6.3 平面向量基本定理及坐标表示（12大题型）训练-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

6．3 平面向量基本定理及坐标表示 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：平面向量基本定理的概念理解 2 题型二：利用基底表示目标向量 4 题型三：平面向量的坐标化表示 5 题型四：平面向量加减运算的坐标形式 6 题型五：平面向量数乘运算的坐标形式 7 题型六：向量共线的判断与证明 8 题型七：依据向量共线坐标关系求解参数 8 题型八：定比分点坐标公式及其应用 9 题型九：数量积的坐标运算方法 11 题型十：平面向量模长的计算 12 题型十一：平面向量的夹角与垂直问题 12 题型十二：平面向量数量积的综合运用 15 02 重难点拓展 19 题型一：平面向量基本定理的概念理解 1．如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（    ） ①可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量，使的实数对有无穷多个； ③若向量与共线，则 ④若实数λ、μ使得，则. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】B 【解析】对于①，④，由平面向量基本定理可知①，④正确． 对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定， 那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，故②错误； 对于③，当时，变为， 当时，变为， 此时向量与共线，不满足，故③错误. 2．如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 3．如图，为的重心，过点的直线分别与，交于点，，且，，其中，则的最小值为（   ）    A． B．3 C． D．9 【答案】B 【解析】 如图，连接并延长交于点，因为的重心，则， 且点为的中点，故（*）， 因，，则有，，， 代入（*）可得：，即， 因三点共线，故，因， 则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为3. 故选：B. 题型二：利用基底表示目标向量 4．已知O，A，B三点不共线，设，，且P为靠近A点的线段的一个三等分点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】. 故选：B 5．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以， 故选：C. 6．在中，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】因为，所以，又因为两向量有公共点，所以点三点共线，又, 又， 所以，解得，， 因此. 故选：C． 题型三：平面向量的坐标化表示 7．已知点，将向量绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设向量与正半轴夹角为，则， 向量绕原点逆时针旋转得到，则， 又， ， 所以. 故选：A. 8．已知点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由点，，得. 故选：D 9．已知点，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点，， 所以， 故选：B 10．已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 则在基下的坐标为. 故选：A. 题型四：平面向量加减运算的坐标形式 11．平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】因为，，所以，所以，解得. 故选：B. 12．已知，若点D满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点 ， 则， 又，所以， 所以点的坐标为， 故选：A 13．已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】已知向量，， 则，解得． 故选：B． 题型五：平面向量数乘运算的坐标形式 14．已知是边长为2的正三角形，，分别为边，的中点，则若，则___________． 【答案】/ 【解析】以为坐标原点，分别以为轴正方向建立平面直角坐标系，如下图所示： 易知， 则， 由可得，解得； 可得. 故答案为： 15．过，的直线与x轴交于点P，设，则__________ 【答案】 【解析】设，则，， 则，得，， 故答案为： 16．已知，，且，则点M的坐标为______. 【答案】 【解析】由题意得，所以. 设，则， 所以，解得 ， 故点M的坐标为. 故答案为： 题型六：向量共线的判断与证明 17．向量，，，当为何值时，A，B，C三点共线？ 【解析】， ． 若A，B，C三点共线，则与共线． 则，即． 解得或． 故当的值为或11时，A，B，C三点共线． 18．已知，，，则与共线吗？ 【解析】， ． 与共线． 19．已知三点坐标分别为，并且，，求证：． 【解析】设点的坐标分别为，依题意有，，． ，，∴点E的坐标为． ，，∴点F的坐标为． ． 又因为， ． 题型七：依据向量共线坐标关系求解参数 20．已知，，且与共线，方向相同，则________． 【答案】2 【解析】因为，，且，所以，解得或， 当时，，，与共线且方向相同； 当时，，，与共线且方向相反，所以． 故答案为：2． 21．已知，，且，则x的值为_____． 【答案】3或 【解析】已知，，且， 所以有，化简得， 解得或. 故答案为：3或-1. 22．已知，，，，且，则_____________，_____________． 【答案】 4 【解析】，， 又，即， 解得 故答案为：，. 题型八：定比分点坐标公式及其应用 23．已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】点在线段的延长线上，且， ，即, 所以． 所以点P的坐标为. 故选：D. 24．设、、、为平面直角坐标系中两两不同的点，若，，且，则称点、和谐分割点、.已知平面上两两不同的点A、B、C、D，若C、D和谐分割点A、B.则下面说法正确的是（    ） A．点C可能是线段AB的中点 B．点可能是靠近点A的线段AB的三等分点 C．点C、D可能同时在线段AB上 D．点C、D可能同时在线段AB的延长线上 【答案】C 【解析】由已知不妨设， 则， 因为C、D和谐分割点A、B， 所以， 所以， 代入得，（*） 若C是线段AB的中点，则，代入(∗)得，， 此时两点重合，与题意矛盾，故A错误； 若是靠近点A的线段AB的三等分点， 则，代入(∗)得，， 此时两点重合，与题意矛盾，故B错误； 若C，D同时在线段AB上，则，则， 当时，，此时符合题意， 所以点C、D可能同时在线段AB上，故C正确； 若C，D同时在线段AB的延长线上时，则，则， 所以，这与矛盾， 所以不可能同时在线段的延长线上，故D错误. 故选：C. 25．在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】假设，根据，可得为重心，根据重心的坐标表示，可得结果.由题意知：是的重心，设， 则有解得 故. 故选：C 题型九：数量积的坐标运算方法 26．在中，，，点满足，则（    ） A． B． C．12 D．18 【答案】C 【解析】如图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则， 设，由得：，即 解得，故， 所以， 故选：C 27．已知，，则（   ） A．5 B．6 C．12 D．16 【答案】D 【解析】由已知可得，， 所以. 故选：D. 28．已知向量，，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】因为，， 所以. 故选：A． 题型十：平面向量模长的计算 29．已知向量，，，则_________，求=_________． 【答案】 6 【解析】因为，所以， 又，则. 故答案为：6；. 30．已知向量，则__________. 【答案】5 【解析】，则. 故答案为：5. 31．已知向量，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以 ， 所以当，即时取得最大值，且. 故答案为： 题型十一：平面向量的夹角与垂直问题 32．已知向量，，且． (1)求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值． 【解析】（1）由，则，解得. （2）由，则与的夹角，故. 33．如图，在中，点是中点，点、分别在边、上，，.设，. (1)用向量、表示； (2)若，，，求向量、夹角的余弦值. 【解析】（1）由题意可得. （2）解法一：由（1）得 ， 因为为的中点，所以， 从而， ， 所以， 故向量、夹角的余弦值为； 解法二：因为， 又因为，所以， 所以为等腰直角三角形， 如图，以为原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 可得、、、、， 则，， 所以， 故向量、夹角的余弦值为； 解法三：因为， 又因为，所以， 所以为等腰直角三角形， 如图，以为原点，的方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系. 可得、、、、、 ， 从而，， 所以， 故向量、夹角的余弦值为. 34．已知． (1)求与夹角的余弦值； (2)若，求实数的值． 【解析】（1）由，得， 设与的夹角为，则， 所以与夹角的余弦值为. （2）由，得， 即，而， 则，所以． 题型十二：平面向量数量积的综合运用 35．如图所示，在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，且点． (1)求的大小． (2)设点是的中点，点在线段上运动（包括端点），求的取值范围． 【解析】（1）由题意得． 因为四边形是平行四边形， 所以 因为，所以． （2）设，其中，则． ， 故的取值范围是． 36．如图，在平行四边形中为的中点分别为的一个三等分点，点靠近点点靠近点记. (1)把▱放到平面直角坐标系中，若求点的坐标； (2)用表示； (3)若求. 【解析】（1）设， 由题意得，，， 所以，解得， 即点的坐标为. （2）由题意得， ， ， 所以， . （3）由题意得，， 所以． , 所以 , 所以 所以 = 37．在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点（含端点）.    (1)若，求，的夹角的余弦值； (2)求的取值范围. 【解析】（1）法一： 由图知：，， ，， 因为，所以是的中点， ， 所以， 所以 ， 所以； 法二：以为原点，、所在的直线为分别为轴建立 如图所示的平面直角坐标系，则， 则，， 所以； （2）由（1）中的法二，设，， ，， 所以， 因为，所以. 1．（25-26高三上·内蒙古包头·期末）已知向量，，则在方向上的投影向量的模为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知在方向上的投影向量为 ， 故在方向上的投影向量的模为. 故选：C. 2．（25-26高一上·云南昆明·期末）若单位平面向量夹角为，向量，向量，则下列命题为假命题的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知单位向量、的夹角为，因此且 A选项：，， ，， 故，A为真命题； B选项：，B为真命题； C选项：假设，则存在使， 整理得：， 由于与不共线（夹角为），则且， 此方程组无解，矛盾，故与不平行，C为假命题； D选项： 所以，D为真命题. 故选：C 3．（25-26高一下·浙江·开学考试）在中，，，BE和CD相交于点，设，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，为中点，，， 所以， 设，则， ， 又因为，即， 所以， 设，则， ， 所以，解得，， 则，即， 则. 4．（2026·山东·模拟预测）已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】过点作， 则， 以为邻边作平行四边形， 所以，， 可得， 所以. 故选：B. 5．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）向量，且，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，得，所以， 因为，所以，得，所以， 所以，故. 故选：B. 6．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）在平面直角坐标系中，已知点关于轴的对称点为， ， 若且有， 则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为点关于轴的对称点为，所以， 所以， 所以， 因为， 所以，解得 故选：A 7．（多选题）（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，设向量，因为由向量， 可得，即，解得， 所以，所以A正确； 对于B，由A知，所以，所以B不正确； 对于C，由B知，可得，所以，所以C正确； 对于D，由A知，可得，所以，所以D正确. 8．（多选题）（25-26高一上·江苏南通·期末）在中，，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为，， 所以，如图， 对于A，，正确； 设，则， 设，又， 所以， 又， 所以，解得， 可知，， ， 故BC正确，D错误. 9．（多选题）（25-26高一下·浙江·开学考试）下列结论正确的是（   ） A．为平面内一定点，若，则、、三点共线且 B．非零向量，满足，则与的夹角为钝角 C．若，与共线，且，则 D．若非零向量，，满足，，则 【答案】AD 【解析】对于A选项，对变形： 即，整理得， 与共线且有公共点， 因此三点共线，A正确， 对于B选项，当非零向量，反向共线时，夹角为， 此时，但不是钝角，B错误， 对于C选项，，， 与共线且的向量有两个： 和，并非只有，C错误， 对于D选项，设， 由得，两边平方： 展开得， 代入，得： 即，D正确. 10．（多选题）（多选）已知扇形的半径为1，，点在弧上运动，，下列说法正确的有（   ） A．当位于点时，的值最小 B．当位于点时，的值最大 C．的取值范围为 D．的取值范围 【答案】ACD 【解析】以为原点，以为轴，建立如图所示的直角坐标系，设，则， 其中，，． 因为，所以，即， 所以． 所以当时，取得最大值2，此时点为的中点， 当或时，取得最小值1，此时点为或点，故A正确，B错误， ，， 所以， ． 因为，所以，故， 因此，所以的取值范围为，故C正确， 因为， 因为，所以，故， 所以，所以，所以D正确． 故选：ACD． 11．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，四边形中，为等边三角形，，则______ 【答案】/ 【解析】因为， 所以，即， 如图，建立平面直角坐标系， 又为等边三角形，所以， 则， 所以， 则. 12．已知非零向量、满足，，则向量与向量夹角的余弦值为______. 【答案】 【解析】因为，所以可设，，则，. 因为，所以，即. 则. 即向量与向量夹角的余弦值为. 方法二： 因为，所以，即. . 即向量与向量夹角的余弦值为. 13．如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为_______. 【答案】11 【解析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， . ， ，. 设，则（其中）， ， ， 当且仅当时，等号成立. 所以，当时，取得最小值11. 14．如图所示，已知在中，，，，在上，且，在上，且，为与的交点，则________． 【答案】 【解析】设，，与的夹角为， 则，， 因为，． 所以， 又，，所以． 又因为，所以，即向量，的夹角． 故答案为： 15．（25-26高一下·全国·单元测试）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则____________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】因为，即，则， 又因为，可得，，所以； 因为正方形的边长为1，可得，且， 又因为为线段上的动点，设，且， 则， 因为为中点，则， 可得 又因为，所以当时，取到最小值． 故答案为：；． 16．在平面直角坐标系中，原点，已知，，是线段AB上的动点（含端点），且为的中点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】如图： 设（）， 则， 又， 所以. 所以 ，（）. 所以当时，取得最小值，为； 当时，取得最大值，为. 所以. 17．（24-25高一下·四川广安·月考）如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________． 【答案】3 【解析】与的夹角为，与的夹角为，且，； 对两边平方得：①； 对两边点乘得：，两边平方得：②； ①②得：；根据图象知，， ，代入得，； ． 故答案为：3 18．在平行四边形中，点，满足，，与交于点，设，求的值． 【解析】由，知，如图， 因为，，三点共线， 所以存在实数，使得， 设，则， 由平面向量基本定理可得，解得， 所以，即，即． 19．如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段上一个靠近点B的三等分点，设，． (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：C，D，E三点共线． 【解析】（1）由题意得． ，，， ． （2）证明： ， 与平行，又与有公共点C， ，D，E三点共线． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6．3 平面向量基本定理及坐标表示 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：平面向量基本定理的概念理解 2 题型二：利用基底表示目标向量 2 题型三：平面向量的坐标化表示 3 题型四：平面向量加减运算的坐标形式 3 题型五：平面向量数乘运算的坐标形式 3 题型六：向量共线的判断与证明 4 题型七：依据向量共线坐标关系求解参数 4 题型八：定比分点坐标公式及其应用 4 题型九：数量积的坐标运算方法 5 题型十：平面向量模长的计算 5 题型十一：平面向量的夹角与垂直问题 5 题型十二：平面向量数量积的综合运用 6 02 重难点拓展 8 题型一：平面向量基本定理的概念理解 1．如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（    ） ①可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量，使的实数对有无穷多个； ③若向量与共线，则 ④若实数λ、μ使得，则. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 2．如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，为的重心，过点的直线分别与，交于点，，且，，其中，则的最小值为（   ）    A． B．3 C． D．9 题型二：利用基底表示目标向量 4．已知O，A，B三点不共线，设，，且P为靠近A点的线段的一个三等分点，则等于（   ） A． B． C． D． 5．在中，，则（    ） A． B． C． D． 6．在中，若，则（   ） A． B． C．1 D． 题型三：平面向量的坐标化表示 7．已知点，将向量绕原点逆时针旋转得到，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 8．已知点，，则（    ） A． B． C． D． 9．已知点，则向量（    ） A． B． C． D． 10．已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型四：平面向量加减运算的坐标形式 11．平面向量，，且，则（    ） A． B．2 C． D．3 12．已知，若点D满足，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 13．已知，，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型五：平面向量数乘运算的坐标形式 14．已知是边长为2的正三角形，，分别为边，的中点，则若，则___________． 15．过，的直线与x轴交于点P，设，则__________ 16．已知，，且，则点M的坐标为______. 题型六：向量共线的判断与证明 17．向量，，，当为何值时，A，B，C三点共线？ 18．已知，，，则与共线吗？ 19．已知三点坐标分别为，并且，，求证：． 题型七：依据向量共线坐标关系求解参数 20．已知，，且与共线，方向相同，则________． 21．已知，，且，则x的值为_____． 22．已知，，，，且，则_____________，_____________． 题型八：定比分点坐标公式及其应用 23．已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 24．设、、、为平面直角坐标系中两两不同的点，若，，且，则称点、和谐分割点、.已知平面上两两不同的点A、B、C、D，若C、D和谐分割点A、B.则下面说法正确的是（    ） A．点C可能是线段AB的中点 B．点可能是靠近点A的线段AB的三等分点 C．点C、D可能同时在线段AB上 D．点C、D可能同时在线段AB的延长线上 25．在中，已知，，是中线上一点，且，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型九：数量积的坐标运算方法 26．在中，，，点满足，则（    ） A． B． C．12 D．18 27．已知，，则（   ） A．5 B．6 C．12 D．16 28．已知向量，，则（    ） A．2 B．4 C． D． 题型十：平面向量模长的计算 29．已知向量，，，则_________，求=_________． 30．已知向量，则__________. 31．已知向量，则的最大值为__________. 题型十一：平面向量的夹角与垂直问题 32．已知向量，，且． (1)求实数的值； (2)求与的夹角的余弦值． 33．如图，在中，点是中点，点、分别在边、上，，.设，. (1)用向量、表示； (2)若，，，求向量、夹角的余弦值. 34．已知． (1)求与夹角的余弦值； (2)若，求实数的值． 题型十二：平面向量数量积的综合运用 35．如图所示，在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，且点． (1)求的大小． (2)设点是的中点，点在线段上运动（包括端点），求的取值范围． 36．如图，在平行四边形中为的中点分别为的一个三等分点，点靠近点点靠近点记. (1)把▱放到平面直角坐标系中，若求点的坐标； (2)用表示； (3)若求. 37．在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点（含端点）.    (1)若，求，的夹角的余弦值； (2)求的取值范围. 1．（25-26高三上·内蒙古包头·期末）已知向量，，则在方向上的投影向量的模为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·云南昆明·期末）若单位平面向量夹角为，向量，向量，则下列命题为假命题的是（） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·浙江·开学考试）在中，，，BE和CD相交于点，设，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山东·模拟预测）已知点为所在平面内一点，若，则（   ） A．3 B． C． D． 5．（25-26高二上·江西鹰潭·期末）向量，且，则（    ） A． B．3 C． D． 6．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）在平面直角坐标系中，已知点关于轴的对称点为， ， 若且有， 则（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（25-26高一上·江苏南通·期末）在中，，，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（25-26高一下·浙江·开学考试）下列结论正确的是（   ） A．为平面内一定点，若，则、、三点共线且 B．非零向量，满足，则与的夹角为钝角 C．若，与共线，且，则 D．若非零向量，，满足，，则 10．（多选题）（多选）已知扇形的半径为1，，点在弧上运动，，下列说法正确的有（   ） A．当位于点时，的值最小 B．当位于点时，的值最大 C．的取值范围为 D．的取值范围 11．（25-26高一上·江苏南通·期末）如图，四边形中，为等边三角形，，则______ 12．已知非零向量、满足，，则向量与向量夹角的余弦值为______. 13．如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为_______. 14．如图所示，已知在中，，，，在上，且，在上，且，为与的交点，则________． 15．（25-26高一下·全国·单元测试）在边长为1的正方形中，点为线段的三等分点，，，则____________；为线段上的动点，为中点，则的最小值为____________． 16．在平面直角坐标系中，原点，已知，，是线段AB上的动点（含端点），且为的中点，则的取值范围是______. 17．（24-25高一下·四川广安·月考）如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，，若，则___________． 18．在平行四边形中，点，满足，，与交于点，设，求的值． 19．如图，点C是点B关于点A的对称点，点D是线段上一个靠近点B的三等分点，设，． (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：C，D，E三点共线． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $