6.2.4 向量的数量积讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

§6.2.4 向量的数量积 目录 题型1：平面向量数量积的运算 4 题型2：平面向量的投影向量 7 题型3：向量的模的有关问题 9 题型4：两个非零向量的夹角 15 题型5：平面向量的垂直问题 21 题型6：平面向量数量积的最值 25 1. 向量的夹角 已知两个非零向量与，是平面上的任意一点，作，，则 叫做与的夹角,记作； 特别地，当时，与同向；当时，与反向；当时，与垂直，记作。 2. 平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=。 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即。 3. 向量在向量上的投影 (1) 设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量,记为。 (2) 叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它是负值；当时，它是；当时，它是；当时，它是。 提醒 (1)在方向上的投影可以写为; (2)向量在向量上的投影向量为。 4. 数量积的几何意义 的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影的乘积，也等于的长度与在方向上投影的乘积。 5. 数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角为，是与方向相同的单位向量，则 (1) 。 (2) 。 (3) 当与同向时，；当与反向时，．特别地，或。 (4) 。 (5) 当且仅当向量共线，即∥时，等号成立.。 6. 数量积的运算律 对于向量和实数，有 交换律： ； 结合律：（为实数）； 分配律：. 提醒 向量的数量积运算不满足结合律，即，也不满足消去律.即. 7. 向量数量积的常用公式 1　 2　 3　 题型1：平面向量数量积的运算 方法提炼 求两个向量的数量积的方法 【例1.1.】 (多选)关于平面向量，，，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 【答案】CD 【难度】0.94 【知识点】数量积的运算律、平面向量数量积的定义及辨析、平行向量（共线向量） 【分析】利用数量积的运算律判断AB；利用数量积推理判断C；由共线向量的意义判断D. 【详解】对于A，由向量的运算法则，得A正确； 对于B，向量数量积满足分配律，B正确； 对于C，由，得，当时，满足题设，C错误； 对于D，是与共线的向量，是与共线的向量，而与无任何关系，D错误. 故选：CD 【例1.2.】 已知向量满足，则__________. 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】已知模求数量积 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求解. 【详解】由，得，而， 则，解得. 故答案为：1 【例1.3.】 已知平面向量，满足，与的夹角为120°，若，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】本题根据平面向量的数量积基本公式结合题干已知条件进行代入即可推导出的值，得到正确选项. 【详解】由题意，可得，即，∴，解得. 故选：B. 【例1.4.】 在中，，，，则（    ） A．3 B． C．－3 D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】直接利用向量数量积的定义计算即可. 【详解】因为在中，，，， 所以，. 故选：D. 【例1.5.】 已知，为平面内不相等的两个单位向量，，且，则______． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】已知模求数量积 【分析】根据已知条件判断出，的夹角，进而计算出. 【详解】依题意，， 由于，所以，同理可得， 由于，不相等，所以，的夹角为， 所以. 故答案为： 【例1.6.】 设四边形为矩形，，，若点，满足，，则（    ） A．28 B．32 C．36 D．40 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】向量的线性运算的几何应用、数量积的运算律 【分析】根据矩形的几何性质，结合平面向量的线性运算，可得答案. 【详解】 由，则；由，则， 在矩形中，由，则， . 故选：A. 题型2：平面向量的投影向量 方法提炼 向量在向量上的投影为，投影向量为. 【例2.1.】 已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、求投影向量 【分析】先求，根据投影向量的定义得，代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以在方向上的投影向量是， 故选：C. 【例2.2.】 已知中，为的中点，且，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求投影向量 【分析】由向量线性运算可得，知，根据投影向量为，结合长度和角度关系可求得结果. 【详解】，，， 又，，，，为等边三角形，； 在上的投影向量为. 故选：C. 【例2.3.】 已知平面向量，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求投影向量 【分析】利用投影向量的定义计算可得答案. 【详解】因为向量， 所以向量在上的投影向量为. 故选：D. 【例2.4.】 已知向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求投影向量 【分析】由得到，根据投影向量的公式即可得出结果. 【详解】， ， ， 在上的投影向量为. 故选：C. 【例2.5.】 在中，点E是BC的中点，点D满足，且，若记向量在向量上的投影向量为，则的最小值为__________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求投影向量、基本不等式求和的最小值 【分析】先通过题意将用表示出来，然后代入投影向量的定义式中求模长，通过化简发现可以化简为关于的不等式，最后用基本不等式进行求解. 【详解】由题意可得 ， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故答案为：. 题型3：向量的模的有关问题 方法提炼 (1) 公式法求平面向量的模 ①或； ② (2) 有关模的不等式：. 【例3.1.】 已知平面向量，是两个单位向量，且，的夹角为，则（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】先利用数量积的定义计算，再利用公式计算即可. 【详解】由题意可得， 则. 故选：A 【例3.2.】 已知向量，满足，，且，则（    ）． A． B．2 C． D．6 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】先根据数量积的运算律求出，再根据结合数量积的运算律即可得解. 【详解】由， 得，所以， 所以. 故选：C. 【例3.3.】 （多选）已知三个平面向量两两的夹角相等，且，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】已知数量积求模 【分析】因为平面向量两两夹角相等，即两两夹角为或，当两两夹角为时，转化为数量积计算即可. 【详解】因为平面向量两两夹角相等，即两两夹角为或． 当两两夹角为时，； 当两两夹角为时， ， 则． 综上，或， 故选：BD． 【例3.4.】 在中，，，，点在边上（不含端点），延长到，若．且，则线段的长度是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知模求参数 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求出的值，分析可知为的中点，即可求出的长. 【详解】在中，，，，则， 因为， 则 ， 整理可得，解得或， 当时，则，此时点为的中点， 由题意可知点为线段与的交点，即点与点重合，不符合题意， 当时，，由题意可知，四边形为矩形， 因为为线段与的交点，则为的中点， 故， 故选：B. 【例3.5.】 已知向量，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】向量的模、向量减法法则的几何应用 【分析】根据向量差的模的性质求解. 【详解】由， 可得． 故选：C 【例3.6.】 已知，，则的最大值为______，最小值为______. 【答案】 6 2 【难度】0.65 【知识点】已知数量积求模、数量积的运算律 【分析】设的夹角为，对平方再开方，根据可得答案. 【详解】设的夹角为，则， 因为，，所以 ， 因为，所以， 所以， 即， 所以的最大值为6，最小值为2. 故答案为：①6；②2. 【例3.7.】 已知平面向量，，，且，已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】向量减法法则的几何应用、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】对任意实数恒成立，两边平方转化为二次函数的恒成立问题，根据判别式关系，算出，最后用绝对值的三角不等式求的最小值即可 【详解】根据题意，， ，两边平方， 整理得到， 对任意实数，不等式恒成立， 则，解得，则. 易知 ， 则的最小值为． 当且仅当与方向相反时取等号. 故选：B． 【例3.8.】 已知在中，，分别为边，上的点，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】向量加法的法则、向量减法的运算律、数量积的运算律、基本不等式求和的最小值 【分析】设，，设，，得到，且，结合，得到，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设，，则，， 设，，其中，， 则，， 因为， 所以， 即， 因为，，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 故选：A. 题型4：两个非零向量的夹角 方法提炼 （1） 若，为非零向量，则. （2） 有关向量夹角的两个结论 ①若与的夹角为锐角，则>0；若>0，则与的夹角为锐角或0. ②若与的夹角为钝角，则<0；若<0，则与的夹角为钝角或π. 【例4.1.】 若向量，满足，，且，则向量与夹角的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】向量夹角的计算 【分析】根据向量的夹角公式进行计算即可. 【详解】设向量与的夹角是，则， 又因为，所以. 故选：A. 【例4.2.】 已知，与的夹角为，若向量与的夹角为钝角，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】由题意当且仅当且与不反向才满足题意，由此解不等式组即可求解. 【详解】已知，与的夹角为，则， 由题意， ，又时，与反向， ，且 故选：C. 【例4.3.】 已知，且与的夹角为 (1)求与夹角的余弦值； (2)若向量与的夹角是锐角，求实数k的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律、用定义求向量的数量积 【分析】（1）先求出再由向量的夹角公式求解即可； （2）由题意得，且向量与不共线，从而可求出实数k的取值范围. 【详解】（1）设与的夹角为θ， 因为，且与的夹角为 所以，， 所以 ； （2）因为向量与的夹角是锐角， 所以，且向量与不共线， 由，得， 所以，即， 解得或， 当与共线时，设， 因为与不共线，所以，解得或， 当时，当时，， 综上， 【例4.4.】 若向量满足，若为，则间的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】先根据向量模长公式对进行平方，再结合向量数量积公式求出夹角的余弦值，最后根据夹角的范围确定夹角的大小. 【详解】已知，两边同时平方可得. 可得.所以. 已知，则；已知，则. 将，代入，可得. 对进行化简计算得到： 根据向量数量积公式，可得. 因为，所以. 故选：C. 【例4.5.】 单位向量满足，则和的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】利用已知等式两边平方可得求得，进而可求的夹角. 【详解】由两边平方可得， 所以，所以，解得， 所以，所以的夹角为60°． 故选：B． 【例4.6.】 设，为夹角是锐角的单位向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】向量夹角的计算、向量减法法则的几何应用 【分析】利用数形结合的方法确定向量的位置关系. 【详解】如图： 设，，四边形为平行四边形，则，. 因为，为夹角是锐角的单位向量，所以为菱形，故， 所以，即与的夹角为. 故选：D 【例4.7.】 在中，点O满足，且，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据向量关系判断三角形的心、向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】根据外心的性质，得到，，再根据和，再结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】设的三边分别为， ，， 因为，所以点是外接圆的圆心， 所以，， 所以，即， ，即， 所以，即， . 故选：A 【例4.8.】 已知单位向量，，若对任意的，恒成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】利用模的平方就是向量的平方，再借助向量数量积的运算，从而转化为一元二次不等式恒成立，则利用判别式就可以求解. 【详解】因为单位向量，，所以由平方得： ， 又因为对任意的，上式关于的一元二次不等式恒成立， 则满足， 此时只能满足，即， 因为，所以， 故选：B. 【例4.9.】 如图，在中，，边上的两条中线，相交于点，且，，． (1)求的大小； (2)求的余弦值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】（1）由，边上的两条中线相交于点,可得，得到； （2）表示出，求解，，即可求解的余弦值. 【详解】（1）为的中点， ， ． ，，， ， ． 又，． （2）为的中点， ， ， ， ， 又与向量，的夹角相等， 故的余弦值为． 题型5：平面向量的垂直问题 方法提炼 两个非零向量垂直的充要条件:. 【例5.1.】 已知向量，，，，与的夹角为120°，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、垂直关系的向量表示 【分析】先利用数量积的定义求出,再根据垂直关系的向量表示列式解方程即可. 【详解】因为，，与的夹角为，所以. 由， 得， 解得. 故选:C. 【例5.2.】 （多选）设非零向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】根据得到，即可判断AB选项；根据数量积的运算律得到，即可判断CD选项. 【详解】因为，所以， 即，所以，A错误，B正确. 因为，所以，所以，C正确，D错误. 故选：BC. 【例5.3.】 (多选)设是两个非零向量．则下列命题为假命题的是（　　 ） A．若，则 B．若，则 C．若，则存在实数λ，使得 D．若存在非零实数λ，使得，则 【答案】ABD 【难度】0.85 【知识点】向量的线性运算的几何应用、用定义求向量的数量积、垂直关系的向量表示 【分析】综合运用平面向量数量积的定义和性质，及向量共线的充要条件逐项判断即可. 【详解】对于A，若， 则， 得，所以与不垂直，故A为假命题； 对于B，若，则，但， 所以， 即，所以B为假命题； 对于C，若， 则， 得，所以，即与反向， 因此存在实数λ，使得，故C为真命题. 对于D，由C分析知仅当，即与反向共线时， 成立，当非零实数λ不为负数，结论不成立，所以D为假命题； 故选：ABD. 【例5.4.】 已知是两个单位向量，若，则向量夹角的余弦值为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】根据垂直条件及数量积运算律，再由夹角公式即可求解. 【详解】由，得，则． 故答案为： 【例5.5.】 已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求投影向量、垂直关系的向量表示 【详解】由，，可得， ．而向量在向量上的投影向量为， 因， 故在上的投影向量为． 【例5.6.】 已知向量满足，且，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】根据向量模的计算公式及向量垂直的条件可得结果. 【详解】因为，所以， 两式相减得，即． 又，所以，联立，解得,即． 故选：C． 题型6：平面向量数量积的最值 【例6.1.】 若向量，满足，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知模求数量积 【分析】利用向量数量积的定义及运算律求解即得. 【详解】由与的夹角为锐角，得，而，， 因此， 所以的取值范围是. 故答案为： 【例6.2.】 在菱形ABCD中，，，，，已知点M在线段EF上，且，则_______，若点N为线段BD上一个动点，则的最小值为_______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用基底表示向量、用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】设，进一步将其表示成以，为基底的向量，结合已知条件，可得关于和的方程组，解之，再根据模长的计算方法，得的值；设，，根据平面向量的运算法则，推出，然后由配方法，得解． 【详解】因为，，所以，， 所以，， 因为点在线段上， 可设， 而，所以，解得，， 因为点为线段上一个动点， 可设，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：，． 【例6.3.】 在中，，点是边上的一点（包括端点），点是的中点，则的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用定义求向量的数量积、向量与几何最值 【分析】作出图形，利用解三角形的相关知识及数量积的定义来求平面向量数量积的取值范围. 【详解】依题意，过点作交的延长线于点， 因为，，所以，，， 所以，又因为点是的中点，所以是的中位线， 则，，所以， 因为点是边上的一点（包括端点）， 过点作于， 则， 结合图形可知：当点在点位置时，最小，最小为0， 此时； 当点在点位置时，最大，最大值与相等， 此时； 综上，的取值范围是. 故答案为：. 【例6.4.】 在边长为的正六边形中，点为其内部或边界上一点，则的取值范围是___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】平面向量数量积的几何意义 【分析】利用数量积的几何意义去求的取值范围即可解决. 【详解】正六边形中，过点作于，    则，，， ， 由图可知，在方向上的投影的取值范围是， 所以，， 即，故的取值范围为. 故答案为：. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §6.2.4 向量的数量积 目录 题型1：平面向量数量积的运算 4 题型2：平面向量的投影向量 5 题型3：向量的模的有关问题 5 题型4：两个非零向量的夹角 6 题型5：平面向量的垂直问题 8 题型6：平面向量数量积的最值 9 1. 向量的夹角 已知两个非零向量与，是平面上的任意一点，作，，则 叫做与的夹角,记作； 特别地，当时，与同向；当时，与反向；当时，与垂直，记作。 2. 平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=。 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即。 3. 向量在向量上的投影 (1) 设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量,记为。 (2) 叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正值；当为钝角时，它是负值；当时，它是；当时，它是；当时，它是。 提醒 (1)在方向上的投影可以写为; (2)向量在向量上的投影向量为。 4. 数量积的几何意义 的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影的乘积，也等于的长度与在方向上投影的乘积。 5. 数量积的性质 设，是非零向量，它们的夹角为，是与方向相同的单位向量，则 (1) 。 (2) 。 (3) 当与同向时，；当与反向时，．特别地，或。 (4) 。 (5) 当且仅当向量共线，即∥时，等号成立.。 6. 数量积的运算律 对于向量和实数，有 交换律： ； 结合律：（为实数）； 分配律：. 提醒 向量的数量积运算不满足结合律，即，也不满足消去律.即. 7. 向量数量积的常用公式 1　 2　 3　 题型1：平面向量数量积的运算 方法提炼 求两个向量的数量积的方法 【例1.1.】 (多选)关于平面向量，，，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若，且，则 D． 【例1.2.】 已知向量满足，则__________. 【例1.3.】 已知平面向量，满足，与的夹角为120°，若，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【例1.4.】 在中，，，，则（    ） A．3 B． C．－3 D． 【例1.5.】 已知，为平面内不相等的两个单位向量，，且，则______． 【例1.6.】 设四边形为矩形，，，若点，满足，，则（    ） A．28 B．32 C．36 D．40 题型2：平面向量的投影向量 方法提炼 向量在向量上的投影为，投影向量为. 【例2.1.】 已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【例2.2.】 已知中，为的中点，且，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知平面向量，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 已知向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【例2.5.】 在中，点E是BC的中点，点D满足，且，若记向量在向量上的投影向量为，则的最小值为__________． 题型3：向量的模的有关问题 方法提炼 (1) 公式法求平面向量的模 ①或； ② (2) 有关模的不等式：. 【例3.1.】 已知平面向量，是两个单位向量，且，的夹角为，则（   ） A．1 B． C． D．3 【例3.2.】 已知向量，满足，，且，则（    ）． A． B．2 C． D．6 【例3.3.】 （多选）已知三个平面向量两两的夹角相等，且，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【例3.4.】 在中，，，，点在边上（不含端点），延长到，若．且，则线段的长度是（ ） A． B． C． D． 【例3.5.】 已知向量，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例3.6.】 已知，，则的最大值为______，最小值为______. 【例3.7.】 已知平面向量，，，且，已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例3.8.】 已知在中，，分别为边，上的点，，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型4：两个非零向量的夹角 方法提炼 （1） 若，为非零向量，则. （2） 有关向量夹角的两个结论 ①若与的夹角为锐角，则>0；若>0，则与的夹角为锐角或0. ②若与的夹角为钝角，则<0；若<0，则与的夹角为钝角或π. 【例4.1.】 若向量，满足，，且，则向量与夹角的大小是（   ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知，与的夹角为，若向量与的夹角为钝角，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知，且与的夹角为 (1)求与夹角的余弦值； (2)若向量与的夹角是锐角，求实数k的取值范围. 【例4.4.】 若向量满足，若为，则间的夹角为（    ） A． B． C． D． 【例4.5.】 单位向量满足，则和的夹角为（    ） A． B． C． D． 【例4.6.】 设，为夹角是锐角的单位向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【例4.7.】 在中，点O满足，且，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【例4.8.】 已知单位向量，，若对任意的，恒成立，则（   ） A． B． C． D． 【例4.9.】 如图，在中，，边上的两条中线，相交于点，且，，． (1)求的大小； (2)求的余弦值． 题型5：平面向量的垂直问题 方法提炼 两个非零向量垂直的充要条件:. 【例5.1.】 已知向量，，，，与的夹角为120°，若，则（    ） A． B． C． D． 【例5.2.】 （多选）设非零向量，满足，，则（    ） A． B． C． D． 【例5.3.】 (多选)设是两个非零向量．则下列命题为假命题的是（　　 ） A．若，则 B．若，则 C．若，则存在实数λ，使得 D．若存在非零实数λ，使得，则 【例5.4.】 已知是两个单位向量，若，则向量夹角的余弦值为______． 【例5.5.】 已知，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【例5.6.】 已知向量满足，且，则（   ） A． B． C． D．2 题型6：平面向量数量积的最值 【例6.1.】 若向量，满足，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是________． 【例6.2.】 在菱形ABCD中，，，，，已知点M在线段EF上，且，则_______，若点N为线段BD上一个动点，则的最小值为_______. 【例6.3.】 在中，，点是边上的一点（包括端点），点是的中点，则的取值范围是__________. 【例6.4.】 在边长为的正六边形中，点为其内部或边界上一点，则的取值范围是___________． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $