1.2等腰三角形题型突破（八大题型）2025-2026学年北师大版八年级下册

1.2等腰三角形题型突破2025-2026学年北师大版 八年级下册（八大题型） 题型一：利用等腰三角形的性质求角度 1．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 2．如图，在中，点D在上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3.如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．等腰三角形的顶角的度数为，则它的底角的度数为 ． 5.如图，在中，，D为中点，，则的度数为 ． 题型二：利用等腰三角形的性质求线段长度 1．等腰三角形的底边长为16，则腰长的取值可以为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2.一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．8或6 3．若等腰三角形两边长为，，则周长可以是 cm． 4．已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF＝2，EC＝7，求BF的长度． 题型三：等腰三角形中的多结论问题 1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点(不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②DE＝BD+CE； ③△ADE的周长等于AB与AC的和； ④BF＝CF． 其中正确的有(　　) A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F分别在BA、BC的延长线上，∠EAC、∠ABC、∠ACF的平分线相交于点D．对于以下结论：①AD∥BC；②AD＝AC；③∠ADC＝∠ACB；④∠ADB与∠ADC互余．其中正确结论的个数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 4.已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是(　　) A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 题型四：利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的个数 1．已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）    A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 2．如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）个． A．5 B．6 C．8 D．9 4．如图所示，点E、F为网格中的格点，△DEF为等腰三角形，且点D是网格中的格点，则符合条件的三角形点D有（　　） A．4个 B．6个 C．9个 D．10个 5.在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是（　　） A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 题型五：等腰三角形的证明 1. 如图，在△ABC 中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点 E． （1）求证：DE=CE． （2）若∠CDE=35°，求∠A 的度数． 2.如图，平分，，，垂足分别为，．求证：． 3.如图，已知，在中，，D是上一点，且，E为上的一点，交于F，． (1)求证：； (2)求证：． 4.如图，中，，点为的中点，过点分别作于于． (1)求证：； (2)求证：． 5.如图，在中，平分，于，于，且，． (1)求证：； (2)求证：． 题型六：等腰三角形中的新定义问题 1.定义：在一个三角形中，如果一个内角度数是另一内角度数，我们称这样的三角形为“半角三角形”．若等腰△ABC为“半角三角形”，则△ABC的顶角度数为 　 　． 2.定义：过△ABC的一个顶点作一条直线m，若直线m能将△ABC恰好分成两个等腰三角形，则称△ABC为“奇妙三角形”．如图，下列标有度数的四个三角形中，不是“奇妙三角形”的是(　　) A． B． C．D． 3.定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值k(k＞1)称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC中，∠A＝36°，则它的优美比k为(　　) A． B．2 C． D．3 4.定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，△ABC中，∠A＝36°，∠B为钝角，则使得△ABC是特异三角形所有可能的∠B的度数为 　 　． 题型七：等腰三角形中的规律问题 1.等腰三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A(﹣6，0)，B在原点，CA＝CB＝5，把等腰三角形ABC沿x轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②，…，依此规律，第23次翻转后点C的横坐标是　 　． 2.在如图①所示的钢架∠MAN中，需要焊上等长的钢条来加固钢架．若自左至右摆放，只能摆放7根，且AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P7P8．为了进一步加固该钢架，自点P8开始自右向左再焊上等长的钢条，如图②，且P8P9＝P9P10＝…＝P13P14＝AP14，则∠A的度数是(　　) A．不存在的 B．10° C．12° D．15° 3.如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即CA＝CB．若n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上如图2所示，其张角度数变化如下：∠A1C1A2＝160°，∠A2C2A3＝80°，∠A3C3A4＝40°，∠A4C4A5＝20°，…．，根据上述规律请你写出∠An+1AnCn＝　 　°．(用含n的代数式表示) 4.如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取点A1、B1，使OA1＝OB1，连接A1B1，在A1B1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2，…，按此规律下去，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠An+1BnBn+1＝θn，则θn＝　．(用含α的式子表示) 题型八：等腰三角形中的动点问题 1.如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t(s)． (1)当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？ (2)当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由． 2.如图，△ABC中AB＝AC，BC＝6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D． (1)如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长； (2)如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【答案】 1.2等腰三角形题型突破2025-2026学年北师大版 八年级下册（八大题型） 题型一：利用等腰三角形的性质求角度 1．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】B 2．如图，在中，点D在上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 3.如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 4．等腰三角形的顶角的度数为，则它的底角的度数为 ． 【答案】/50度 5.如图，在中，，D为中点，，则的度数为 ． 【答案】 题型二：利用等腰三角形的性质求线段长度 1．等腰三角形的底边长为16，则腰长的取值可以为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 2.一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．8或6 【答案】A 3．若等腰三角形两边长为，，则周长可以是 cm． 【答案】 4．已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长是 ． 【答案】17 5.如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F，若AF＝2，EC＝7，求BF的长度． 【答案】解：在△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵EP⊥BC， ∴∠C+∠E＝90°，∠B+∠BFP＝90°， ∴∠E＝∠BFP， 又∵∠BFP＝∠AFE， ∴∠E＝∠AFE， ∴AE＝AF＝2， ∴△AEF是等腰三角形． 又∵CE＝7， ∴AB＝AC＝CE﹣AE＝7﹣2＝5， ∴BF＝AB﹣AF＝5﹣2＝3． 题型三：等腰三角形中的多结论问题 1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，D为线段BC上一动点(不与点B，C重合)，连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E，以下四个结论：①∠CDE＝∠BAD；②当D为BC中点时，DE⊥AC；③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD＝20°；④当∠BAD＝30°时，BD＝CE．其中正确的结论的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C． 2.如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论： ①△BDF和△CEF都是等腰三角形； ②DE＝BD+CE； ③△ADE的周长等于AB与AC的和； ④BF＝CF． 其中正确的有(　　) A．①②③ B．①②③④ C．①② D．① 【答案】A． 3.如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F分别在BA、BC的延长线上，∠EAC、∠ABC、∠ACF的平分线相交于点D．对于以下结论：①AD∥BC；②AD＝AC；③∠ADC＝∠ACB；④∠ADB与∠ADC互余．其中正确结论的个数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B． 4.已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是(　　) A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②③④ 【答案】A． 题型四：利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的个数 1．已知：如图中，，，在直线BA上找一点D，使或为等腰三角形，则符合条件的点D的个数有（　　）    A．7个 B．6个 C．5个 D．4个 【答案】B 2．如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 3．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）个． A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】C 4．如图所示，点E、F为网格中的格点，△DEF为等腰三角形，且点D是网格中的格点，则符合条件的三角形点D有（　　） A．4个 B．6个 C．9个 D．10个 【答案】C 5.在如图所示的方格图中，点，，，，，，，均在小方格的格点上，以其中三个点为顶点，构成的等腰三角形的个数是（　　） A．12个 B．16个 C．20个 D．24个 【答案】C 题型五：等腰三角形的证明 1. 如图，在△ABC 中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点 E． （1）求证：DE=CE． （2）若∠CDE=35°，求∠A 的度数． 【答案】 （1）∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ECD． ∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=CE． （2）∵∠ECD=∠EDC=35°，∴∠ACB=2∠ECD=70°． ∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°． 2.如图，平分，，，垂足分别为，．求证：． 【答案】证明：∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 3.如图，已知，在中，，D是上一点，且，E为上的一点，交于F，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】（1）证明：，， ， ． 又是上一点， ． 在与中 ， ； （2）证明：， ． 又中， ， ， ； 4.如图，中，，点为的中点，过点分别作于于． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】（1）证明：， ， 为中点， ， 又， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：由（1）得：， ， 又， ， ． 5.如图，在中，平分，于，于，且，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 题型六：等腰三角形中的新定义问题 1.定义：在一个三角形中，如果一个内角度数是另一内角度数，我们称这样的三角形为“半角三角形”．若等腰△ABC为“半角三角形”，则△ABC的顶角度数为 　 　． 【答案】36°或90°． 2.定义：过△ABC的一个顶点作一条直线m，若直线m能将△ABC恰好分成两个等腰三角形，则称△ABC为“奇妙三角形”．如图，下列标有度数的四个三角形中，不是“奇妙三角形”的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C． 3.定义：等腰三角形的一个底角与其顶角的度数的比值k(k＞1)称为这个等腰三角形的“优美比”．若在等腰三角形ABC中，∠A＝36°，则它的优美比k为(　　) A． B．2 C． D．3 【答案】B． 4.定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，△ABC中，∠A＝36°，∠B为钝角，则使得△ABC是特异三角形所有可能的∠B的度数为 　 　． 【答案】108°或126°或132°． 题型七：等腰三角形中的规律问题 1.等腰三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A(﹣6，0)，B在原点，CA＝CB＝5，把等腰三角形ABC沿x轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②，…，依此规律，第23次翻转后点C的横坐标是　 　． 【答案】117． 2.在如图①所示的钢架∠MAN中，需要焊上等长的钢条来加固钢架．若自左至右摆放，只能摆放7根，且AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P7P8．为了进一步加固该钢架，自点P8开始自右向左再焊上等长的钢条，如图②，且P8P9＝P9P10＝…＝P13P14＝AP14，则∠A的度数是(　　) A．不存在的 B．10° C．12° D．15° 【答案】C 3.如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即CA＝CB．若n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上如图2所示，其张角度数变化如下：∠A1C1A2＝160°，∠A2C2A3＝80°，∠A3C3A4＝40°，∠A4C4A5＝20°，…．，根据上述规律请你写出∠An+1AnCn＝　 　°．(用含n的代数式表示) 【答案】(90)． 4.如图，已知∠AOB＝α，在射线OA、OB上分别取点A1、B1，使OA1＝OB1，连接A1B1，在A1B1、B1B上分别取点A2、B2，使B1B2＝B1A2，连接A2B2，…，按此规律下去，记∠A2B1B2＝θ1，∠A3B2B3＝θ2，…，∠An+1BnBn+1＝θn，则θn＝　．(用含α的式子表示) 【答案】． 题型八：等腰三角形中的动点问题 1.如图，在等边△ABC中，AB＝12cm，现有M，N两点分别从点A，B同时出发，沿△ABC的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M，N同时停止运动，设运动时间为t(s)． (1)当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？ (2)当点M，N在BC边上运动时，是否存在使AM＝AN的位置？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】解：(1)由题意，t×1+12＝2t， 解得：t＝12， ∴当t＝12时，M，N两点重合， 此时两点在点C处重合； (2)结论：当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形． 理由：由(1)知12秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图，假设△AMN是等腰三角形， ∴AN＝AM， ∴∠AMN＝∠ANM， ∴∠AMC＝∠ANB， ∵△ACB是等边三角形， ∴∠C＝∠B， 在△ACM和△ABN中， ， ∴△ACM≌△ABN(AAS)， ∴CM＝BN， 设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形， ∴CM＝y﹣12，NB＝36﹣2y， ∵CM＝NB， ∴y﹣12＝36﹣2y， 解得：y＝16．故假设成立． ∴当点M、N在BC边上运动时，当运动时间为12秒或16秒时，AM＝AN． 2.如图，△ABC中AB＝AC，BC＝6，点P从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D． (1)如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长； (2)如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【答案】解：(1)如图，过P点作PF∥AC交BC于F， ∵点P和点Q同时出发，且速度相同， ∴BP＝CQ， ∵PF∥AQ， ∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD， 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠PFB， ∴BP＝PF， ∴PF＝CQ，又∠PDF＝∠QDC， ∴证得△PFD≌△QCD， ∴DF＝CDCF， 又因P是AB的中点，PF∥AQ， ∴F是BC的中点，即FCBC＝3， ∴CDCF； (2)分两种情况讨论，得ED为定值，是不变的线段， 如图，如果点P在线段AB上， 过点P作PF∥AC交BC于F， ∵△PBF为等腰三角形， ∴PB＝PF， BE＝EF， ∴PF＝CQ， ∴FD＝DC， ∴ED＝EF+FD＝BE+DCBC＝3， ∴ED为定值， 同理，如图，若P在BA的延长线上， 作PM∥AC的延长线于M， ∴∠PMC＝∠ACB， 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠PMC， ∴PM＝PB，根据三线合一得BE＝EM， 同理可得△PMD≌△QCD， 所以CD＝DM， ∵BE＝EM，CD＝DM， ∴ED＝EM﹣DMDMDM＝3+DM﹣DM＝3， 综上所述，线段ED的长度保持不变． 学科网（北京）股份有限公司 $