1.1三角形内角和定理题型突破 （十大题型） 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.1三角形内角和定理题型突破2025-2026学年 北师大版八年级下册（十大题型） 题型一：利用三角形内外角和求角 1．在△ABC中，∠A﹣∠B＝35°，∠C＝55°，则∠B等于（　　） A．50° B．55° C．45° D．40° 2．在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是（　　） A．145° B．125° C．65° D．55° 3．已知：如图所示，则∠A等于（　　） A．60° B．70° C．50° D．80° 4.如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为（　　） A．80° B．82° C．84° D．86° 5．如图所示．∠A＝10°，∠ABC＝90°，∠ACB＝∠DCE，∠ADC＝∠EDF，∠CED＝∠FEG．则∠F的度数等于（　　） A．60° B．55° C．50° D．45° 题型二：三角形内角和判断三角形的形状 1.在△ABC中，已知∠A＝65°，∠B＝25°，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则此三角形为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 3．△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度数之比是1：2：3，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 4.如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．钝角或直角三角形 5．在△ABC中，∠A+∠B＝141°，∠C+∠B＝165°，则△ABC的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不存在这样的三角形 题型三：三角形一个顶点上的角平分线与高线的夹角 1.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，则∠B＝（　　） A．45° B．60° C．50° D．55° 2．如图，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A＝25°，∠B＝65°，则∠DCE度数为（　　） A．20° B．30° C．18° D．15° 3.在中，分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，下列结论： ①； ②； ③， ④； 其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4.如下图，是的角平分线，于点，点为的中点，若，，则有下列结论： ； ； ； .其中正确的是 . 5.如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°． （1）求∠DAE的度数； （2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数． 题型四：三角形内角和与平行线的综合 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，DF∥EB．若∠D＝70°，则∠ACD的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 2．如图，直线a∥b，Rt△ABC如图放置，若∠1＝28°，∠2＝80°，则∠B的度数为（　　） A．62° B．52° C．38° D．28° 3．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝∠D． （1）求证：DF∥BC； （2）当∠A＝40°，∠DFE＝36°时，求∠2的度数． 题型五：三角形两条内角平分线的夹角 1.如图，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠BOC＝120°，则∠A＝（　　） A．60° B．120° C．110° D．40° 2．如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，∠1＝15°，∠2＝40°，则∠BOC等于（　　） A．95° B．120° C．135° D．无法确定 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BD、CE相交于点O，则∠BOC的度数是 　 　． 4．如图，、是的角平分线，与交于点，， （用含的代数式表示）. 5．如图，平行线AB，CD被直线AC所截，分别作∠BAC和∠ACD的角平分线，交点记为P1；分别作∠BAP1和∠P1CD的角平分线，交点记为P2；分别作∠BAP2和∠P2CD的角平分线，交点记为P3，按此规律继续操作，则∠AP5C的度数为 　　 ． 题型六：三角形两条外角平分线的夹角 1.如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点O，若∠A＝80°，则∠O等于（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 2.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，CP平分△ABC的外角∠ACM，连接AP，若∠BPC＝40°，则∠NAP的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 3.如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、∠FCB，则∠D和∠G的数量关系为（　　） A． B．∠D+∠G＝180° C． D． 4．如图，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，则∠E的度数为 ．    5．如图，，的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推，则的度数是 （用含与的代数式表示）． 题型七：三角形内角与外角角平分线构成的夹角 1．如图，∠ABC的外角平分线AD，CD交于点D．若∠B＝50°，则∠ADC的度数是（　　） A．50° B．40° C．115° D．65° 2.如图，已知C，A，G三点共线，C，B，H三点共线，2∠CAD＝∠BAD，2∠CBD＝∠ABD，∠GAE＝2∠BAE，∠EBH＝2∠EBA，则∠D和∠E的关系满足（　　） A．2∠E+∠D＝320° B．2∠E+∠D＝340° C．2∠E+∠D＝300° D．2∠E+∠D＝360° 3.如图所示，∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，已知∠A＝50°，∠P＝　 　． 4.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠DOC＝48°，则∠D＝　 °． 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，I是∠ABC，∠ACB平分线的交点． （1）∠BIC＝　 　°； （2）若D是两条外角平分线的交点，则∠BDC＝　 　°； （3）在（2）的条件下，若E是内角∠ABC和外角∠ACG的平分线的交点，试探索∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由． 题型八：折叠问题 1.如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2.如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点 D、E分别在边上，将沿着折叠压平使A与重合， 若， 则的度数为（     ） A． B． C． D． 3.如图，把纸片沿折叠，则（    ） A． B． C． D． 4.如图，在中，，将沿直线翻折，使点B落在处，分别交边于点F、G．若，则 ． 5．如图，把△ABC纸片沿MN折叠，使点C落在四边形ABNM的内部时，则∠1、∠2和 ∠C之间有一种数量关系始终保持不变. 这个关系是 .    题型九：三角形中的角度计算 1．将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为（　　） A．45° B．60° C．15° D．75° 2.如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3.将一副三角板如图所示放置，使得两条直角边在一条直线上，则∠1的度数是（　　） A．55° B．60° C．75° D．80° 4．如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中等于 ． 5．如图，一副三角板叠在一起，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边上，与交于点M，如果，则的度数为 ． 题型十：利用三角形的外角解决实际问题、跨学科问题 1.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．汽车前灯是由灯泡、反光镜和配光镜三部分组成，光源位于焦点处，光线经反射后互相平行射出．如图为其侧面示意图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，平放在桌面上的烧杯中放着液体，当光线从空气射入液体中时，光线的传播方向会发生改变．若图中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．图1是某折叠椅的侧面图，图2是该折叠椅抽象成的几何图形，椅面DE与地面平行，，，则椅子靠背与椅面夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】 1.1三角形内角和定理题型突破2025-2026学年 北师大版八年级下册（十大题型） 题型一：利用三角形内外角和求角 1．在△ABC中，∠A﹣∠B＝35°，∠C＝55°，则∠B等于（　　） A．50° B．55° C．45° D．40° 【答案】C． 2．在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是（　　） A．145° B．125° C．65° D．55° 【答案】D． 3．已知：如图所示，则∠A等于（　　） A．60° B．70° C．50° D．80° 【答案】B． 4.如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝108°，则∠DAC的度数为（　　） A．80° B．82° C．84° D．86° 【答案】C． 5．如图所示．∠A＝10°，∠ABC＝90°，∠ACB＝∠DCE，∠ADC＝∠EDF，∠CED＝∠FEG．则∠F的度数等于（　　） A．60° B．55° C．50° D．45° 【答案】C． 题型二：三角形内角和判断三角形的形状 1.在△ABC中，已知∠A＝65°，∠B＝25°，则这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 2．△ABC中，∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则此三角形为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 3．△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度数之比是1：2：3，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 4.如果三角形的三个内角的度数比是2：3：4，则它是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．钝角或直角三角形 【答案】A。 5．在△ABC中，∠A+∠B＝141°，∠C+∠B＝165°，则△ABC的形状是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不存在这样的三角形 【答案】C． 题型三：三角形一个顶点上的角平分线与高线的夹角 1.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，则∠B＝（　　） A．45° B．60° C．50° D．55° 【答案】C． 2．如图，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠A＝25°，∠B＝65°，则∠DCE度数为（　　） A．20° B．30° C．18° D．15° 【答案】A． 3.在中，分别是高和角平分线，点F在的延长线上，交于点G，交于点H，下列结论： ①； ②； ③， ④； 其中正确的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 4.如下图，是的角平分线，于点，点为的中点，若，，则有下列结论： ； ； ； .其中正确的是 . 【答案】 5.如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°． （1）求∠DAE的度数； （2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其它条件不变，求∠DFE的度数． 【答案】解（1）∵∠B＝40°，∠C＝70°， ∴∠BAC＝70°． ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD＝35°， ∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝75°． ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝15°； （2）同（1），可得∠ADE＝75°． ∵FE⊥BC， ∴∠FEB＝90°， ∴∠DFE＝90°﹣∠ADE＝15° 题型四：三角形内角和与平行线的综合 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，DF∥EB．若∠D＝70°，则∠ACD的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【答案】A． 2．如图，直线a∥b，Rt△ABC如图放置，若∠1＝28°，∠2＝80°，则∠B的度数为（　　） A．62° B．52° C．38° D．28° 【答案】C． 3．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝∠D． （1）求证：DF∥BC； （2）当∠A＝40°，∠DFE＝36°时，求∠2的度数． 【答案】（1）证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠DCB＝∠1， 又∠1＝∠D， ∴∠DCB＝∠D， ∴DF∥BC． （2）∵DF∥BC，∠DFE＝36°， ∴∠B＝∠DFE＝36°， 在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝36°， ∴∠ACB＝180°﹣40°﹣36°＝104°， 又∵CD平分∠ACB， ∴∠1＝∠ACB＝52°， ∴∠2＝180°﹣40°﹣52°＝88°． 题型五：三角形两条内角平分线的夹角 1.如图，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠BOC＝120°，则∠A＝（　　） A．60° B．120° C．110° D．40° 【答案】A． 2．如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，∠1＝15°，∠2＝40°，则∠BOC等于（　　） A．95° B．120° C．135° D．无法确定 【答案】C。 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，BD、CE相交于点O，则∠BOC的度数是 　 　． 【答案】120°。 4．如图，、是的角平分线，与交于点，， （用含的代数式表示）. 【答案】 5．如图，平行线AB，CD被直线AC所截，分别作∠BAC和∠ACD的角平分线，交点记为P1；分别作∠BAP1和∠P1CD的角平分线，交点记为P2；分别作∠BAP2和∠P2CD的角平分线，交点记为P3，按此规律继续操作，则∠AP5C的度数为 　　 ． 【答案】5.625°． 题型六：三角形两条外角平分线的夹角 1.如图，△ABC的两个外角的平分线相交于点O，若∠A＝80°，则∠O等于（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 【答案】B． 2.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，AP平分∠NAC，CP平分△ABC的外角∠ACM，连接AP，若∠BPC＝40°，则∠NAP的度数是（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】C． 3.如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，BG、CG分别平分三角形的两个外角∠EBC、∠FCB，则∠D和∠G的数量关系为（　　） A． B．∠D+∠G＝180° C． D． 【答案】B． 4．如图，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，则∠E的度数为 ．    【答案】25° 5．如图，，的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推，则的度数是 （用含与的代数式表示）． 【答案】 题型七：三角形内角与外角角平分线构成的夹角 1．如图，∠ABC的外角平分线AD，CD交于点D．若∠B＝50°，则∠ADC的度数是（　　） A．50° B．40° C．115° D．65° 【答案】D 2.如图，已知C，A，G三点共线，C，B，H三点共线，2∠CAD＝∠BAD，2∠CBD＝∠ABD，∠GAE＝2∠BAE，∠EBH＝2∠EBA，则∠D和∠E的关系满足（　　） A．2∠E+∠D＝320° B．2∠E+∠D＝340° C．2∠E+∠D＝300° D．2∠E+∠D＝360° 【答案】C。 3.如图所示，∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，已知∠A＝50°，∠P＝　 　． 【答案】25°． 4.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，延长BO与∠ACB的外角平分线交于点D，若∠DOC＝48°，则∠D＝　 °． 【答案】42． 5．如图，在△ABC中，∠BAC＝50°，I是∠ABC，∠ACB平分线的交点． （1）∠BIC＝　 　°； （2）若D是两条外角平分线的交点，则∠BDC＝　 　°； （3）在（2）的条件下，若E是内角∠ABC和外角∠ACG的平分线的交点，试探索∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由． 【答案】解：（1）在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，∠BAC＝50°， ∵BI是∠ABC的平分线， ∴∠CBI＝∠ABC， ∵CI是∠ABC的平分线， ∴∠BCI＝∠ACB， ∴∠CBI+∠BCI＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣50°）＝65°， 在△BCI中，∠CBI+∠BCI+∠BIC＝180°， ∴∠BIC＝180°﹣65°＝115°， 故答案为：115． （2）∵∠FBC是△ABC的外角， ∴∠FBC＝∠A+∠ACB， ∵∠MCB是△ABC的外角， ∴∠MCB＝∠A+∠ABC， ∴∠FBC+∠MCB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A＝180°+50°＝230°． ∵BD是∠FBC的平分线， ∴∠CBD＝∠FBC． ∵CD是∠MCB的平分线， ∴∠BCD＝∠MCB． ∴∠CBD+∠BCD＝（∠FBC+∠MCB）＝×230°＝115°． 在△BCD中， ∠BDC+∠CBD+∠BCD＝180°， ∴∠BDC＝180°﹣115°＝65°． 故答案为：65． （3）∠BAC＝2∠BEC．理由如下： ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠CBE＝∠ABC． ∵∠ACG是△ABC的外角， ∴∠ACG＝∠BAC+∠ABC． ∵CE是∠ACG的平分线， ∴∠ECG＝（∠BAC+∠ABC）＝∠BAC+∠ABC． ∵∠ECG是△BCE的外角， ∴∠ECG＝∠CBE+∠BEC． ∴∠BAC+∠ABC＝∠ABC+∠BEC． ∴∠BAC＝2∠BEC． 题型八：折叠问题 1.如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 2.如图，在折纸活动中，小明制作了一张纸片，点 D、E分别在边上，将沿着折叠压平使A与重合， 若， 则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 3.如图，把纸片沿折叠，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 4.如图，在中，，将沿直线翻折，使点B落在处，分别交边于点F、G．若，则 ． 【答案】40 5．如图，把△ABC纸片沿MN折叠，使点C落在四边形ABNM的内部时，则∠1、∠2和 ∠C之间有一种数量关系始终保持不变. 这个关系是 .    【答案】2∠C=∠1+∠2 题型九：三角形中的角度计算 1．将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为（　　） A．45° B．60° C．15° D．75° 【答案】D． 2.如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 3.将一副三角板如图所示放置，使得两条直角边在一条直线上，则∠1的度数是（　　） A．55° B．60° C．75° D．80° 【答案】C 4．如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中等于 ． 【答案】/度 5．如图，一副三角板叠在一起，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边上，与交于点M，如果，则的度数为 ． 【答案】/88度 题型十：利用三角形的外角解决实际问题、跨学科问题 1.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 2．汽车前灯是由灯泡、反光镜和配光镜三部分组成，光源位于焦点处，光线经反射后互相平行射出．如图为其侧面示意图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 3．如图，平放在桌面上的烧杯中放着液体，当光线从空气射入液体中时，光线的传播方向会发生改变．若图中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 4．图1是某折叠椅的侧面图，图2是该折叠椅抽象成的几何图形，椅面DE与地面平行，，，则椅子靠背与椅面夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 5．唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 学科网（北京）股份有限公司 $