17.4 三角形全等的判定小节复习题 2025-2026学年 沪教版（五四制）七年级数学下册

17.4 三角形全等的判定小节复习题 题型一 用SSS证明三角形全等 1．已知：如图，点C、D在的异侧，，，请说明∆ABC与全等的理由．      2．如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，， (1)求证： (2)若，，求的度数 3．如图，点在一条直线上，，求证：△ABC≌△DFE． 4．如图，在四边形中，，连接，试说明． 题型二 用SAS证明三角形全等 1．已知：如图，A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，求证： (1)BC＝EF； (2)BC∥EF． 2．如图，，，△ABE和△ACD全等吗？为什么？ 3．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，，，．试说明：． 4．如图，已知A、B、C、D在同一直线上，，，且， 求证：．    题型三 用ASA或AAS证明三角形全等 1．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝∠ACB，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，那么△BDC与△CEB全等吗？为什么？ 解：因为BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB（已知）， 所以∠DBC＝（    ），∠ECB＝（ 　   　）． 由∠ABC＝∠ACB（已知）， 所以∠DBC＝∠ECB（ 　   　）． 在△BDC与△CEB中， 　 　， 　 　 （ 　   　）， 　 　 （    ）． 所以△BDC≌△CEB（ASA）． 2．如图，在中，点是边的中点，过点作直线使，交的延长线于点．试说明的理由． 解：因为（已知）， 所以 ( ) 因为点是边的中点， 所以 在和中， 所以( ) 所以( ) 3．如图，已知BE与CD相交于点O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO与△CEO全等吗？为什么？ 4．如图，已知是△ABC中边上的中线，、是直线上的点，且说明和全等的理由． 题型四 用HL证明三角形全等 1．已知：如图，，，平分，．求证：平分． 2．已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE.求证：∠AFC＝2∠ADC. 3．如图，已知，，，，与交于点O． (1)求证：． (2)求． 4．如图，在△ABC中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，E，F为垂足，且； 求证： (1) (2)． 题型五 倍长中线模型 1．安安同学遇到这样一个问题：如图，∆ABC中，，，是中线，求的取值范围. 宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答： (1)△BDE和△CAD全等吗？请说明理由； (2)求出的取值范围. 2．如图所示，是的边的中线．    (1)画出以点为对称中心且与成中心对称的三角形； (2)若，，求的长的取值范围． 3．如图，在∆ABC中，， (1)求边的长的取值范围？ (2)若是∆ABC的中线，求取值范围？ 4．（1）如图，在中，，，点G是的中点，求中线的取值范围； （2）如图，在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 题型六 旋转模型 1．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直线MN经过点A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E． (1)当直线MN绕点A旋转到图1的位置时， 度； (2)求证：DE=CD+BE； (3)当直线MN绕点A旋转到图2的位置时，试问DE、CD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明． 2．【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 3． 如图，，，． （1）求证：； （2）若，试判断与的数量及位置关系并证明； （3）若，求的度数． 4．已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 题型七 垂线模型 1．如图，已知：在∆ABC中，，，直线经过点，，． （1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系：____________． 2．如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当∆ABC满足__________时，？ 3．如图，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求证： 4．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】 （1）如图2，已知，∆ABC中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F．求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请直接写出，，之间的数量关系 ； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，则的面积为 ． （4）如图4，四边形中，，△ACD面积为18且的长为9，则的面积为 ． 题型八 添加条件使三角形全等 1．如图，点A，E，F，C在同一条直线上，，，请你再添加一个条件使得，并说明理由． 2．如下图，在∆ABC与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，下列条件：①；②；③；④．其中能使的有_______（填序号）； (2)根据（1）中添加的条件，分别说明． 3．如图，点为∆ABC和∆ADE的公共顶点，已知，请你添加一个条件，使得．（不再添加其他线段和字母） (1)你添加的条件是______． (2)根据你添加的条件，写出证明过程． 4．（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在∆ABC与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_____（填序号）， ①；②；③；④； (2)分别对（1）中添加条件的情况证明，并指出两个三角形全等的判定方法． 题型九 全等三角形综合问题 1．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．E为BD上一点，且BE＝AD，∠DEF＝∠ADC，EF交BC的延长线于点F． （1）AD和BC相等吗？为什么？ （2）BF和BD相等吗？为什么？ 2．如图，在三角形ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD＝DE，BF＝CD，∠FDE＝∠B，那么∠B与∠C相等吗？为什么？ 3．如图，已知AF与BE相交于点O，C、D分别是AF与BE上的两点，EF∥AB，并且∠A+∠ACD＝180°． (1)请说明CD∥EF的理由； (2)分别连结CE、DF，若OE＝OF，请说明△ECD≌△FDC的理由． 4．如图，四边形，点E，F在边上，满足，，． (1)求证：． (2)若，求的长． 参考答案 题型一 用SSS证明三角形全等 1．解：在△ABC与中， ， ∴△ABC≌△ABD（SSS）． 2．（1）证明：， ， 即， 在△ABC和中， ， ． （2）解：，，， ， ． 3．证明：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴． 4．解： 在△ABD和△CBD中， ， ∴∠ABD≌△CBD（SSS） 题型二 用SAS证明三角形全等 1．（1）证明：（1）， ， ， ， 在△ABC与 中 ， ， ． （2）（2）， ， ． 2．解：，理由为： 在和中， ， ∴． 3．解：∵， ∴， 即：， ∵ ∴ 在△ABC和中， ∴． 4．证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 题型三 用ASA或AAS证明三角形全等 1．解：△BDC与△CEB全等， 因为BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB（已知）， 所以∠DBC＝（∠ABC），∠ECB＝（∠ACB）， 由∠ABC＝∠ACB（已知）， 所以∠DBC＝∠ECB（ 等量代换）， 在△BDC与△CEB中， ， 所以△BDC≌△CEB（ASA）， 故答案为：∠ABC；∠ACB；等量代换；∠DBC＝∠ECB；BC＝CB；公共边；∠ACB＝∠ABC；已知． 2．解：因为（已知）， 所以∠E（两直线平行，内错角相等） 因为点是边的中点， 所以BD=CD． 在和中， （对顶角相等） 所以（AAS） 所以（全等三角形的对应边相等） 3．解：△BDO与△CEO全等； ∵∠BDO＝180°﹣∠ADC，∠CEO＝180°﹣∠AEB， 又∵∠ADC＝∠AEB， ∴∠BDO＝∠CEO， ∵在△BDO与△CEO中，， ∴△BDO≌△CEO（AAS）． 4．证明：是△ABC中边上的中线， ， ， ，． 在与中， ， ≌． 题型四 用HL证明三角形全等 1．证明：在上取一点，使， 平分， ， 在与中， ， ， ，，， ， ∴， ， ， 在与中， ， ， ， 即平分． 2．证明：在Rt△ABD与Rt△AED中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL）， ∴∠BAD＝∠EAD， ∵AB∥CD， ∴∠BAD＝∠ADC， ∴∠EAD＝∠ADC， ∵∠AFC＝∠EAD+∠ADC， ∴∠AFC＝2∠ADC. 3．（1）证明：∵， ∴，即， ∵， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 4．（1）证明：∵于E点，于F点 ∴在与中 ∴ ∴； （2）证明：在直角三角形中， ∴ ∴ ∵E、C，F三点共线 ∴ ∴． 题型五 倍长中线模型 1．（1）解：∵是中线， ∴， 延长到，使， 又， ∴ （2）由（1）可知，，， 在中，，， ∴，即， ∴. 2．（1）解：如图所述，以点为对称中心旋转，得，    ∴与关于点成对称中心图形． （2）解：由（1）可知，与关于点成对称中心图形， ∴， ∴，， 在中，，即， ∴， ∵， ∴，解得，， ∴的长的取值范围． 3．（1）解：由三角形的三边关系可知：， ∵， ∴； （2）解：延长至E，使，连接， 在中，∵， ∴， ∴， 由三角形的三边关系：， ∴， ∴． 4．（1）解：延长DG至M，使GM=DG，连接MF， 在和中， ∴(SAS)， ∴DE=MF=3， ∵DF-MF＜DM＜DF+MF， ∴7-3＜DM＜7+3， 即4＜DM＜10， ∵， ∴4＜2DG＜10， ∴2＜DG＜5； （2）AD=CD+AB，理由如下： 解：延长AE，DC相交于点F， ∵， ∴∠BAE=∠F， ∵点E是BC的中点， ∴BE=CE， 在和中， ∴（AAS）， ∴AB=CF， ∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE， ∴∠F=∠DAF， ∴AD=FD， ∵FD=CD+CF，CF=AB， ∴AD=CD+AB． 题型六 旋转模型 1．（1）∵∠BAC=90° ∴ ∠EAB+∠DAC=180°-∠BAC=180°-90°=90° 故答案为：90°． （2）证明：∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E ∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°   ∵  ∠DAC+∠DCA=90°且 ∠DAC+∠EAB=90° ∴ ∠DCA=∠EAB   ∵在△DCA和△EAB中 ∴△DCA≌△EAB (AAS) ∴ AD=BE且EA=DC 由图可知：DE = EA+AD = DC+BE． （3）∵ CD⊥MN于D，BE⊥MN于E ∴ ∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°              ∵ ∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90° ∴ ∠DCA=∠EAB             ∵在△DCA和△EAB中 ∴△DCA≌△EAB (AAS) ∴ AD=BE且AE=CD 由图可知：AE = AD +DE ∴ CD= BE + DE． 2．解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 3．（1）∵∠CAB=∠EAD ∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE， ∴ ∠CAE=∠BAD， ∵AB=AC，AE=AD 在△AEC和△ADB中 ∴ △AEC≌△ADB（SAS） （2）CE=BD且CE⊥BD，证明如下： 将直线CE与AB的交点记为点O， 由（1）可知△AEC≌△ADB， ∴ CE=BD， ∠ACE=∠ABD， ∵∠BOF=∠AOC，∠=90°， ∴ ∠BFO=∠CAB=∠=90°， ∴ CE⊥BD． （3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD 由（1）知△AEC≌△ADB， ∴两个三角形面积相等 故AM·CE=AN·BD ∴AM=AN ∴AF平分∠DFC 由（2）可知∠BFC=∠BAC= ∴∠DFC=180°- ∴∠CFA=∠DFC= 4．（1）解：， ， 又，， ， 在中，， 故答案为：． （2）解：如下图所示：过点作的边上的高，过点作的边上的高，由作图及知： ，，， （同角的余角相等），   在与中有： （）， ， ，， ，， ， 故答案为：． 题型七 垂线模型 1．解：（1）证明：如图1， ∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）如图2，∵BE⊥EC，AD⊥CE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠EBC+∠ECB=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ECB+∠ACE=90°， ∴∠ACD=∠EBC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=EC-CD=AD-BE． （3）DE=BE-AD； 如图3，∵∠ACB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90° ∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠ACD+∠DAC=90°， ∴∠DAC=∠ECB， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴AD=CE，CD=BE， ∴DE=CD-CE=BE-AD． 2．（1）证明：在△ABC和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 3．（1）证明：是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在△BC与△BDE中， ， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（1）证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴； （2）， 证明：由题意可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴，， ∴； （3）设，则， ∴ ∵， ∴ ∴； （4）如图，过点B作交的延长线于点E，过点F作于点F， 由（1）可得 ∴，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵面积为18 ∴ ∴， ∵的长为9， ∴， ∴ 题型八 添加条件使三角形全等 1．解：添加的条件为，理由如下： 因为， 所以， 即， 在和中， ， 所以． 2．(1)①③ (2)解：选①时， 在△ABC和中， ， ； 选③时， 在△ABC和中， ， ． 题型九 全等三角形综合问题 1．（1）AD＝CB， 理由如下：∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB， 同理可得，∠ADB＝∠CBD， 在△ABD与△CDB中， ∴△ABD≌△CDB（ASA）， ∴AD＝CB； （2）BF＝BD， 理由 ∵AD＝CB，BE＝AD， ∴BC＝BE， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBF， ∵∠DEF＝∠ADC， ∴∠DEF﹣∠DBF＝∠ADC﹣∠ADB， 即∠EFB＝∠CDB， 在△EFB与△CDB中， ， ∴△EFB≌△CDB（AAS）， ∴FB＝DB． 2．解：∠B与∠C相等， 理由：∵∠FDC＝∠FDE+∠EDC， 又∵∠FDC＝∠B+∠BFD， ∴∠FDE+∠EDC＝∠B+∠BFD， 又∵∠FDE＝∠B， ∴∠BFD＝∠EDC， 在△BFD和△CDE中 ， ∴△BFD≌△CDE（SAS）， ∴∠B＝∠C． 3．（1）∵∠A+∠ACD＝180°， ∴， ∵， ∴． （2）∵OE＝OF， ∴∠OEF＝∠OFE， ∵， ∴∠OEF＝∠ODC，∠OFE＝∠OCD， ∴∠ODC＝∠OCD， ∴OC＝OD， ∴OC+OF＝OD+OE， 即CF＝DE， 在△ECD和△FDC中， ， ∴△ECD≌△FDC（SAS）． 4．（1）证明：， ，即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 在和中， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $