可得，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （3）∵m+n＝5，m2+n2＝20，而（m+n）2＝m2+2mn+n2，即25＝20+2mn， ∴2mn＝5， ∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝25﹣10＝15． 学科网（北京）股份有限公司 $第一章整式乘法知识清单 1.1幂的乘除 同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方、零指数与负整数指数幂，是整式运算的基础，所有公式均要求满 足底数不为0的核心前提。 基本公式 运算类型 核心公式（适用条件） 文字法则 同底数幂相乘 am·an=am+n(a≠0，m、n为整数) 底数不变，指数相加 同底数幂相除 am÷an=am-n(a≠0，m、n为整数) 底数不变，指数相减 幂的乘方 (am)n=amn(a≠0，m、n为整数) 底数不变，指数相乘 积的乘方 (ab)n=anbn(a≠0、b≠0，n为整数) 积的乘方=各因式分别乘方，再把所得幂相乘 零指数幂 a0=1(a≠0) 任何非零数的0次幂都等于1 负整数指数幂 a-p=1 (a≠0，p为正整数) 非零数的负指数幂=其正指数幂的倒数 ap 典型例题 例1（直接应用法则）计算：(-2a3)2·a4-5a10÷a2。 【解析】先算乘方，再算乘除，最后算加减：原式=4a6·a4-5a8=4a0-5a8。 例2（法则逆用+求值）已知3x=4,3y=6,求32x-y+1的值。 【解析】逆用幂的运算法则拆分，将未知转化为已知：32x-y+1=32x÷3y·31=(3x)2÷3y×3, 代入得：42÷6×3=16÷6×3=8。 例3（科学记数法表示）神舟十七号载人飞船航天员在空间站进行了一系列科学实验，其中包括空间蛋白 质分子组装与应用研究”.在此研究中，观测到某一蛋白质分子的直径仅为0.000000028米，这个数用科学 记数法表示为() A.0.28×10-7B.2.8×10-8 C.2.8×10-9 D.2.8×10-10 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法.科学记数法的表示形式为a×10的形式， 其中1≤|ad<10,n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与 小数点移动的位数相同，据此求解即可. 【详解】解：0.000000028用科学记数法表示为2.8×10-8.故选：B. 二级结论与解题技巧 1.底数统一法（核心技巧）：遇到不同底数的幂（如27m、9”、3P),优先化为最小同底数（如均化为3 的幂)，再运用法则，如27m=(33)m=33m。 2.积的乘方逆用秒杀：a"bn=(ab)n,适用于简便计算，如0.1252026×82026=(0.125×8)2026=12026=1。 3.负指数化简步骤：先变倒数，再乘方，如(-)2=(-)2= 4.科学记数法衔接：绝对值小于1的数表示为a×10-n(1≤a<10),n为小数点向右移动至第一个非0 数字的位数。 易错点拨 1.法则混淆：幂的乘方（指数相乘）与同底数幂相乘（指数相加）混淆，如(a4)2=a8，而非a6。 2.符号失误：积的乘方中，负号的乘方规律错误，如(-3a2)3=-27a,易漏算系数的乘方或符号。 3,零指数条件遗漏：误认为“任何数的0次幂都是1”，忽略a≠0的前提，如(2x-4)°=1的条件是x≠2。 4.负指数符号错误：将a-P误算为-a心，如2-3=，而非-8。 1.2整式的乘法 基本概念与公式 整式的乘法包含单项式×单项式、单项式×多项式、多项式×多项式三类，核心依据是乘法分配律与幂的运 算法则，是后续乘法公式的基础。 1.单项式×单项式： ①系数相乘（遵循有理数乘法法则，同号得正，异号得负）： ②同底数幂相乘（遵循幂的运算法则）； ③单独含有的字母连同其指数作为积的一个因式。 2.单项式×多项式：m(a+b+c)=ma+mb+mc,即“用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加”。 3.多项式x多项式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn,即“用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每 一项，再把所得的积相加”。 典型例题 例3（三类乘法基础运算）计算：3xy2·(-2x2y)+4x3y2·y-1) 【解析】先算单项式×单项式、单项式×多项式，再合并同类项： 原式=-6x3y3+4x3y3-4x3y2=-2x3y3-4x3y2。 例4（不含某项求参数）若(x2+mx-3)(x-2)的展开式中不含x2项，求m的值。 【解析】第一步：展开多项式×多项式： 原式=x3-2x2+mx2-2mx-3x+6=x3+(m-2)x2-(2m+3)x+6。 第二步：令x2项的系数为0，列方程求解： m-2=0,解得m=2。 二级结论与解题技巧 1.“不漏乘”口决：多项式乘多项式，“首首乘、首尾乘、尾首乘、尾尾乘”，避免漏项，可结合“十字相乘法” 初步验证。 2.含参问题核心步骤：展开→合并同类项→令目标项系数为0→解方程（适用于“不含某一项“某一项系数 为定值”等高频考点)。 3符号处理原则：“带着符号乘”，多项式中含负号的项，乘法运算时要将符号与系数、字母一起参与运算， 去括号时注意变号。 易错点拨 1.漏乘常数项：单项式乘多项式时，忽略多项式中的常数项，如2x(x-5)=2x2-10x,而非2x2。 2.同类项合并错误：多项式乘多项式展开后，误将非同类项合并，如5xy与-3x2y不是同类项，不可合并。 3.符号混乱：去括号时，括号前是负号，仅改变第一项符号，如-(x2-4x+2)=-x2+4x-2,而非 -x2-4x+2。 4系数漏乘：单项式乘多项式时，单项式系数未与多项式每一项的系数相乘，如3x(2x-y)=6x2-3xy, 而非6x2-xy。 1.3乘法公式 基本公式 乘法公式是多项式乘法的特殊简化形式，核心为平方差公式和完全平方公式，是整式运算的重难点，也是 中考高频考点。 公式名称 核心公式 结构特征 几何意义 平方差公 (a+b)(a-b)=a2-b2 两个数的和×这两个数的 边长为a的大正方形减去边长为b的小 式 差=这两个数的平方差 正方形，剩余部分可拼成矩形，面积相 （相同项2.相反项2) 等验证公式 完全平方 (a±b)2=a2±2ab+b2 首平方，尾平方，两倍 边长为a士b的正方形，可分割为两个 公式 首尾放中央（中间项符 小正方形和两个矩形，面积和验证公式 号与原式“士”一致) 典型例题 例5（公式直接应用）计算：(3x-2y)3x+2y)-(2x-y)2 【解析】第一步：用平方差公式计算第一项，第二步：用完全平方公式计算第二项，最后去括号合并： 原式=9x2-4y2-(4x2-4xy+y2)=9x2-4y2-4x2+4xy-y2=5x2+4xy-5y2。 图形例题（云盘原题，，无修改改编） 例6（几何验证公式）从边长为α的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将剩余部 分拼成一个长方形（如图2所示），根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是() 图1 图2 A.(a-b)2=a2-2ab+b2 B.a(a-b)=a2-ab C.b(a-b)=ab-b2 D.a2-b2=(a+b)(a-b) 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景.用代数式分别表示图1中阴影部分以及图2的面积即可. 【详解】解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2-b2, 图2是长为a+b,宽为a-b的长方形，因此面积为(a+b)(a-b), 所以有a2-b2=(a+b)(a-b), 故选：D 例7（公式变形求值）已知a+b=9,ab=18,求a2+b2和(a一b)2的值。 【解析】利用完全平方公式变形，将未知转化为已知： ①a2+b2=(a+b)2-2ab=92-2×18=81-36=45: ②(a-b)2=(a+b)2-4ab=81-4×18=81-72=9。 二级结论与解题技巧（必背变形） 1.完全平方三大核心变形（高频考点)： 。a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab: (a+b)2-(a-b)2=4ab: ab=a+b)2-(a2+b3) 2 2.平方差公式拓展：连续运用平方差公式，如(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4。 3.“凑公式技巧：遇到符合公式结构的式子，优先用公式计算，避免繁琐的多项式乘法展开，如 (5x+1)(5x-1)=25x2-1. 易错点拨 1.完全平方公式漏项：最常见错误，(a+b)2≠a2+b2,忽略中间项2ab:(a-b)2≠a2-b2,正确为 a2-2ab+b2。 2.平方差公式结构错误：只有“两个数的和×这两个数的差'才能用，如(a+2b)(2b-a)=(2b)2-a2= 4b2-a2,易颠倒相同项与相反项。 3.系数漏平方：完全平方公式中，首项、尾项的系数需同时平方，如(2x+3)2=4x2+12x+9,而非 2x2+12x+9。 4.符号错误：(-a-b)2=(a+b)2=2+2ab+b2,易误算为a2-2ab+b2。 1.4整式的除法 基本概念与公式 整式的除法是整式乘法的逆运算，主要涉及单项式：单项式、多项式÷单项式，核心依据是除法分配律与幂 的运算法则。 1.单项式÷单项式： ①系数相除（遵循有理数除法法则，同号得正，异号得负）； ②同底数幂相除（遵循同底数幂除法法则，底数不变，指数相减）； ③单独含有的字母连同其指数作为商的一个因式。 2.多项式÷单项式：(a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m(m≠0)，即“用多项式的每一项分别除以 单项式，再把所得的商相加”。 典型例题 例8（两类除法基础运算）计算：(16x4y3-8x3y2+4x2y)÷(-4x2y) 【解析】运用多项式÷单项式法则，逐项相除，注意符号与指数运算： 原式=16x4y3÷(-4x2y)-8x3y2÷(-4x2y)+4x2y÷(-4x2y) =-4x2y2+2xy-1。 例9（乘除逆运算+含参）已知单项式M与-3xy2的积为9x3y2-6x2y3,求单项式M。 【解析】由除法是乘法的逆运算，得M=(9x3y2-6x2y3)÷(-3xy),逐项相除： M=9x3y2÷(-3xy2)-6x2y3÷(-3xy2)=-3x2+2xy0 二级结论与解题技巧 1“先定号，再算值”：整式除法中，先根据“同号得正，异号得负”确定商的符号，再计算系数的除法和幂 的运算，避免符号错误。 2混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减：有括号先算括号内的， 如(2x2)3÷x4×x=8x6÷x4×X=8x3。 3余式判断（拓展）：若多项式：单项式后有余数，余数的次数必须低于除式的次数（了解即可）。 易错点拨 1.漏除常数项：多项式÷单项式时，忽略多项式中的常数项，如(4x2-2x+6)÷2=2x2一x+3,而非 2x2-x。 2.同底数幂除法错误：指数相减时，误将小数减大数，如x2÷x5=x3=,而非x3。 3.系数相除错误：整数除法中，易出现整除错误，如15÷(-3)=-5，而非5；或8÷4=2，漏算系数。 4.单独字母漏写：单项式÷单项式时，漏写仅在被除式中出现的字母，如6x3yz÷2x=3x2yz,而非3x2z。 全章重难题型突破 题型1：幂的运算与乘法公式综合（规律探究） 例10计算：1-1-动1-为)1-2) 【解析】逆用平方差公式拆分每一项，再通过约分简化计算： 原式=1-1+1-1+月1-2021+026》 -x3x24. .2025.2027 2×2×3×3× 2026×2026 、2026-4052° 题型2：整式乘除与含参综合 例11己知(x-1)(x+2)=x2+ax+b,且多项式x2+ax+b除以(x+1)的商为x+c,求a、b、c的值。 【解析】第一步：展开(x-1)(x+2)=x2+x-2,对比得a=1,b=-2: 第二步：由除法逆运算，(x+1)(x+c)=x2+(c+1)x+c=x2+x-2, 对比系数得：c+1=1,c=-2,验证成立。 题型3：乘法公式的实际应用（面积问题） 例12【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等 式.如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(a>b),把余下的部分剪开拼成一 个长方形（如图2），图1中阴影部分面积可表示为：2-b2,图2中阴影部分面积可表示为(a+b) (a-b),因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：a2-b2=(a+b)(a-b). a 6 图1 图2 图3 图4 【拓展探究】图3是一个长为2，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开平均分成四个小长方形，然后按 图4的形状拼成一个正方形。 (1)用两种不同方法表示图4中阴影部分面积： 方法1： ，方法2： (2)由(1)可得到一个等量关系式： (3)若m+n=5,m2+n2=20,求(m-n)2的值 【解答】(1)图4中阴影部分是边长为a-b的正方形，因此面积为(a-b)2, 图4中阴影部分的面积可以看作边长是a+b的大正方形面积减去图3的面积，即(a+b)2-4ab, 故答案为：(a-b)2,(a+b)2-4ab: (2)由(1)中两种方法所表示的阴影部分的面积相等可得，(a-b)2=(a+b)2-4ab: (3)m+n=5,m2+n2-20,而(m+n)2-m2+2mm+2,即25=20+2m, .2mn=5, .(m-n)2=(m+n)2-4n=25-10=15.