6.2.4 向量的数量积巩固训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

§6.2.4 向量的数量积 1. (多选)下面给出的关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2. 设向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影数量为_____，_____． 3. 已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D．1 4. 如图，在矩形中，，，点E为的中点，点F在边上，且，则的值是______． 5. 在中，已知，向量在向量方向上的投影向量为，，则（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 6. 已知非零向量满足，（）的最小值为2，则的夹角为（    ） A． B． C．或 D．或 7. 定义平面向量在上的投影为．若平面向量，满足，则在上的投影的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8. （多选）在中，的平分线交边于点，，，，则（    ） A． B． C． D． 9. 在中，，，，若，则边中线的最小值为______. 10. 已知向量与的夹角为，且，，. (1)当时，求； (2)求的最小值. 11. 已知平面向量，满足，，且. (1)求. (2)当实数为何值时，. 12. 已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §6.2.4 向量的数量积 1. (多选)下面给出的关系式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【难度】0.95 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析、数量积的运算律 【分析】根据平面向量的数量积的概念及运算对各个选项逐一分析即可求解. 【详解】零向量与任意向量的数量积为0，故A正确； 由平面向量的交换律可知，，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC 2. 设向量，的夹角为，且，，则向量在向量方向上的投影数量为_____，_____． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、求投影向量 【分析】第一空，利用向量在向量方向上的投影数量为可求，第二空：先根据数量积的定义求，再利用向量模长公式可计算. 【详解】向量在向量方向上的投影数量为， ， ， 故答案为：，. 3. 已知向量，满足，，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示、已知模求数量积 【分析】根据数量积的运算律及模的性质化简求解即可. 【详解】因为，， 所以， 即①， 又，所以②， 由①②可得，， 即. 故选：C 4. 如图，在矩形中，，，点E为的中点，点F在边上，且，则的值是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知模求数量积 【分析】先将与用和表示出来，再根据向量数量积的运算规则进行计算. 【详解】已知点为的中点，所以. 因为，所以， 所以 ， 在矩形中，根据向量垂直的性质可知. 已知，，则，，那么，. 将，，代入上式可得： 故答案为： 5. 在中，已知，向量在向量方向上的投影向量为，，则（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】平面向量数量积的几何意义、数量积的运算律、已知模求数量积、求投影向量 【分析】若，由题设及向量数量积的几何意义可得，再由，利用数量积的运算律求即可. 【详解】如下图，若，则在方向上的投影向量为， 又向量在向量方向上的投影向量为，则，即，    所以，又， 所以. 故选：B 6. 已知非零向量满足，（）的最小值为2，则的夹角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的计算、向量的线性运算的几何应用、向量减法的法则 【分析】设，分析可知点在直线上，当且仅当与直线垂直时，取到最小值，即可得结果. 【详解】因为向量都为非零向量，设， 可知与共线，即点在直线上， 又因为， 当且仅当与直线垂直时，取到最小值， 可得，且，所以或. 故选：C 7. 定义平面向量在上的投影为．若平面向量，满足，则在上的投影的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、用定义求向量的数量积、向量减法法则的几何应用 【分析】利用数量积的运算律结合已知等式求出，再利用向量的三角不等式求出的取值范围，然后利用给定定义求出范围. 【详解】由，得， 又，即， 因此在上的投影， 所以在上的投影的取值范围是. 故选：D 8. （多选）在中，的平分线交边于点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】向量加法的法则、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】根据平行线的性质、三角形内角平分线的性质，结合平面向量数量积的定义和运算性质逐一判断即可. 【详解】如图所示，过点作交于点，作交于点，则，而，∴，，∴，故A正确，B错误； 对于C，∵是的平分线，，而，∴， ∴，故C正确； 对于D，∵， ∴，故D正确． 故选：ACD 9. 在中，，，，若，则边中线的最小值为______. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、基本不等式求和的最小值 【分析】结合数量积的运算律以及基本不等式即可求解. 【详解】由条件可得， 则= ， 则，当且仅当时取等号，即的最小值. 故答案为：. 10. 已知向量与的夹角为，且，，. (1)当时，求； (2)求的最小值. 【答案】(1)2 (2) 【难度】0.65 【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】（1）根据得到，代入计算即可得到答案； （2）求得，即可求出答案. 【详解】（1）当时，， 即， 因为，， 所以， 解得. （2）， 所以当时，有最小值2， 故的最小值为. 11. 已知平面向量，满足，，且. (1)求. (2)当实数为何值时，. 【答案】(1) (2) 【难度】0.94 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、利用向量垂直求参数 【分析】（1）利用展开化简即可求出答案； （2）由，得到，展开化简即可得到答案. 【详解】（1）由，，且 ∵ ， ∴. （2）∵， ∴， 即①， ∵，，， ∴； 将，，代入①式化简得： ， . ∴当实数时，有. 12. 已知，，与的夹角为. (1)若与共线，求实数的值； (2)求的值； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、数量积的运算律、已知数量积求模、向量夹角的计算 【分析】（1）利用向量共线定理得到方程组，解出即可； （2）根据向量数量积的运算律和定义计算即可； （3）根据向量夹角为锐角，则向量数量积大于0，并去掉共线同方向的情况即可. 【详解】（1）因为与共线， 所以存在实数使得， 所以，解得，所以； （2）因为，，与的夹角为， 所以， 所以， 则； （3）向量与的夹角是锐角， 可得，且与不同向共线， 即为， 即有，解得， 由与共线，可得， 解得，当时，两者同向共线， 则实数的取值范围为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $